中国和美国小学“直线”概念系统的课程与教学研究

沈 威，曹广福（1．惠州学院 数学系，广东 惠州 516007；．广州大学 数学与信息科学学院，广东 广州 510006）



中国和美国小学“直线”概念系统的课程与教学研究

沈 威1，2，曹广福2
（1．惠州学院 数学系，广东 惠州 516007；2．广州大学 数学与信息科学学院，广东 广州 510006）

摘要：“直线”概念系统以独立的概念形式而存在，又是几何公理形成的重要来源，同时包含着直观与抽象的关系、部分与整体的关系、有限与无限的关系，从而表现出其重要的基础性地位.中美在课程标准、教材编写和课堂教学对“直线”概念系统关注的侧重点不同，但美国的课程标准、教材编写和课堂教学实践对“直线”概念系统的理解和诠释却值得中国教育工作者借鉴与深思.

关键词：直线；概念系统；课堂教学

“直线”概念系统既以独立的概念形式而存在，又是几何公理形成的重要来源，同时包含着直观与抽象的关系、部分与整体的关系、有限与无限的关系，从而表现出其重要的基础性地位，学生掌握“直线”概念系统的本质属性显示其应有之义［1～6］.如何使得学生建构与把握“直线”概念系统的本质属性，从而实现学生数学智慧生长与发展，下面将从中美的课程标准、教材编写和课堂教学3个视角观之，探索课程标准、教材编写和课堂教学3者之间的一致性，从中挖掘“直线”概念系统的教育价值.

1 中美“直线”概念系统的课标要求

中国《义务教育数学课程标准（2011年版）》［7］对“直线”概念系统要求是“结合实例了解线段、射线和直线”；2013年美国《加州公立学校数学框架》［8］对“直线”概念系统要求是“画和识别线，并根据线的属性进行图形分类”.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对“了解”这一行为动词界定为“从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象”.因此，中国课程标准对“直线”概念系统要求就可以表述为“从具体实例中知道或举例说明线段、射线和直线的有关特征；根据它们的特征，从具体情境中辨认或者举例说明线段、射线和直线”.可以看出，中国课标与美国课标要求的根本差异在于对直线、射线与线段特征的掌握方式，中国的要求是“知道”，美国的要求是“画和识别”，“画”的要义在于动手，通过动手“画”认识线的特征，促进主体掌握线的特征与属性.“知道”的方式可以有多种，可以是被动告诉而“知道”，可以是主动探究而“知道”，至于中国的课堂教学是让学生被动告诉还是主动探究而“知道”，这需要考察真实的课堂教学.

2 中美“直线”概念系统的教材编写

研究选用美国 McGraw-Hill公司出版的加州小学数学教材（简称：加州教材）和中国的人民教育出版社出版的小学数学教材（简称：人教版教材）作为研究对象，“直线”概念系统在加州教材中位于四年级第十章第四节，而在人教版教材中处于四年级第二章第一节.

表1 “直线”在两种教材的编排顺序及知识点比较

从表1可以看出，加州教材对“直线”概念系统的编写顺序为：线段的现实实例→直线的定义及其几何表征→射线的定义及其几何表征→线段的定义及其几何表征→根据定义辨认直线、射线与线段的图形→拓展.从直线、射线与线段的定义看，直线、射线与线段定义的呈现形式遵循了强抽象的形式，以“直线”的定义作为基础，抽象出射线和线段的概念，并且射线与线段的定义均是以直线为基础，所以射线与线段的定义是并列关系.从学生学习心理看，直线、射线和线段的定义顺序遵循了概念同化过程，“直线”的定义作为包摄性更大的上位概念，先学上位概念——直线的定义，后学下位概念——射线和线段的定义，经过学生的认知活动，最终把射线和线段的本质属性纳入到直线的概念系统中.虽然直线、射线和线段的定义之间的逻辑顺序及其编写的顺序非常明了，但在刚开始的情境导入处理上含糊不清，情境导入介绍的线段的现实实例，在该实例后呈现的却是直线的定义，线段和实例和直线的定义之间既不存在归纳关系更不存在演绎关系，在现有的数学研究方法下，均无法从线段的实例直接获得直线的定义，所以，加州教材在该部分内容的处理上思路不清、目标不明.若加州教材把线段的现实实例改为直线的现实实例，就符合由具体到抽象的数学逻辑了.

