再谈数学知识在生物学解题中的应用

2016-08-21祝远超

生物学教学 2016年4期

关键词：条数排列组合食物链

祝远超

(湖北省天门市岳口高级中学 431702)

生物学是一门基础学科。它与很多学科都有着直接或间接的联系。因此，在解答生物学试题的过程中有时必须应用相关学科的知识，特别是数学。

1 排列组合在生物学解题中的应用

例1 (用排列组合求杂交后代基因型和表型的种类数及某种个体占的比例)：已知A与a、B与b、C与c 3对等位基因自由组合，基因型分别为AaBbCc、AabbCc的两个个体进行杂交。下列关于杂交后代的推测，正确的是( )。

A.基因型有18种，AaBbCc个体占的比例为1/16

B.基因型有12种，aaBbcc个体占的比例为1/16

C.表现型有6种，Aabbcc个体占的比例为1/8

D.表现型有8种，aaBbCc个体占的比例为1/16

解析：解答此类试题的方法较多，如棋盘法、分枝法等，但最简单的方法莫过于分解组合法，即先求每对基因杂交的结果，然后将其自由组合，如下：

Aa×Aa→1/4AA、1/2Aa、1/4aa，即3种基因型，2种表型；Bb×bb→1/2Bb、1/2bb，即2种基因型，2种表型；Cc×Cc→1/4CC、1/2Cc、1/4cc，即3种基因型，2种表型。据排列组合的知识可得，杂交后代基因型的种类数为3×2×3=18种，表型的种类数为2×2×2=8种，故B、C均错。杂交后代中AaBbCc占的比例为1/2×1/2×1/2=1/8，aaBbCc占的比例为1/4×1/2×1/2=1/16，参考答案：D。

针对性训练1：基因型分别为ddEeFf和DdEeff的两个个体进行杂交，在3对等位基因各自独立遗传的条件下，下列关于杂交后代的推测，正确的是( )。

A.基因型有8种，ddEeFf个体占的比例为1/8

B.基因型有12种，DdEeff个体占的比例为1/8

C.表现型有6种，DdEeFf个体占的比例为1/16

D.表现型有8种，ddEeff个体占的比例为1/16

参考答案：B。

例2 (用排列组合计算食物链的条数)：图示某生态系统中食物网的图解，其中食物链的条数是( )。

A.6 B.7 C.8 D.9

解析：由图可知，蜘蛛有2种食物(甲虫和叶状虫)，蜥蜴只有一种天敌(蛇)。由排列组合的知识可知，同时含有蜘蛛和蜥蜴的食物链条数为2×1=2条，同理可得：同时含有蜘蛛和知更鸟的食物链条数为2×2=4条，同时含有叶状虫和蜜雀的食物链条数为1×2=2条，故下图中食物链的条数为2+4+2=8。参考答案：C。

点拨：①上述方法不仅用到了排列组合知识，还用到了一种重要的方法——“捆绑法”，即分别将蜘蛛和蜥蜴、蜘蛛和知更鸟、叶状虫和蜜雀“捆绑”在一起；②此法与常规方法——逐条计数法(一条一条地数)相比，不仅简单、快捷，而且准确率较高(稍微仔细一点，一般不会出错)。

思维警示：用“捆绑法”计算食物链的条数时，不同“捆绑”对象之间均不能有捕食关系，如上述蜥蜴、知更鸟、蜜雀两两之间均无捕食关系。

针对性训练2：图示一个草原生态系统的营养结构，则该食物网包含了( )条食物链。

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

解析：由图可知，放养的牲畜有两种食物和一种天敌，由排列组合的知识可知，含有放养的牲畜的食物链有2×1=2条，同理可得，含有兔的食物链有2×2=4条，含有鼠的食物链有2×2=4条，含有食草昆虫的食物链分别有2×1=2条，故图中共有2+4+4+2=12条食物链，参考答案：C。

