“平行四边形的性质（1）”教学设计

王　群（浙江省临海市学海中学）

“平行四边形的性质（1）”教学设计

王群（浙江省临海市学海中学）

从复习三角形的研究方法和内容入手，用类比的方法引出平行四边形，并集中探究和证明平行四边形的边、角和对角线的性质.教学中用问题驱动学生的思考，探究学习与有意义接受学习融合其中，促进学生创造性思维，培养学生的合情推理能力和演绎能力.

平行四边形；创造性思维；能力培养

内容和内容解析

1．内容

“平行四边形的性质（1）”是人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第18章第1节第1课时的内容，内容是平行四边形的概念和性质.

2．内容解析

平行四边形是一种特殊的四边形，是图形与几何领域中最基本的几何图形之一，它在生活中有着十分广泛的应用.两组对边分别平行是平行四边形的本质属性.初中平行四边形的内容综合了平行线与三角形的相关知识.因此，平行四边形的学习是训练学生思维的良好平台.

在小学，学生已经认识了平行四边形并了解了其相关性质，初中阶段研究平行四边形与小学最大的不同是建立平行四边形相关知识的逻辑结构体系.其核心的价值是应用平行线和全等三角形的相关知识用逻辑推理的方法研究平行四边形的性质和判定，在研究和应用中进一步发展学生的空间观念、几何直观和推理能力.

平行四边形的性质是平行线和全等三角形等知识的延续和深入，也为后续学习矩形、菱形、正方形等积累了更丰富的学习经验，在教材中起到承上启下的作用，还为证明两直线平行、线段相等、角相等提供了新的方法和依据，拓展了学生的解题思路.

教材中这一内容安排两课时，第1课时研究平行四边形的定义，及平行四边形的边、角性质；第2课时研究平行四边形的对角线性质.采用整体教学设计，第1课时集中探索和证明平行四边形的边、角和对角线性质；第2课时应用性质解决问题，介绍平行线之间距离的概念.

本节课是第1课时的内容.通过对等腰三角形的学习过程的回忆，类比已有的学习经验，主要从边、角、对角线三个方面探究平行四边形的性质.在探究中把四边形问题转化为三角形问题是主要的思想方法，这种化未知为已知的能力提高了学生的解题思维.在整个探究过程中，学生经历了由观察度量得到合理猜想并对猜想加以论证的过程，巩固提高了学生学习几何的一般套路，进一步培养了学生的合情推理能力和演绎推理能力.

教学重点：探究和证明平行四边形边、角、对角线的性质.

目标和目标解析

1．目标

目标1：理解平行四边形的概念.

掌握平行四边形与一般四边形的区别与联系，能应用定义进行判断和推理.

目标2：探究并证明平行四边形的性质，即对边相等，对角相等，对角线互相平分.

沿着“观察或度量—合理猜想—几何论证”这条线索，先独立思考再分组合作，从平行四边形的定义出发完成证明.在证明中体验对角线的转化功能，进一步探究对角线互相平分及相关结论并加以证明.

目标3：体验几何研究的一般思路与方法.

在探究平行四边形性质的过程中，进一步体验：几何研究中，往往用类比、观察、归纳等方法发现结论，并用演绎推理的方法证明结论.理解几何图形研究的一般步骤是“抽象概念—研究性质—讨论判定—实际应用”.

教学问题诊断分析

学生在小学已经认识平行四边形，知道平行四边形的定义，会判断平行四边形，对平行四边形对边平行这一性质有所了解.初中七年级和八年级学习的平行线和三角形知识为学生的几何学习打下了扎实的基础.大多数学生已经形成学习几何的一般流程，具备用已有知识解决新知识的能力.初中对平行四边形的学习更加重视用逻辑推理的方法从定义出发证明边、角和对角线的性质，构建知识之间的逻辑体系.这种从定义出发，用逻辑推理推导性质和判定的方法在等腰三角形等图形的研究中已经经历过，学生具有初步的经验.但是，用逻辑推理的方法构建知识体系对学生系统思维和演绎推理的能力要求较高，学生独立进行有困难，需要教师有意识地给学生提供类比样例，通过类比熟悉的等腰三角形的研究思路提出平行四边形的研究思路，即先给出定义，再从定义出发研究其性质和判定.此外，证明过程中需要添加辅助线，学生不容易想到，这是学习的难点.

教学难点：提出研究问题，确定研究思路，在证明思路分析中合理添加辅助线.

教学过程设计

1．温故：类比三角形的学习经验，提出研究的对象是平行四边形

问题1：三角形是平面内最简单、最基本的图形.我们重点研究了特殊的等腰三角形.那么我们是怎样研究等腰三角形的呢？

师生先从定义出发，再研究它的性质和判定，最后实际应用.

问题2：三角形的深入研究为我们积累了丰富的经验，这些经验将指引我们学习新的图形，你觉得接下来将研究什么图形？

从简单到复杂，学生能想到从三条线段组成的三角形到四条线段组成的四边形.

问题3：什么是四边形？大家知道的四边形具有哪些性质？

学生已经对多边形有一定的认识，容易得到四边形的定义.他们熟悉四边形的内角和、外角和，但不一定记得对角线.

问题4：大家对四边形有了初步的认识，那么接下来研究什么？

类比三角形的学习，学生易想到研究特殊的四边形.教师接着展示生活中的平行四边形实物形象，抽象出数学模型.

问题5：这些图形叫做什么图形？

平行四边形.

【设计意图】温故三角形学习中积累的几何研究经验，从实际形象中抽象出数学模型，确定本节课的研究对象是平行四边形.

2．知新：从定义出发，探究并证明平行四边形的性质

（1）平行四边形的概念.