人教版教材对“直线”概念系统的编写顺序为：射线的现实实例→射线的定义及其几何表征→直线的定义及其几何表征→直线、射线与线段之间的区别与联系.从人教版编写的顺序看，情境导入是射线的现实实例，而后就是获得射线的定义，这符合学生从具体到抽象的认知规律，这也是概念形成的重要过程.在射线定义之后就是直线的定义，从射线定义与直线定义的内容看，射线定义为“射线只有一个端点，可以向一端无限延伸”，直线的定义为“直线没有端点，可以向两端无限延伸”，这两个概念之间没有上下位的关系，而是一种并列关系.射线与直线概念在学生认知结构中的并列关系不利于形成一个概念系统，还需要一个包摄性更大的上位概念把射线与直线的概念都纳入其下，形成一个稳定的概念系统，但事实上，却没有这个包摄性更大的上位概念，因此，射线与直线概念只能并列在学生的认知结构中.在直线概念后，是一个问题“直线、射线与线段有什么联系和区别？”在这节内容中，没有介绍线段的有关知识，线段的有关知识在小学二年级第一章中介绍，但没有定义.而对问题“直线、射线与线段有什么联系和区别”的回答由教材给出.

比较加州教材和人教版教材之间的区别与联系，可以发现，加州教材对“直线”概念系统的定义是以集合为基础，并以“连续点”作为抽象的核心.而射线和线段的定义均由“直线”的强抽象获得，使得射线与线段之间是并列关系.人教版教材对“直线”概念系统的定义关注于“端点”的个数，“端点”成为人教版教材定义直线的本质特征之一，这也是为了区别与射线的定义而提出的.“端点”的个数是区别直线、射线和线段的特征，但“没有端点”是不是直线的本质属性呢？“向两端无限延伸”这个本质属性已经包含了“没有端点”，所以定义直线不需要从端点的角度考虑.正因为从端点个数的角度定义直线，不自觉地就把直线的定义与射线的定义并列，这两种概念系统如图1所示，从图1可以看出，加州教材的“直线”概念系统在学生认知结构中的稳定性要优于人教版教材中的概念系统.

图1 加州教材与人教版教材的“直线”概念系统

此外，直线、射线与线段的表示在加州教材介绍直线、射线与线段过程中一并介绍，而人教版教材则是安排到初一上册的第四章.在人教版教材中，直线、射线和线段的表示建立于直线的公理（经过两点有一条直线，并且只有一条直线）之上.在直线公理的基础上，抽象出用一条直线上的两点来表示这条直线.以此类推，射线与线段都是直线的一部分，类似于直线的表示，射线和线段也用两点表示.其中表示射线的两点中，一点是端点，另一点则是射线上异于端点的点，而表示选段的两点则是其两个端点.基于直线公理的直线、射线与线段的表示方法易于把握.对于加州教材，在没有介绍直线公理的情况下，直接“告诉”直线段的表示方法，这种编写方式是否能让学生掌握直线的表示方法呢？通过美国的一个课堂实录可见一斑.

3 中美“直线”概念系统的课堂教学

所选择的中国课堂课实录来自于第五届全国中小学交互式电子白板科科通的一节课例［9］（简称“中国课例”），美国课堂实录来自于基于美国《州共同核心数学标准》（Common Core State Standards for Mathematics，简称CCSSM）理念的教学课例［10］（简称“美国课例”），如表2.虽然这里用“中国课例”和“美国课例”作为简称，由于这两节课例并不能代表中美两国教学整体情况，以下所探讨的内容均是指这两节课例，不指其它.

3.1 中美“直线”概念系统的课堂教学方式

学生概念学习心理过程决定着概念教学方式，只有遵循学生的概念学习心理，概念教学的目的才能有效实现.学生数学概念建构，有概念形成和概念同化两种基本形式.概念形成是从大量的实例中辨别、发现、抽取、概括同类事物的关键属性与本质特征，并用恰当的数学语言进行表征，形成数学概念；概念同化是利用学生的已有数学认知结构和数学经验，直接向学生揭示数学概念的定义，以逻辑演绎的形式介绍概念生成的因由.研究者根据中美教学实录，建构了中美“直线”概念系统的教学路线图（图2、图3），通过教学路线图来分析中美课堂教学方式.

