几何直观及其在数学教学中的合理应用

吴增生（浙江省仙居县教研室）刘　燕（黑龙江省伊春市特殊教育中心）刘智昊（北京第二外国语学院附属中学）

几何直观及其在数学教学中的合理应用

吴增生（浙江省仙居县教研室）
刘燕（黑龙江省伊春市特殊教育中心）
刘智昊（北京第二外国语学院附属中学）

几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的十个核心

之一.几何直观既是一种简明有效的数学表征，是抽象活动的中介，还是重要的数学思考方式.几何直观主要反映在用图形描述和理解问题，用图形分析和思考问题.在应用几何直观时应注意的要点有：要坚持数形结合；要注意配合想象和推理；要引导学生有序思考；要在合适的时机使用和使用合适的几何直观方式.

几何直观；数学教学；合理应用

一、对几何直观的认识

1.几何直观是一种简明有效的数学表征

数学是研究数量关系和空间形式的科学，几何图形反映了数学对象空间结构及其关系，是联系具体对象与其抽象的数量和空间结构关系的桥梁，具有一般性、直观性和简约性.用几何图形表征数学对象、结构和关系，可以直观、简约又不失一般地在大脑枕顶联合区和枕颞联合区的视觉功加工区域中形成所研究对象及其关系的信息，再逐级别传递到其他脑区便于进行进一步的加工.视觉加工是同时性高效率的大脑信息加工方式.人类获取的外界信息中，绝大部分是靠视觉通道获得的，视觉加工具有优势地位，用图形表示对象的特征、结构和关系，符合人脑信息加工的视觉加工优势规律.

2.几何直观是数学抽象活动的中介

抽象是数学的本质属性，无论是数学内容还是数学方法都是抽象的，但是，抽象过程是以数学直观为基础的，抽象过程必须以数学直观为中介.数学直观具有多样性，包括实物的表面直观、几何直观、数量直观、模型直观、概念符号直观、程序和方法直观等.其中几何直观是最基本、最简明形象的数学直观.数学直观具有层次性，有实物表面直观（如实物与照片），几何与数量直观，概念和符号直观，系统和模型直观，程序和方法直观等.例如，含绝对值的不等式在数轴上的几何表示是理解、分析邻域概念的几何直观模型，邻域概念可以作为理解拓扑学中开集概念的直观模型.

3.几何直观是重要的数学思考方式

用几何图形表示数学对象后，图形就成为表达数学对象、结构和关系的语言之一，把这种图形语言与普通文字语言、数学符号语言结合在一起，形成数学思维的特有语言符号系统，这种语言符号系统是进行数学表达和思考的基本工具.

利用几何概念抽象空间事物获得几何图形，用图形描述事物的结构和关系，用点、线、面、体的关系探索事物之间的联系，用图形及其关系认知、表达事物的本质和关系，这是逻辑思维的基础.数形结合是建立在几何直观基础上的重要数学思考方法，通过用图形直观地表示数量和数量关系，用数量关系精细地刻画空间图形的特征，实现数与形之间的沟通，这是数学思维的灵活性的表现，也是数学思维的有力手段.

二、教学中应用几何直观的方法

1.引导学生借助图形描述和理解问题

在数学课堂教学中，引导学生画出适当的图形表示事物的空间结构、关系，观察与想象其变化过程，会免去很多复杂的语言表达，能让学生快速、深刻地理解相关的知识或问题.例如，在有理数大小比较法则的教学中，首先要提出引入负数后数的大小怎样比较的问题.然后呈现气温（单位：°C）正、负的不同数值，结合生活经验体会数量大小，把正、负数标记到数轴上，让学生结合小学中数的大小比较的经验和生活经验合理规定数轴上有理数大小比较的法则，即右边的数比左边的数大.在此基础上，着重研究两个负数比较大小的情况，发现在负半轴，右边的负数代表的点到原点的距离比左边的负数代表的点到原点的距离小，结合绝对值的几何意义就知道右边的负数的绝对值比左边的负数的绝对值小，于是，自然得到了两个负数相比较，绝对值大的反而小这一结论.这样，学生对两个负数比较大小的法则的理解直观、简约而深刻，而不是把有理数大小比较的数轴法则和具体法则看成两条不同法则加以记忆.

