高中数学知识的实际应用解析

王丽云

[摘 要] 数学知识的实际应用，是深化数学知识理解的重要途径，北师大版的高中数学教材的编排注重数学知识的实际应用. 数学知识的实际应用对于学生而言实际上存在两个互逆的过程：一方面教材提供的实例及其解决，是学生利用已学知识进行问题解决的过程，而学生可以在对不同实例的归纳当中获得此类问题解决的一般思路；另一方面，学生在形成解决思路之后，又可以利用这一思路去寻找新的与数学知识相关的问题.在这个互逆的过程中，学生的解题能力会得到增强，数学素养可以得到提升. 文章以“解三角形的实际应用”为例，阐述了教学实践中的有关思考.

[关键词] 高中数学；数学知识；实际应用；数学抽象；数学建模

课程改革以来，一个教学理念得到了普遍的重视，那就是通过数学知识的实际应用来促进学生对知识的理解. 根据这一要求，不同版本的教材在编排的时候也出现了实际应用的相关章节，这使得一线教师在教学的时候更加有章可循. 但在实际教学中我们经常看到这样的现象：教师将这些实际应用类的章节教学当成简单的数学知识的延伸，只将其作为一种应用类的例题来讲解，而忽视了其本该具有的“实际应用”的价值，这样的教学笔者认为不符合实际应用教学理念的初衷，问题的突破关键在于，怎样才能体现出这种实际应用性呢？对此问题，笔者结合自己的教学经验进行了持续的探究. 现以北师大版高三数学必修五教材中的“解三角形的实际应用举例”为例，谈谈笔者的看法.

高中数学教学中数学知识实际应用的理解

实际应用，从字面来看，应当是数学知识在实际情形中的应用，这样的理解实际上也是众多一线教师的直觉性理解. 但作为教学理念的运用，笔者以为仅仅有此实际应用还是不够的，还需要做出进一步的解读.

结合高中数学教学的要求与实践，笔者以为数学知识的实际应用应当有着这样的几个层次的认识：

第一层次：实际应用首先是将数学学习的触角伸向生活

实际应用的本义，是将数学知识运用到实际生活中，这首先是学生学习视角的变化，通常情况下学生只关注抽象条件下自身解题能力的培养，并不关注具体实际情境中数学知识的应用. 但因为其在传统评价方式中并不影响学生的应试能力，因而并不影响应试的效果. 但笔者发现另一种情形，即学生在实际应用中如果能够得心应手，那在解决陌生的数学问题的时候，往往能够表现出更为强大的能力. 这对当前数学教学是一个重要的启发，即可以突破讲了才会、不讲不会的痼疾. 因此，当学习的触角伸向生活，是可以有效提升学生的问题解决能力的.

第二层次：实际应用强调的是学生的数学抽象能力培养

但数学知识的实际应用，又不仅仅是数学与生活实际的简单联系，而应当是学生在面对实际问题时表现出来的数学抽象的能力，毕竟，实际事物呈现在学生面前的往往不是一个纯粹的数学问题，而是由实际应用包裹着的数学问题，因此学生需要将实际情形进行数学抽象. 数学抽象的过程，是一个运用已有数学知识解构实际问题的过程，在此过程中学生的方向选择是否正确，所用的数学工具是否恰当，影响着数学抽象的结果. 更重要的是，在此过程中学生会不断地出错，这个出错过程往往是学生杂乱思维走向清晰的过程，很有助于学生把握数学知识的应用.

第三层次：实际应用需要学生的数学建模作为支撑

实际应用类的问题有一个显著特征，就是需要数学模型的参与. 实际上上述第二点数学抽象的结果之一，就是建立恰当的数学模型，可以这么说，建立数学模型并分析数学模型，才是数学知识实际应用最为核心的环节. 因此，实际应用需要高度关注数学模型的建立.

结合上面三个层次的理解，来看“解三角形的实际应用举例”中有引入自动卸货汽车液压机构的例子：首先，三角形知识与汽车液压结构相联系，就是数学思维向实际延伸的具体方式之一；其次，在此基础上，学生需要将实际的汽车液压实物抽象成三角形图形（如图1），并基于已知与未知关系建立带有数量关系的三角形模型（如图2），然后利用余弦定理求解（具体略）. 在这个实例当中，遵循着全部以上三层理解，是一个典型的三角形知识在实际应用中的例子.

