基于数学命题学习理论下的排列教学设计

晁冉冉　傅海伦

【摘要】

数学命题的学习要比数学概念的学习复杂得多，本文试以“排列”这一节为例，从知识掌握的领会、巩固和应用三个阶段对“排列”这一内容进行教学设计研究，以说明如何进行数学命题学习理论下的学与教.

【关键词】数学命题；学习理论；排列组合；教学设计

教师只有深入地了解数学学习的内部过程，把握其内部机制，才能对数学学习过程中的各种现象的因果关系作出准确判断，真正做到有的放矢.数学命题（原理）一般由若干个概念组成，数学命题的学习实际上就是数学概念之间关系的学习，然而数学命题的学习要比数学概念的学习复杂得多.下面就以“排列”为例，以说明如何进行数学命题学习理论下的学与教.1数学命题知识结构的整体性

不同的数学原理有不同的概括水平，在每一概括水平上，储存了可以用来区分其他水平的属性.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是处理计数问题的两种基本思想方法，因此它们储存在最高水平；而排列、组合是两类特殊的计数问题，而获得排列数公式、组合数公式的基本思想和工具就是两个计数原理，所以排列与排列数公式、组合与组合数公式储存在比两个基本原理低一级的水平；二项式定理是排列、组合知识的应用，因此它在排列、组合低一级的水平上[1].因此，要学好排列、组合问题，必须学好分类加法计数原理和分步乘法计数原理.笔者认为在引入排列、组合有关的命题时，要对两个基本原理进行复习回忆.将新知识恰当地嵌入学生的原有认知结构中.2数学命题知识过程的掌握环节

从奥苏贝尔的有意义接受学习理论出发，我国著名心理学家冯仲良以此理论为基础，提出了知识掌握的领会、巩固、应用三阶段理论.这种观点认为，要掌握知识，首先应领会知识，然后在头脑中将领会的知识加以巩固，从而在实际中去应用知识，以便得到进一步的检查和充实[2].

2.1“排列”学习的领会阶段

学生知识掌握的领会阶段又要经历三个环节，即联结、精加工和组织.教师要针对这三个环节，进行不同的设置.

（1）联结环节：学生在该环节，接受新知识的刺激，知觉到语言符号信息进入工作记忆，并激活长时记忆中的相关知识，这些新旧知识在工作记忆中被联系起来构成新命题（或形成假设）[3].在给出“排列”的定义时，学生长时记忆中的两个基本原理等相关知识被激活，因此教师在给出“排列”以及“排列数”的定义时，要给学生留有思考的时间，让学生思考“排列”与两个基本原理的关系.

（2）精加工环节：学生在该环节中，要利用被激活的长时记忆中的相关知识对新命题的正确性进行逻辑推理论证而形成新的原理（定理、法则等），分析出新旧知识间的新联系，使新旧知识融会贯通，形成组块，同时要尽量推出新的命题，并不断激活和吸纳更多的已有知识参与加工，使新知识与已有认知结构的联系更加紧密、全面[3].

教师利用两个基本原理，让学生经历推导出“排列数公式”的过程，让学生了解到“排列”的本质也是一种计数方法，“排列数公式”也是一种特殊的计数公式.将这一知识点和两个计数基本原理建立新的联系，使新旧知识融会贯通.

（3）组织环节：学生在该环节，需要将信息进行分类整理，并按照相互之间的类属关系进行编码，从而为一组信息建立一个合理有序的知识结构，成为一个有机整体[3].学生在将新旧知识进行联系后，原有的认知结构进行重组，教师可以通过画知识结构框图使学生的新旧知识成为一个有机整体.

2.2“排列”学习的巩固阶段

知识的巩固是通过主动复习而实现的.如果不能及时地进行主动复习，新学习的知识可能会被遗忘，只有当再次复习时，新旧知识的联系才更紧密.因此，教师在讲完“排列与组合”这一节时，一定要给出适当的练习以及在今后的学习中及时地进行复习.

2.3“排列”学习的应用阶段

知识的应用涉及知识的提取和重构.在解答问题、学习新知的过程中，必然需要应用已有知识，应用的实质是知识的提取和重构，这是通过激活的扩张而实现的.例如，在学习“排列”的有关知识后，让学生解答：

“从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？”

学生通过知识的提取和重构将问题转化为“从除去第二个节目的位置后，剩下的9个位置选一个安排女演员的独唱节目，安排下女演员的独唱节目后，将剩下的5个节目随机排列在其余的9个位置上”即得到A19A59=136080.3“排列”学习的教学设计

（一）教学目标

（1）能够区分所研究问题是否是排列问题；

（2）掌握排列数的计算公式；

（3）熟练应用排列问题的常见解题方法，体会到数学方法的多样性

（4）培养学生分析问题、解决问题的能力.

（二）教学重点

排列数在解决实际问题中的应用.

（三）教学难点

解决实际问题时的思路分析.

（四）教学过程

1、复习旧知，引入新知

师：上一节我们已经学过分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回忆一下，什么是分类加法计数原理？什么是分步乘法计数原理？

设计意图（1）检查学生和新课有关知识的掌握程度；（2）刺激学生的原有认知结构，为新课与旧课的融会贯通埋下伏笔.