例3 (用排列组合计算DNA分子中碱基的排列顺序数)：由50个脱氧核苷酸构成的双链DNA分子，按其碱基对的排列顺序不同，可分为多少种( )。

A．504B．450C．425D．254

解析：由题意可知，该DNA分子含有25个碱基对(或脱氧核苷酸对)，其中每个碱基对都有A-T或T-A或C-G或G-C 4种可能。由排列组合的知识可知，其碱基对的排列顺序数为4×4×……4(共25个4相乘)=425。参考答案：C。

点拨：①若一个DNA分子中含有n个碱基对(或脱氧核苷酸对)，则其碱基对的排列顺序数最多有4n种；②若是单链DNA分子，则n代表单链中的碱基(或脱氧核苷酸)的数目。

思维警示：①4n是理论上的最大值；②若题中告诉了(或能求出)DNA分子中各种碱基(或碱基对)的具体数目，则结果不能用4n表示。

针对性训练3：含有2000个碱基的双链DNA分子，其每条链上的碱基排列方式最多有( )种。

A．42000B．41000C．22000D．21000

参考答案：B。

例4 (用排列组合归纳探究性实验预期结果的种类)：现有一种植物种子，已知其萌发受水分、温度和氧气的影响，但不知其萌发是否与光有关。现欲探究光对该种子萌发的影响，请依据实验的方法步骤，预测可能的实验结果，并分析得出相应的结论。

材料和用品：数量充足的铺有滤纸的培养皿、无菌水、表面消毒过的种子等。

方法步骤：①向培养皿中倒入适量的水，将等量的种子分别放入A、B两组培养皿中；②将A组置于有光照的环境中，B组置于黑暗环境中，在培养过程中，使两组所处温度、水分、空气状况等相同，且适宜。

请写出可能的实验结果及相应的结论：

解析：A组种子可能萌发(A1)，也可能不萌发(A2)，B组种子可能萌发(B1)，也可能不萌发(B2)。将其自由组合，结果为：①若A组萌发，B组也萌发(A1、B1)，则光对该种植物种子的萌发无影响；②若A组萌发，B组不萌发(A1、B2)，则光是该种植物种子萌发的必要条件之一；③若A组不萌发，B组萌发(A2、B1)，则光抑制该种植物种子的萌发。

理论上还有第4种可能：若A组不萌发，B组也不萌发(A2、B2)，但它不符合生物学原理，应舍弃，故应只写上述3种情况。

2 函数知识在生物学解题中的应用

例5 (一次函数)：在“植物→昆虫→鸟”营养结构中，若能量传递效率为10%，以鸟类同化的总能量中从昆虫获得的总能量为x轴，植物供能总量为y轴，绘制的相关曲线是( )。

解析：设鸟类同化的总能量为k，则鸟类通过“植物→昆虫→鸟”获得总能量x需消耗植物的量为x÷10%÷10%=100x，通过“植物→鸟”获得总能量(k-x)需消耗植物的量为(k-x)÷10%=10(k-x)，故y=100x+10(k-x)，化简得y=90x+10k(x>0，k>0)。由函数知识可知，它是y关于x的一次函数，其图象的特点是：①是一条直线；②在y轴上的截距为10k(k>0)；③y随x的增大而增大(因斜率为90>0)。符合这些特点的曲线只有D，参考答案为D。

针对性训练4：在“草→昆虫→鸟”营养结构中，假设动物性食物所占比例为m，若以鸟体重增加的重量为x轴，至少消耗草的量为y轴，绘制的相关曲线是( )。

解析：当能量传递效率为20%时，消耗草的量最少。鸟通过“草→虫→鸟”增重mx时至少消耗草的量为mx÷20%÷20%=25mx，通过“草→鸟” 增重(1-m)x时至少消耗草的量为(1-m)x÷20%=5(1-m)x，故y=25mx+5(1-m)x，化简得y=(20m+5)x(x>0，0