从教学路线图看，美国的课堂教学体现了概念形成的教学过程，中国的课堂教学既没有体现概念形成的教学方式，也没有体现概念同化的教学方式.

美国课堂教学体现概念形成的教学过程为“画点—画线段—画直线—画射线—应用概念—总结”，这是一个由简单到复杂、由具体到抽象、由有限到无限的概念形成过程.在“画点”阶段，教师引导学生认识在平面上，点表示一个确定的位置，并且平面上有无数多个点；在“画线段”过程，教师引导学生通过“画线段”认识到用直尺连接两点能得到一条线段的本质，并确定线段的表示方法；在“画直线”过程，教师引导学生把线段沿着直尺向两端无限延伸，学生在“画”的过程中体验直线的特征、认识直线本质属性；由于能把线段沿着直尺向两端无限延伸，就能把线段沿着直尺向一端无限延伸，因此，“画射线”的过程则是逻辑上的必然，也是必须完成的过程，所以“画射线”的过程既是“画直线”之后的逻辑深入；在“画射线”后，通过一个风筝图案促进学生对点、线段、直线和射线的认识.虽然整节课最终没有形成教材上关于直线、射线和射线的定义，学生却认识到直线、射线和线段的本质属性.

表2 中美“直线”概念系统教学实录概要

表2（续） 中美“直线”概念系统教学实录概要

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在中国“直线”概念系统教学过程中，教师没有引导学生从现实实物或实例引导学生抽象出直线、射线和线段，而是让学生直接读课本，记忆课本上的陈述性知识，虽然教师给出一个辨析概念特征的表格，让学生在阅读教材的过程填写表格，也许这个表格中的知识可以被学生背下来，但是这些知识之间的关系却是割裂的、离散的，无法整合为一个系统.在要求学生强记“直线”的相关概念之后，便是练习题，该练习题的主要目的就像教师说的——“检测”，其目的只有一个——测试.“直线”内容是几何课，但是整个教学过程却没有“几何味”，很少有画图的教学过程，只是干巴巴、离散的概念，仅是满足测试的需要，表现出 “记忆概念—练习强化”的教学方式.

根据中美“直线”概念系统教学路线图，建构了如图4的中美“直线”概念系统形成过程模型.

图2 中国“直线”概念系统教学路线

图3 美国“直线”概念系统教学路线

图4 中美“直线”课堂教学中的概念系统

比较加州教材中的“直线”概念系统和美国“直线”课堂教学中的概念系统，可以发现，教材中的概念系统的生成形式与课堂教学中的概念系统形成形式恰好相反.教材中的概念系统是一般到特殊的，而课堂教学中的概念系统则是特殊到一般的，教材编写遵循了演绎结构，而课堂教学遵循了特殊到一般的生成过程，这符合学生的认知规律.对于人教版教材与中国“直线”课堂教学而言，两者的概念系统是相同的，因为教师没有对教材深加工，而是要求学生阅读教材，内化教材中的概念系统，那么学生数学认知结构的“直线”概念系统至多与教材中的概念系统相一致.

3.2 中美“直线”概念系统的课堂教学目标

不论课程标准对教学如何要求，最终要以真实的课堂教学表现为准.从上面两个中美教学实录可以看出，中国对“直线”概念系统的定位是“知识”，美国对“直线”概念系统的定位是“理解”.

中国课堂教学对“直线”概念系统的定位是“知识”主要表现在如下两个方面：

一是教师让学生阅读课本知识.教师是这样说的：“相信大家通过阅读课本的第35、36页的内容（人教版小学四年级上第2章第一节“直线、射线和角”），你一定会有很多的收获，好，请大家带着这样的问题来自学课本.”课本上记录的均是陈述性知识，这些陈述性知识之间无法体现知识的逻辑发展过程，也就是说，学生阅读课本最多只能记住相应的知识点，无法弄清这些知识点之间的关系.虽然教师要求学生带着“设问导读”的问题阅读课本，从“设问导读”的问题看，该问题属于填空题，无法使得学生通过解决该题把握线段、射线和直线之间的逻辑关系，只能从线段、射线和直线的表象记住相应特征；此外，“设问导读”不能称为问题，只是任务，即“设问导读”只能让学生记住更多的知识，并不能把学生引向何处，也不能让学生产生更多的思考和疑问，只能让线段、射线和直线的有关知识在学生的认知结构中积累起来，无法让学生超越这些知识从平凡到达非凡.