问题6：小学大家已经认识了平行四边形，你能说说什么是平行四边形吗？

生：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

师生活动：教师解读平行四边形的定义，要求每名学生根据定义画一个平行四边形.

平行四边形的表示法：▱ABCD（如图1）.

图1

认识平行四边形的要素，即对边、邻边、对角、邻角.

由定义可知，因为AB∥CD，AD∥BC，

所以四边形ABCD是平行四边形.

反过来：因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AB∥CD，AD∥BC.

师：几何图形的定义通常包含两个方面，可以作为判定，也可以作为性质.

【设计意图】理解平行四边形的定义，强调定义的两方面作用，既可作为判定，又可作为性质.

（2）探究平行四边形的性质.

问题7：明确定义后，接下来研究什么呢？

类比等腰三角形的学习方法，确定平行四边形的研究方向：从定义出发，先研究性质.

问题8：从哪些角度研究平行四边形的性质？研究它们的什么关系？

从平行四边形的要素入手，研究边、角的数量关系和位置关系（由于是上学期期末学的多边形内容，学生不易想到对角线）.

问题9：观察刚才所画的平行四边形，你发现了哪些结论？试独立思考并尽可能多地写出发现的结论（可借助三角板、量角器等工具提出自己的猜想）.请与同伴交流.

师生活动：学生独立思考并与同学交流，教师直播学生的活动以及他们发现的结论.大多数学生能写出对边相等、对角相等.有些学生可能会画特殊的平行四边形，猜想四个角相等，等等.

（3）证明猜想.

问题10：刚才同学们的结论是怎样得到的？怎样看出来的？怎样度量的？每名学生画的平行四边形都不一样.这些猜想一定正确吗？

学生活动：学生提出对部分猜想的质疑并举反例说明.

师生活动：先画一个一般的平行四边形，写出已知、求证.给学生足够的时间独立思考，并规范书写证明过程.教师及时帮助有困难的学生，订正一些共性的错误.学生展示自己的证明过程.证明角相等时学生会有不同的解法，教师鼓励一题多解.学生总结证明角相等的方法.

追问展示证明的学生：你是怎么想到添加这条辅助线的？为什么这样做？

学生畅谈自己的想法，师生一起归纳对角线的作用，即把平行四边形转化为三角形，把复杂图形转化为简单图形，化陌生为熟悉，充分体会转化思想的重要性.

问题11：对角线是平行四边形的相关要素，平行四边形有两条对角线，两条对角线相交于一点.在新图形中你又发现了什么？

学生活动：学生思考并交流，鼓励学生尽可能多地写出发现的结论，还可以组间竞争交流.学生除了发现对角线互相平分外，还可能发现不少有趣的结论，让学生自己解释这个结论是怎么得到的.在学生回答时一起巩固平行四边形对边相等、对角相等.

师：通过证明，不仅得到平行四边形对边相等、对角相等，还得到了平行四边形对角线互相平分.

师生活动：师生分别从边、角、对角线三个方面叙述平行四边形的性质，并展示符号语言.

平行四边形的性质用符号语言表示如下：

在如图2所示的平行四边形中，

图2

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AB=CD，AD=BC；

∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠CDA；

OA=OC，OB=OD.

【设计意图】在指明探究方向的基础上设计开放的探究活动，鼓励学生在独立思考的基础上再合作交流，给学生充分的探究时间和空间.通过动手动脑，自主探究，经历完整的发现性质的过程.促进创新思维的培养，激发学生的学习热情.通过推理证明，体会证明思路的分析方法和化四边形问题为三角形问题的基本思想.

3.应用：初步体会平行四边形的性质是计算边角和证明线段相等、角相等的工具

师：小学时我们也知道了平行四边形的这些性质，这节课通过推理论证的方法证明了这些性质.这些性质有什么作用？

例1 如图3，在▱ABCD中.

图3

（1）已知∠A=40°，则∠B=____，∠C=_____.

（2）已知AB=8，AD=6，则平行四边形的周长为________.

学生口答并说明理由.

例2 如图4，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AB，CD于点E，F.

（1）试找出图中相等的线段，并说明理由.

（2）若将EF绕点O转动起来，这些线段还相等吗？你发现了什么？

图4

问题12：证明线段相等的常用方法有哪些？

【设计意图】考查学生对平行四边形性质的简单应用能力，理解平行四边形的性质是证明线段和角相等的又一有利工具.第（2）小题中引导学生从中心对称角度理解平行四边形的性质，提高学生对平行四边形的认识.

4.小结：回顾本节课的知识和方法，构建学习结构图

问题13：（1）我们研究了什么图形？是怎么研究的？得到了图形的哪些性质？

（2）在研究过程中用到了哪些方法？

（3）平行四边形具有一定的研究价值，你认为接下来该研究什么呢？

师生活动：师生一起回顾本节课的知识结构和学习过程中的思想方法，学生谈对平行四边形接下来学习的期待，即研究它的判定，研究特殊的平行四边形，研究它是否与等腰三角形一样有对称性……

【设计意图】教师引导学生从显性和隐性两个方面回顾总结，一起得到知识结构图，便于学生梳理知识和方法.

5.作业

教师组织学生完成目标检测.

师：类比今天学习平行四边形的经验，你能研究一个你熟悉的其他四边形吗？你会从哪些角度研究呢？请与小组同学分享你的研究结果.

【设计意图】借助本节课的研究经验继续探究熟悉的图形，将学生的探究思维和创新能力发展进行到底.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］刘宪敏.让课堂成为学生思维的运动场：4.2平行四边形的判别（第1课时）教学设计［J］.中国数学教育（初中版），2014（7/8）：69-73.

王群（1981—），女，中学一级教师，主要从事中学数学教育教学研究.

2015—12—03