一道高考数学新定义题引发的探究

王佩　赵思林

[摘要]2016年高考数学四川卷理科15题给出了“伴随点”、“伴随曲线”的定义，这道题目立意深远、背景深刻、富含探究价值的问题.利用“伴随点”、“伴随曲线”的定义，对直线、圆的“伴随曲线”作了一番探究，得到了2个性质，如，不经过原点的直线的“伴随曲线”是圆，圆的“伴随曲线”是直线或圆等.对“伴随点”、“伴随曲线”进行重新定义，得到了几个类似的或新的问题.

[关键词]高考数学；新定义；探究

问题是数学的心脏，问题是探究的焦点.有效的数学探究依赖于好的数学问题.好的数学问题一般具有思考性、启发性、探究性、开放性、推广性等特点.2016年高考数学四川卷理科15题就是一道立意深远、背景深刻、结论开放、易于推广、富含探究价值的好问题.该题新定义了考生未曾学过的“伴随点”、“伴随曲线”，要求考生从这两个新定义出发，判断4个命题的真假.下面运用“伴随点”、“伴随曲线”的定义，主要对直线、圆的“伴随曲线”作了一番探究，得到了2个有趣的性质，如，不经过原点的直线的“伴随曲线”是一个圆，圆的“伴随曲线”是直线或圆等.这些新性质对今后学习高等数学中的仿射变换、映射等知识是很好的几何模型.

2016年高考数学四川卷理科15题是：在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（yx2+y2，-xx2+y2）；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”，现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；

②单位圆的“伴随曲线”是它自身；

③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；

④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

其中的真命题是（写出所有真命题的序列）.

该题中的“伴随点”含有高等几何中“仿射变换”的背景.

性质1不经过原点的直线的“伴随曲线”是一个圆.

证明设点P（x，y）在直线l：Ax+By+C=0（A，B不全为0，C≠0）上，点P的“伴随点”为P′u，v，则直线l的“伴随曲线”是C（u2+v2）+Bu-Av=0.

事实上，设点P（x，y），P′u，v，则

u=yx2+y2，

v=-xx2+y2.（x，y不全为0）

两式平方和，得u2+v2=1x2+y2.①

两式相除，得uv=-yx（当x≠0，则v≠0）.

由①，可得

u2+v2=1x2+y2=1x2（1+y2x2）=1x2（1+u2v2）=v2x2（u2+v2），

即x2=v2（u2+v2）2.

注意到，x与v异号，可解得x=-vu2+v2.

当x=0时，则v=0，x=-vu2+v2仍成立.

所以总有x=-vu2+v2.同理y=uu2+v2.

即x=-vu2+v2，

y=uu2+v2.

将上式代入直线方程，可得A·-vu2+v2+B·uu2+v2+C=0，

化简得C（u2+v2）+Bu-Av=0.

因为C≠0，

所以u2+v2+BCu-ACv=0，

即（u+B2C）2+（v-A2C）2=A2+B24C2为圆.

故不经过原点的直线的“伴随曲线”是一个圆.

性质2圆的“伴随曲线”是直线或圆.

证明设点P是圆（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）上任意一点，点P的“伴随点”为P′u，v，则可设Pa+rcosθ，b+rsinθ，并且有

u=b+rsinθa2+b2+r2+2arcosθ+2brsinθ，

v=-a-rcosθa2+b2+r2+2arcosθ+2brsinθ.

两式平方和，得

u2+v2=1a2+b2+r2+2arcosθ+2brsinθ.

2bu-2av=2b2+2brsinθ+2a2+2arcosθa2+b2+r2+2arcosθ+2brsinθ

=1+a2+b2-r2a2+b2+r2+2arcosθ+2brsinθ

=1+a2+b2-r2u2+v2.

所以a2+b2-r2u2+v2-2bu+2av+1=0.

当a2+b2-r2=0时，2bu-2av-1=0为直线.

当a2+b2-r2≠0时，

u2+v2-2bua2+b2-r2+2ava2+b2-r2=-1a2+b2-r2，

（u-ba2+b2-r2）2+（v+aa2+b2-r2）2

=b2+a2（a2+b2-r2）2-1a2+b2-r2，

即（u-ba2+b2-r2）2+（v+aa2+b2-r2）2=r2（a2+b2-r2）2为圆.

故圆的“伴随曲线”是直线或圆.

由性质2可得到如下结论：圆的“伴随曲线”有如下两种情况：

当a2+b2=r2时，圆（x-a）2+（y-b）2=r2的“伴随曲线”是直线

2bx-2ay-1=0；

当a2+b2≠r2时，圆（x-a）2+（y-b）2=r2的“伴随曲线”是圆

（x-ba2+b2-r2）2+（y+aa2+b2-r2）2=r2（a2+b2-r2）2.

由这个结论，可得下面的推论.

推论（1）圆x2+y2=1的“伴随曲线”是圆x2+y2=1；

（2）圆x2+y2=r2的“伴随曲线”是圆x2+y2=1r2；

（3）圆（x-a）2+（y-b）2=a2+b2的“伴随曲线”是直线2bx-2ay-1=0.

这道试题的探究价值还体现在对题目（问题）本身的探究.如果对“伴随点”、“伴随曲线”进行重新定义，就可以得到一些类似的或新的问题.这样做可以培养学生提出问题、推广问题的能力.

问题1在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（yx2+y2，xx2+y2）；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”，问性质1、性质2会怎么样？

问题2在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（-yx2+y2，-xx2+y2）；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”，问性质1、性质2会怎么样？

问题3在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（yx2+y2，xx2+y2）；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”，问性质1、性质2会怎么样？