例函数，其图象的特点是：①是一条直线；②经过原点；③y随x的增大而增大(因斜率20m+5>0)。符合这3个特点的曲线只有C，参考答案为C。

例6 (二次函数)：在一个玻璃容器内，装入一定量的符合小球藻生活的营养液，接种少量的小球藻，每隔一段时间测定小球藻的个体数量，绘制成的曲线如图所示。图A、B、C、D中能正确表示小球藻种群增长速率随时间变化趋势的曲线是( )。

解析：由上图可知，小球藻种群数量呈“S”型增长。“S”型增长曲线是根据方程Nt= K/(1+ea-rt)构建的数学模型(t为时间，Nt为种群大小，K是环境容纳量，e为常数，a表示曲线对原点的相对位置，r是物种的潜在增殖能力，特定种群的r和K都为定值)。将该方程求导得dN/dt=rN(1-N/K)[1](逻辑斯谛方程，dN/dt为种群增长速率，N为种群数量，其余各参数的含义同上)，将其变形得dN/dt=-r/K[(N-K/2)2- K2/4]，由函数知识可知，此方程是dN/dt(因变量)关于N(自变量)的二次函数，坐标曲线为抛物线，其特征如下：①开口方向向下(因二次项系数为-r/K<0)；

②对称轴为N=K/2(由上述方程可知)；

③存在最大值rK/4(当N=K/2时，-r/ K[(N-K/2)2- K2/4]=rK/4)；

④与横坐标的交点为N=0和N=K[当N=0或K时，rN(K-N)/K =0]。

由所述4个特征可知，参考答案为D。

例7 (非初等函数)：科学家在研究基因的图距时，若某测交观察到两个基因座之间重组值为27.5%，则实际图距应为多少？

解析：根据泊松分布的概率密度函数f(x)=mxe-m/x!(其中x=0，1，2，…，m=分布的平均数)可知，某两个基因间不发生交换(零次交换)的概率f(0)=m0e-m/0!=e-m。其次，还要考虑至少发生一次交换的减数分裂的比例为1与0次交换类型比例的差。因为在许多细胞中，同一染色体上某两个基因之间发生交换的平均数必然很小，所以交换数的分布可以用泊松分布的各项表示，故作图函数可表示为RF=1/2(1-e-m)(RF为重组率)。将题中数据代入作图函数式可得0.275=1/2(1-e-m)，化简得到e-m=0.45，解得m=0.8。说明在这两个基因座之间每个减数分裂中平均有0.8次交换。因为每次交换只包括4条染色单体中的两条非姐妹染色单体，故由m再转换成真实图距时应乘以1/2，即真实的图距为0.8×1/2=40 cM(cM为图距单位“厘摩”，1 cM=1%重组值去掉%的数值)。

3 方程在生物学解题中的应用

例8 已知氨基酸的平均相对分子质量为128，测得某蛋白质的相对分子质量为5646，则组成该蛋白质的氨基酸数和肽链数分别为( )。

A．51、1 B．51、2 C．52、1 D．52、2

解析：设组成该蛋白质的氨基酸数为n，肽链数为m，根据氨基酸的质量之和=蛋白质的质量+脱去水的质量及脱去的水分子数=氨基酸数-肽链数可得，128n=5646+18(n-m)，化简得18m+110n=5646，若m=1，则n=2814/55≈51.16，舍弃(因n为正整数)；若m=2，则n=51，故答案为B。

例9 有一多肽链，分子式为C55H70O19N10，其彻底水解后，只得到下列4种氨基酸(R基均不含N)：谷氨酸(C5H9O4N)，苯丙氨酸(C9H11O2N)，甘氨酸(C2H5O2N)，丙氨酸(C3H7O2N)。则该多肽链彻底水解可产生多少个甘氨酸？( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析：设此多肽链彻底水解可产生谷氨酸a个、苯丙氨酸b个、甘氨酸c个、丙氨酸d个，则根据C、H、O、N原子守恒可分别得①、②、③、④式：