简解2016年高考山东卷理科压轴题

马艳

题目（2016年高考山东卷理科第21题）如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率是32，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.

（ⅰ）求证：点M在定直线上；

（ⅱ）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求S1S2的最大值及取得最大值时点P的坐标.

解（Ⅰ）椭圆C的方程是x2+4y2=1（过程略）.

（Ⅱ）（ⅰ）可设P（2t，2t2）（t>0），可求得切线l的方程是y=2tx-2t2，再得G（0，-2t2）.

设A（x1，y1），B（x2，y2），可得

x21+4y21=1，x22+4y22=1，

把它们相减后分解因式（即点差法），可得

kl=kAB=y2-y1x2-x1=x2+x1-4（y2+y1）=xD-4yD=1-4kOD，

又kl=2t，所以kOD=kOM=-18t，得直线OM的方程是y=-18tx.

又xM=xP=2t，所以yM=-14，得点M在定直线y=-14上.

（ⅱ）由P（2t，2t2）（t>0），G（0，-2t2），F0，12，可得

S1=S△PFG=1212+2t2·2t.

如图2所示，设点D到直线OG，PM的距离分别是d0，d2，则点O到直线PM的距离是d0+d2.

由△ODG∽△MDP，可得

OGPM=d0d2，PM+OGPM=d0+d2d2，d2=PMPM+OG（d0+d2），

所以

S2=S△PDM=12PMd2=PM2（d0+d2）2（PM+OG）.

可得PM=2t2+14，OG=2t2，d0+d2=2t，所以

S2=2t+142·2t22t2+14+2t2.

再得

S1S2=（16t2+1）（8t2+2）（8t2+1）2≤1（8t2+1）2（16t2+1）+（8t2+2）22=94.

进而可得：当且仅当16t2+1=8t2+2（t>0）即t=122，也即点P的坐标是22，14时，S1S2max=94.一般地，抛物线E：x2=2py上一动点P的切线，与椭圆C：x2[]a2[SX）]+y2[]b2[SX）]=1（a>b>0）交于不同的两点A、B，线段中点为D，直线OD与过点P且垂直于x轴的直线交于点M，则点M在定直线y=-pb2[]a2[SX）]上，当且仅当a2=4b2时，S1S2的最大值为定值94.