再如，在问题“某条铁路上有20个不同的站点，每个站点都可能有人上车或下车，一列火车在这一铁路上往返运行.问：应该为这一列车提供多少种不同的火车票？”中，如果用如图1所示的线段图表示铁路，这一实际问题就转化为，线段上有A1，A2，A3，…，A20共20个点（包括端点），求图中所有线段条数的2倍.这样，把计算车票种类的问题转化为直观、简单的数线段条数的问题.

图1

运用图象描述函数关系，能使学生形象、简明地理解变量之间的对应关系和变化规律，以及函数、方程和不等式之间的内在联系.

2.引导学生借助图形分析和思考问题

（1）借助图形建构直观模型，依托直观模型分析和思考问题.

例如，平行线的定义是采用否定式定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.这一定义中只涉及两条直线之间的关系（如图2），而要想到公理“同位角相等，两直线平行”的前提是发现用定义做出判断的困难，从而想到引入第三条直线，建立两直线之间平行与角之间的关系的空间结构模型——三线八角模型（如图3）.而怎样引导学生想到引入第三条直线，构建反映平行线空间结构本质的三线八角模型，则成为难点.

如果从运动变化的角度看，同一平面中的相交线和平行线反映了直线绕着一点旋转过程中与另一直线的关系.借助信息技术构造动画（如图4）或视频，可以导向第三条直线（截线）的产生（其实就是动直线AB的初始位置EF），并进一步帮助学生形成“同位角相等，两直线平行”的直觉.在学生借助几何直观和想象得到“同位角相等，两直线平行”这一猜想的基础上，再让学生回顾小学中学习过的平推法画平行线，通过操作发现其本质是通过保持同位角相等来得到平行线的.这样，使学生真正经历以下应用几何直观的思考过程，即从定义出发思考问题.构建几何图形进行直观想象，在想象的基础上猜想，在猜想的基础上验证.这种基于几何直观的探究式教学，在发展发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力和数学思维能力上，都比直接告知学生命题，再用平推法检验这种灌输式学习更有效.

图4

根据命题画出图形，借助图形直观，写出已知、求证、证明，借助图形把命题具体化，在此基础上寻找和构造直观模型，分析证明思路，书写证明过程，这是在几何教学中借助直观图形进行分析和思考的最经典的内容.

（2）建立数与形之间的联系，用数形结合思想分析和思考问题.

建立数与形之间的联系，可以促进数形结合地解决问题思路的形成.例如，对于问题“关于x的方程-x2+2x=a-3的两根分别为m，n，其中a是常数，当-1＜m＜n＜3时，求a的取值范围”，如果用求根公式求出两根，得m=1-，n=1+，再根据m，n的取值范围求a的取值范围，则需要解根式不等式，这显然超出了初中数学所学的知识.但是，如果能把问题转化为“关于x的方程-x2+2x+3=a的两根分别为m，n，其中a是常数，当-1＜m＜n＜3时，求a的取值范围”，并用图象加以描述，进一步转化为“函数y=-x2+2x+3的图象与直线y=a有两个交点，且交点的横坐标分别为m，n，-1＜m＜n＜3，求a的取值范围”，则可以构造出如图5所示的图象，简单明了地得到答案0＜a＜4.

图5

用数形结合思想分析和思考问题中最经典的内容是函数性质的研究.在初中函数的直观研究过程中，画出图象是获得性质的核心途径.根据函数解析式画出图象，观察图象特征，如曲线从左到右是上升还是下降，是直线还是曲线，是否具有对称性——这是以形表数的过程.接着，还需要把这种曲线的直观特征解释为函数的变化趋势，这需要借助坐标这一中介，解析成自变量增大时，函数值是增大还是减小，这种变化过程是否是线性的，是否具有对称性，等等.这一过程是以数表形的过程.