二是在学生阅读教材后就解题（自学检测）.在学生阅读教材后，教师说：“老师刚才看到大家自学的非常认真，相信你们多多少少都有了不少的收获，现在就让我们一起来检测一下大家的自学成果.我们这里有自学检测题，请你独立完成后，想一想判断的理由是什么，填在练习纸上.”教师在学生阅读教材后，不是引导学生研究教材上知识的发生发展过程，不是引导学生探究教材上知识生成的由来，不是引导学生形成相应的数学思想，不是引导学生建构几何经验，而是直接提供题目给学生解答，目的是让学生“会”解题.

美国课堂教学对“直线”概念系统的定位是“理解”主要表现在以下两个方面.

一是对“直线”概念系统形成的理解.对“直线”概念系统形成的理解首先来自于教师引导学生“直线”概念系统的建构过程，教师引导学生认识点，点能确定一个准确的位置；再由一个点扩充至两个点，两点之间的连线确定一条线段，线段有长度，是有限的，易于把握；再以线段为基础向两端无限延伸，这个扩充过程涉及到由有限向无限的发展，最难以理解，教师则是逐步引导学生认识直线的无限性；当学生能把握由线段向两端无限延伸获得直线的过程，那么学生自然能把握把线段向一端无限延伸的过程，使得学生能够较快的掌握射线的本质属性.其次来自于教师引导学生比较“直线”概念系统之间的异同关系，比较“直线”概念系统之间的异同关系贯穿于概念系统的建构过程，在建构概念系统过程中，要抽取研究对象的本质特征并形成该对象的本质属性作为定义，同时要辨别该概念与其他概念之间的区别与联系，促进学生清晰的把握该概念的本质属性和非本质属性，从而建构一个清晰的概念系统.

二是对无限性思想的理解.“直线”概念系统中蕴含了丰富的无限性思想：直线、射线、线段上点的个数的无限性，直线与射线延伸的无限性，直线与射线长度的无限性.教师在引导学生认识点的属性时，就引导学生认识平面上点的无限性“用你的铅笔尖在纸上画一个小点来标记一个非常具体的位置.请用你的铅笔尖在纸上标记另一个位置，画另外一个点，该点是一个位置的表示.注意这两个点，你和你的同桌可能画在不同的位置.你能在这张纸上画多少个点？”在引导学生认识直线与射线延伸的无限性时，教师说，“如果你愿意这么做，你能不能延长线段AC使得它更长？如果你有一张非常大的纸，你能继续在两个方向上延伸这条线段吗？如果你的纸永远扩展下去呢？线段可以无限继续下去吗？让我们延长线段一点点，并在两头画上箭头表示线段向两端无限延伸下去，我们称为直线AC，写为.”这是从有限向无限发展的过程，却需要把无限转化为有限，用有限的数学语言表征无限的关系，教师适恰的引导学生认识到可以用箭头表示“直线”延伸的无限性.

4 中美“直线”概念系统的课标要求及教材编写与课堂教学的一致性分析

课程标准、教材编写与课堂教学的一致性程度反映着课程改革深入的程度，如果课程标准、教材与课堂教学能够保持较高的一致性，即能说明课程标准的制定者、教材编写者和课堂教学执行者均能把握课程改革的精神实质，能够较好的推动课程改革向前发展；若课程标准、教材与课堂教学不能较好的保持一致性，数学课程改革的效果将被折扣.

中国人教版教材以学生熟悉手电筒的光线为实例引入射线的概念，体现出由具体到抽象的概念形成过程，做到了“结合实例了解线段、射线和直线”，表现出教材编写与课程标准保持一致.美国加州的教材编写与课程标准也保持了一致性，其教材中体现了画“线”的过程，并且特别编写了“识别直线、射线、或线段”部分，做到了“画和识别线，并根据线的属性进行图形分类”.