生1：分类加法计数原理是做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.

生2：分步乘法原理是做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2…mn种不同的方法.

师：这两名同学回答的非常好，现在我相信在这两个同学回答的同时，其他的同学也都掌握了这两个基本原理，现在我们来分析两个问题，看看有没有更简单的计数方法？

问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

观察、分析学生的解题方法：学生在看到此题时，迅速对自己的知识进行提取与重组，将问题转化为：从甲、乙、丙3名同学中每次选出2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法.

在了解学生的解题方法的同时，老师明白了学生的思考过程，如果某些学生不能很好地将以前的知识进行提取，老师要进行适当的提示.最后，老师进行统一讲解：根据分步乘法计数原理，先选参加上午活动的同学共有3种选法，再选参加下午活动的同学共有2种选法，因此要想完成这件事情，共有3×2=6种选法.

师：上面这个问题如果我们把具体的选法写出来就是：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙.像这样我们就可以说，从3个不同的元素中取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有3×2=6种不同的排列方法.

问题2从1，2，3，4这4个数字中，每次取出三个排成一个三位数，一共可得到多少个不同的三位数？

师：问题2与问题1有相似之处，这个问题我们可不可以转化为：从4个数字中，每次取出3个，按“百”、“十”、“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数，因此，有多少不同的排法就有多少不同的三位数？

设计意图用疑问的语气提出此问题，既为学生做了适当的提示，又可以让学生积极思考老师的话是否正确.

在老师的提示下，学生给出答案：4×3×2=24种.

师：我们一起写出所有的三位数为：

123，124，132，134，142，143，

213，214，231，234，241，243，

312，314，321，324，341，342，

412，413，421，423，431，432.

像这样我们就可以说，从4个不同的元素中取3个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有4×3×2=24种不同的排列方法.

师：问题1和问题2的共同特点是什么，能将它们推广到一般情形吗？

设计意图老师提问，学生自己归纳，从而提高学生的归纳、分析问题的能力以及数学语言表达的能力.最后在学生归纳的基础上总结、完善排列的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列.

为了使学生了解“排列”这一定义的本质，讲解问题2中的，123与134因为数字取得不同因此是不同的排列，123与132即使数字完全相同，因为顺序不同，也是不同的排列.

师：所有不同的排列个数就称为排列数，即从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Amn表示.

2、探究公式，理解本质

师：在前面两个问题中，我们可以知道A23=6，A34=24.那么A2n、A3n、Amn，各是多少呢？联系问题1和问题2，小组讨论一下，A2n我们可以把它看成什么？

设计意图这一抽象的数学符号不好理解，让学生尝试把它还原到实际情景的问题中，就能容易理解.然后经过小组讨论与合作，在激烈的争论中，使自己的认知结构在同化和顺应的基础上，达到暂时的平衡.

生3：可以看成从n个元素中取2个元素，得到的排列数，可以用分步乘法计数原理，分为两步，可以得到A2n=n（n-1）；同理A3n可以看成从n个元素中取3个元素，得到的排列数，可以用分步乘法计数原理，分为三步，得到A3n=n（n-1）（n-2）.

师：非常好，一般地我们就可以得到Amn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1），这里n，m都是正整数，并且m≤n.这个公式就叫做排列数公式.特别地，当m=n时，即从n个不同的元素中全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，记为Ann=n（n-1）（n-2）…3×2×1.

3、练习巩固，学以致用

例1：（1）写出从4个不同的元素中任取2个元素的所有排列；

（2）写出从5个不同的元素中任取3个元素的所有排列.

设计意图虽然此题比较简单，但是却能让学生理解排列的本质是什么（即排列也是一种计数方式）；并且让学生明白只有满足什么条件时才是一种排列.

例2：（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）从5本不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

设计意图让学生分析这两个问题的区别，并且说出哪个是排列问题？哪个不是？为什么？可以提高学生的辨别能力，促进学生的理解.

例3：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？尽可能尝试用不同的解法.

设计意图使学生从不同的思路去思考解答此题，训练学生分析问题的能力.

例4：证明：Amn=n！（n-m）！.

设计意图此公式在以后的学习中有着广泛的用途，是概率统计问题的工具，因此作为例题的形式，使学生不但记住，而且会推导.

（五）巩固练习，加强记忆

在此环节，教师可根据学生课堂的反映情况，对不同的学生进行针对性的训练（这里不再进行习题的设置），以巩固新知.

（六）回顾总结，归纳提升

在这节课的结束前，教师应领着学生进行回顾总结这一节课学习的内容，可以先让学生叙述这一节课学习的主要内容，然后教师再进行总结、归纳和提升，将新学习的知识纳入原有的知识体系之中.即便教学设计再完美，一堂课也不可能完全照教案下来，此时教师一定要在此基础上，查缺补漏，帮助学生明白自己的学习目标，应该了解什么，理解什么，掌握什么，还会应用什么，以帮助学生在建构关于“排列”的合理有序的知识结构的前提下，通过积累丰富的数学活动经验，最终形成学生良好的数学认知结构.

参考文献

[1]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006：146

[2]赵维和，雷凤兰，任曙光等.一种新的知识掌握阶段理论[J].湖南中学物理·教育前沿，2009（5）：46-47

[3]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006：148