三、应用几何直观时应该注意的几个问题

几何直观虽然是形象地表征数学对象、结构和关系的重要工具，但也有其局限性.首先，图形直观是粗略地而非精细地反映数学对象的结构、特征和关系；其次，画出的图形往往是有限的（如直线是画不出来的，只能画出其示意图）；再次，直观的图形结构既包含与问题本质结构相关的要素，又包括与问题结构无关的要素，也就是说，会出现视觉干扰现象；最后，数学直观不仅仅指几何直观，任何已有的知识经验都可以成为理解和探索新知识的直观工具，并不是所有数学认知加工都要运用几何直观.而且，人类在进行视觉加工的基础上还需要进行进一步的概念语义加工，才能建立起完整的认知某一对象的神经网络.

1.要坚持数形结合

我国著名数学家华罗庚对此有精辟的论述，数形本是相倚依，焉能分作两边飞.数缺形时少直觉，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休.几何代数统一体，永远联系莫分离.在运用图形直观进行描述、分析和思考问题时，既需要借助图形描述数量关系，又需要用数量关系描述图形的特征；既发挥图形的直观力量，又发挥数量的定量精细分析功能，使数形结合成为数学思维的有力工具.

2.要注重配合想象与推理

几何直观中，图形是描述和分析问题的直观工具，使用这一直观工具时，往往需要结合想象.例如，在“同位角相等，两直线平行”基本事实的教学中，在学生观察图4（1）的直线旋转过程中，需要通过想象才能得到“当同位角相等时，两直线恰好没有公共点”的猜想；在用描点法画函数图象时，在画出若干个点后，要让学生想象还有无数个点，因此需要用平滑的曲线连接所画出的点.特别是在画二次函数y=ax2（a为常数，且a≠0）的图象中，学生往往会出现两种典型错误：一是用线段连接相邻的点（如图6中的折线图）；二是图象画得不对称.这时，教师最好不要直接告知学生，而应该让学生通过增加点，再通过想象来进行自我纠正，或者运用几何画板软件的制表和按照表格画点功能展示点不断加密，让学生通过观察和想象来进行自我纠正（如图6中的散点）.数学需要借助直观思考，但直观是工具，思考是核心，让学生通过几何直观发展空间想象能力，从直观向抽象飞跃，这是具有高思维价值的数学教育目标.

图6

在借助几何直观来描述和分析问题的过程中，还需要推理的支持.例如，构造图象解决问题“关于x的方程-x2+2x=a-3的两根分别为m，n，其中a是常数，当-1＜m＜n＜3时，求a的取值范围”的过程中，图象的构造是在一系列的推理的基础上进行的：先把方程转化为-x2+2x+3=a，再根据函数方程的关系把方程的根转化为求函数y=-x2+2x+3和函数y= a交点的横坐标，函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交点的横坐标为-1，3，在这些推理和计算的基础上才能顺利构造出适当的函数图象，并通过想象直线y=a平移的范围才得到结论的.

3.要引导学生有序思考

要引导学生有序思考，首先，要引导学生进行合理的注意选择；其次，要引导学生对直观图形进行从整体到部分再到整体，从定性到定量，动静结合地观察和思考.例如，在直线与圆的位置关系的教学中，第一步，教师应该引导学生在想象的基础上以直线是否穿过圆为标准来分类，画出三种代表性图形；第二步，让学生观察不同位置关系下的直线与圆的公共点的个数；第三步，细节感知，把直线看成点集，选择到圆心距离最短的直线上的点（过圆心作直线l垂线的垂足）为代表，看这个点是在圆内、圆上还是在圆外；第四步，用点与圆的位置关系的判定方法判定代表点与圆的位置关系，并转化成用圆心与直线的距离与半径比较方法判定直线与圆的位置关系（如图7），这一过程就是引导学生进行合理的注意选择，从整体到部分再到整体，从定性到定量地研究直线与圆位置关系的过程.

图7

4.要适当运用

适当运用几何直观包含两层意思：一是在合适的时候积极运用但不滥用；二是恰当地运用几何直观的方式.