中美两国课程标准对“直线”概念系统要求的不同没有反映在教材编写上，而是反映在课堂教学过程中.上述中国课堂教学没有与课程标准保持一致性，课例中的老师没有“结合实例”使得学生“了解线段、射线和直线”，而是让学生阅读课本，内化“直线”概念系统的知识，阅读数学教材是内化教材知识的过程，结果只是记住了教材中的知识.美国课堂教学与课程标准保持了一致性，课例中的老师让学生通过画点、线段、直线和射线来达到课程标准的要求——“画和识别线，并根据线的属性进行图形分类”.“画线”渗透于整个教学过程，通过“画线”促进学生认识“直线”概念系统的本质属性，并根据概念的本质属性进行图形的分类，以此来促进学生“识别直线、射线或线段”，学生在此过程中，通过“画”和“识别”从无到有建构教材知识的过程，不但把握点、线段、直线和射线的本质属性，还经历了“直线”概念系统形成过程中渗透有限与无限思想的过程.

此外，中国课例过度依赖教材，不能从“教教材”转变为“用教材教”.而美国课例的教学过程没有过度依赖于教材，主要表现为课堂教学过程中“直线”概念系统的形成过程与教材中“直线”概念系统的形成过程不同，课堂教学过程更加科学，是从无到有、由简单到复杂的引导学生建构“直线”概念系统.虽然这两个案例不能代表中美两国教学的整体情况，但这足以引起广大研究者的深思.

［参 考 文 献］

［1］ 王林全.中美几何教学理念和内容的比较［J］.数学教育学报，2003，12（3）：77-80.

［2］ 齐民友.中国人眼中的欧几里得《几何原本》［J］.数学教育学报，2003，12（1）：1-6.

［3］ 李秉彝.中小学几何教学之我见［J］.数学教育学报，2005，14（1）：1-6.

［4］ 郑翔.几何教学与学生空间想象能力关系的调查研究［J］.数学教育学报，2005，14（3）：40-42.

［5］ 唐恒钧.中美初中几何教材“相似”内容的比较［J］.数学教育学报，2005，14（4）：55-58.

［6］ 张景中.《动态几何》课程的开设在数学教与学中的价值［J］.数学教育学报，2007，16（3）：1-5.

［7］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2011.

［8］ California State Board of Education. Mathematics Framework for California Public Schools ［EB/OL］. http://www. cde.ca.gov/nr/ne/yr13/yr13rel108.asp

［9］ 第五届全国中小学交互式电子白板科科通［EB/OL］.http://www.56.com/redian/MjY1Mjg0/NzE4MzI0MDc.html

［10］ Common Core State Standards for Mathematics ［EB/OL］. https:// wikispaces.hcpss.org

［责任编校：周学智］

中图分类号：G40-059.3

文献标识码：A

文章编号：1004-9894（2016）02-0026-06

收稿日期：2015-12-11

基金项目：教育部人文社会科学规划基金项目——我国农村中小学教师的TPACK及其教学表现研究（14YJA880054）；广东省教育科学规划特色创新项目——小学数学“比与比例”概念系统的课程与教学研究（2014GXJK143）；广东省教育研究院一般项目——最新中美数学教材编写与数学教学特色研究（GDJY-2014-A-b210）；惠州学院哲学人文社会科学项目——中小学数学教师MPCK研究（hzuxl201406）

作者简介：沈威（1982—），男，安徽灵璧人，惠州学院数学系讲师，博士生，主要从事数学课程与教学论研究．

Primary school of China and the United States’ “Line” Concept System of Curriculum and Teaching Research

SHEN Wei1， 2， CAO Guang-fu2
（1. Department of Mathematics， Huizhou University， Guangdong Huizhou 516007， China；2. School of Mathematics & Information Science， Guangzhou University， Guangdong Guangzhou 510006， China）

Abstract:“Line” concept system exists in the form of the concept of independent， is the important source of geometric axioms form， contains both the relationship between Intuitive and abstract， the relationship between part and whole， the relationship between the finite and infinite， thus showing its important foundational status. America's curriculum standards， teaching material writing and classroom teaching practice of the concept of “line” system understanding and interpretation are worth our using for reference and reflections.

Key words:line； the concept of system； the classroom teaching