课堂教学如何凸显数学知识的实际应用性

实际上，并不是所有的数学知识都需要强调实际应用性，忽视了这一点，在数学教学中就会陷入实际应用的“乱花”，常常容易“迷人眼”，反而容易忽视需要重视实际应用的数学知识的教学意义. 那么，在高中数学教学中如何凸显数学知识的实际应用性呢？结合“解三角形的实际应用举例”的教学，笔者做了这样的两点思考：

第一，实际应用的例子从哪里来

综合“解三角形的实际应用举例”这节教材的内容可以发现，实际应用的例子更多地体现出三角形知识在生活中的原型，比如说汽车液压装置，比如说烟囱高度的测量，比如说后面习题中的山顶高度的测定等，这是符合教材编写的思路的. 根据三角形知识中已知与未知的关系，去倒推生活中可能存在的三角形实例，并将之改造成符合本部分知识学习需要的实际应用类问题，就可以成为一个关于三角形的实际应用专题. 事实上笔者还对本课题中的“举例”一词进行了关注，通常来看，举例一般是几个例子的同时列举，并不具有关联特征，从这个角度讲，本知识的教学还有拓展的余地，当然这也是符合当下新课程标准所强调的“用教材教”的理念的.

第二，实际应用可以引导学生进行探究性应用

让学生从所学的知识出发，去思考现实生活中可能与此相关的例子，那会出现什么样的情形？在“解三角形的实际应用举例”一课的教学中，笔者曾经做过这样的尝试，在解决了第一个例题之后，笔者没有继续教材上的实例，而是提出“在我们的生活中，还有哪些是可以利用三角形知识来解的实际应用类的问题呢？”显然，这个问题具有相当的开放性，学生此时的思维过程是怎样的，是笔者重点研究的内容. 研究表明，学生此时的思维包括这样的几个过程：首先，重现三角形的相关知识，尤其会回忆此知识学习过程中遇到的一些纯粹的数学问题；然后学生会根据这些数学问题，去思考生活中有没有基本相同的实际问题，但此种思考往往没有多少结果；再然后，学生会回忆三角形中的具体知识，如正弦定理、余弦定理的证明过程等，这个时候往往会想到一些简单的与三角相关的实际问题. 如，学生想到的是测旗杆的高度（可能与之前的知识积累有关），测河流的宽度等.

那么此时有没有可能形成突破呢？笔者几经努力，发现还是有办法的，但这需要教师做一些前置性的工作，这就是在一开始的例题教学过程中，要突出强化数学抽象与数学建模的过程，让学生深刻认识到实际应用的过程，就是数学知识形象化的过程，也是实际事物抽象化的过程，只要这个过程熟练，那学生在由三角知识向生活回归的时候，就会顺利得多.

实际应用应当成为教学设计与实施的重点

不是每一个数学知识都要通过实际应用来加强认知的，但一旦选择了实际应用这一教学思路，那就需要认真对待，要将实际应用的原汁原味体现出来. 从这个思路来讲，实际应用应当成为教师教学设计与实施的关注重点，要努力落到实处.

在“解三角形的实际应用举例”一课的教学中，笔者致力于上述强调的重点：数学抽象与数学建模.努力走好实际应用的归纳与演绎两步：归纳即通过教材或其他资料的实例，探究实际应用类的问题解决思路，从中认识到数学抽象与数学建模存在的价值，这个过程主要由学生在解决后的反思来完成，因为唯有反思，才能将内隐的解题过程显性化，才能将相对杂乱的数学思维清晰化. 而演绎则是在学生反思的基础之上，通过对已有的实际应用类的问题进行归纳，发现其规律之后再到生活中寻找相应知识可能存在的情境. 从归纳到演绎，是学生学习能力的一种提升，是数学视野从数学视域向生活视域的一种延伸，是数学知识从抽象走向形象，再从形象走向抽象过程的经历，对于高中学生来说，是一种不可多得的学习经历.

总之，实际应用类的知识应用，要注重学生思维过程中归纳与演绎两个互逆的思维过程，并在此过程中强化数学抽象与数学建模，这样才能真正提升学生的问题解决能力，才能真正提升学生的数学素养.