（1）什么时候需要运用几何直观？

判断的标准有三条：是否有利于教学目标的达成；是否反映了数学本质；是否符合学生学习的心理规律.

例如，合并同类项的本质是研究两个单项式在什么情况下可以合并化简.因为用字母表示数后得到的单项式都表示一个数，如2x2y，-3x2y，xy2，理论上可以进行加减，其和2x2y-3x2y+xy2仍然是一个数，但是，其表现的形式是否可以进一步化简？这本质上是数学的求简思维，也是大脑追求用最简约的方式应对外界刺激的节能原理的体现.因此，合并同类项本质上是整式加减运算的简化表示的需要，而核心的目标是明确在什么情况下的两个单项式可以合并化简和怎样合并及合并的依据.合并同类项并不是为了面积合并而存在的，采用面积合并的方法进行几何直观表达无助于学生辨别什么是同类项以及同类项应该怎样合并.因此，采用如图8所示的面积和图9所示的体积表征来学习合并同类项并不合适.

图8

图9

再如，学生乘法学习的大脑机制与加法学习不同，即加法更多激活视觉空间加工的枕顶叶，乘法加工更多地激活语言加工的颞叶和左前额叶脑区（如图10），加法学习更多地进行视觉加工，是可以看数轴上一个点的运动的合成，借助图形直观来学习的，且效果较好，乘法学习则更多地表现出语义加工，因此，用几何直观来组织学习效果就不好.

图10

因此，初中有理数乘法学习不宜采用数轴上点的运动的视觉学习方式，而是要基于数系扩充的思想，抓住保持运算律（特别是分配律）这一数系扩充的核心要求，让学生找规律来进行学习，体会负负得正符号法则的合理性.

（2）怎样恰当运用几何直观的方式？

这要考虑采用怎样的图形来描述和研究问题.研究表明，基于空间结构和关系的图式表征能促进数学思考和数学问题的解决，而基于物体表面生动具体的图象表征则往往使人局限于细节和表象，阻碍数学思考和数学问题的解决.

因此，几何直观不是要构建对象的表面具体图象，而是要构建反应研究对象数量关系和空间结构本质的图式.例如，在直线与圆的位置关系的教学中，教师喜欢创建日出情境的动画或视频，这是一个反映这一情境的具体图象，教学中要让学生构建的不是这一图象，而是直线与圆位置关系的空间结构，因此，教师需要特别地把学生的注意引导到反映空间结构的图式建构和分析上，而不能被具体情境图象的细节所局限.拼图算面积，对于分配律的理解来说，是基于一个数与若干个数和的乘积运算的两种计算方法结果的等价性，反映了非负数运算的分配律这一本质数量关系.因此，是一个空间结构图式，可以促进学生对分配律的理解.但是，合并同类项是以分配律为依据的更抽象和更复杂层次的符号操作，这种操作的核心关系是可以合并的同类项之间的式子结构关系.拼图算面积不能反映同类项式子的结构特征，也不能反映合并同类项中的数式通性，只能表征分配律（这些学生已经掌握，无需简单重复）.因此，对于合并同类项来说，这种图示是个别单项式的度量意义的表面具体的图象表示而非同类项的结构关系图式表示，因此不但不能促进学生对合并同类项数学本质的理解，还会阻碍基于代数大视野的数学思考.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］史宁中.数学的抽象［J］.东北师范大学学报（哲学社会科学版），2008（5）：169-181.

［3］吴增生.有理数乘法法则形成过程教学的再思考：基于“3B”教育理念下的数学课堂教学实践研究［J］.中国数学教育（初中版），2012（1/2）：26-29.

［4］徐速.数学问题解决中视觉空间表征研究的综述［J］.数学教育学报，2006（2）：35-38.

吴增生（1962—），男，中学高级教师，浙江省特级教师，教育部国培专家，浙江省基础教育课程改革专家组成员，人民教育出版社教材社外作者，教材培训专家，主要从事中学数学教育研究.

2015—12—13