投资组合增长率的若干极限定理

胡光军，侯为根，程 成（安徽工业大学数理科学与工程学院，安徽马鞍山243032）

投资组合增长率的若干极限定理

胡光军，侯为根，程 成
（安徽工业大学数理科学与工程学院，安徽马鞍山243032）

设0≤a1≤a2≤…是一列固定的非负整数序列，研究其在时间段an+1至an+n内投资组合增长率的极限性质。通过构造带1个参数并且期望有限的随机变量，利用Borel-Cantelli引理，获得了任意投资组合增长率的性质和一般市场条件下的极限定理。并给出了将Markov不等式和Borel-Cantelli引理等工具应用于强极限定理的一种途径。

投资组合；增长率；倍率；极限定理

投资组合理论是现代金融学中的重要研究课题之一，其目的是寻求一个在给定收益水平下使投资风险最小化，或者在给定的投资风险水平下使投资者的预期效用最大化的最优投资组合。从Markowitz［1］创立的均值-方差分析理论至今，人们从多方面、多层次地推广了Markowitz模型。Cover和Thomas［2］系统研究了log-最优投资组合问题，叶中行等［3］研究了有风险控制的log-最优投资组合问题，包振华等［4］利用鞅方法研究了一类log-最优投资组合的极限性质，叶中行等［5］利用鞅方法证明了一般市场条件下序列投资组合的极限定理。宋静等［6］用鞅方法研究了一类log-最优投资组合的极限性质，Zhang［7］建立任意随机序列的对数最优投资组合，得到任意序列投资组合的长期回报率在一些条件下以概率1收敛到每个时期的平均收益。本文运用研究随机序列强极限的分析方法［8-11］，进一步推广现有的理论，使得计算任意序列投资组合的回报率只需要一段时间内的信息。

1　投资组合的增长率及性质

在某种意义下达到最优的投资策略。

首先讨论单周期情形。设X=（X1，…，Xm）T是m种风险资产的回报向量，并服从联合分布F（x）；w=（ω1，…，ωm）T，ωj≥0，j=1，2，…，mωj=1为投资者所选择的投资组合，其中ωj是分配在第 j种风险资产上的资金比例，ωj≥0表明不允许卖空。

定义1股票市场中的投资组合w关于股票的分布F（X）的增长率定义为

如果对数的基底为2，增长率也称双倍率。

性质1

对不允许卖空的任意投资组合w成立。

证明因为lb x是凹函数，所以

2　序列投资模型的一般极限定理

Cover等［2］证明了对数最优投资组合模型在序列投资下的极限定理。记是在恒定持仓比例投资组合w∗之下一个投资周期内（［an+1，an+n］）n天之后的相对收益，其中w∗为达到最优倍率的投资组合。

定理1设风险资产的回报向量X1，X2，…为服从F（x）的独立同分布随机序列，则

证明由关于随机序列滑动平均的强大数定律［7］即得。所以

定理2设 X1，X2，…为连续投资于m个风险资产的回报序列，w1，w2，…为投资组合序列，wan，n为

σ（Xan，…，Xan+n-1）可测，记San，n=若存在0＜r≤2，0＜γ＜∞，有

则

因为

又因为

将式（10）代入式（9）中，得

由Markov不等式，对∀ε＞0，有

所以

由ε的任意性及Borel-Cantelli引理，有

注意到

由式（12），（13）有

设0＜s＜γ，将式（14）两边同除以s，得

由上极限性质

不等式lbx≤及式（15），有

易知

由式（16）知

所以，由s→0及式（17），（18）得

同理，用-γ＜s＜0替换0＜s＜γ，并且利用lb x≤利用下极限性质：和上述讨论得

由式（7），（19），（20）知命题成立。

［1］MARKOWITZ H.Portfolio selection［J］.Journal of Finance，1952，7:77-91.

［2］COVER T M，THOMAS JA.Elements of Information Theory［M］.New York:John Wiley&Sons Inc，1991:36-56.

［3］叶中行，林建忠.数理金融：资产定价与金融决策［M］.北京：科学出版社，2007:98-112.

［4］包振华，叶中行，杨卫国.log-最优投资组合的极限定理［J］.数学杂志，2007，27（4）:467-470.

［5］叶中行，周煦，徐云.投资组合的增长率及其极限定理［J］.上海交通大学学报，2005，39（6）:1020-1024.

［6］宋静，汪忠志.股票投资模型中的一个强偏差定理［J］.安徽工业大学学报（自然科学版），2008，25（4）:454-456.

［7］ZHANG H Z.Some limit theorems for the log-optimal portfolio［J］.Journal of Inequalities andApplications，2014（1）:1-10.

［8］WANG Z Z.Random transforms for arbitary stochastic sequence and a.s.convergence［J］.Journal of Mathematics，2005，25（5）: 513-520.

［9］刘文，陈志刚.对数似然比与离散随机变量序列强极限定理的一种分析方法［J］.应用数学学报，1996，19（3）:359-368.

［10］简旭，吴玉，范爱华.关于独立同分布随机序列的若干极限定理［J］.安徽工业大学学报（自然科学版），2014，31（2）:209-211.

［11］胡光军.股票投资模型中的一个强偏差定理［J］.安庆师范学院学报，2015，21（1）:20-22.

［12］王云多.整合工作、退休与一生收益决策的最优投资组合研究［J］.中国管理科学，2014，22（6）:28-33.

［13］李伯德.均值方差投资组合分析模型［J］.兰州商学院学报，2005，21（3）:49-50.

责任编辑：丁吉海

Some Limit Theorems for the Portfolio Growth Rate

HU Guangjun，HOU Weigeng，CHENG Cheng
（School of Mathematics&Physics Science and Engineering，Anhui University of Technology，Ma'anshan 243032，China）

Let0≤a1≤a2≤… be a sequence of fixed non-negative integers，the limit properties investment portfolio growth rate froman+1toan+nare studied.By constructing a sequence of random variables with one parameter and bounded expectations，and using the Borel-Cantelli lemma，the limit theorems for the growth rate of any investment portfolio and the general market conditions are obtained，and a way to Markov inequality and the Borel-Cantelli lemma and other tools to the strong limit theorem is given.

investment portfolio；growth rate；doubling rate；limit theorem.

O211.4；O236

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2016.01.019

1671-7872（2016）-01-0089-05

2015-04-03

国家社科基金项目（13BJY011）；安徽省自然科学基金项目（1408085MA04）；安徽工业大学研究生创新研究基金项目（2013090）

胡光军（1991-），男，安徽六安人，硕士生，研究方向为概率论及其应用。

侯为根（1963-），男，安徽繁昌人，副教授，研究方向为应用数学。