精析概念建构盲点促进数学有效教学

吴宏秀

[摘 要] 高中数学概念教学需要抓住关键点，这个关键点就是学生建构概念理解时的盲点. 学生建构概念的过程，是自身语言系统与数学语言相互作用的过程，此过程中易出现的盲点原因在于学生的原有概念理解不够，更在于学生没有利用自身语言系统理解数学概念的意识与能力. 抓住这个关键，并引导学生用自己的语言系统去理解数学概念，然后向数学语言靠近，就可以实现对概念的精加工过程，从而提升概念教学的有效性.

[关键词] 高中数学；概念教学；语言系统；有效教学

高中数学教学中，概念教学是重要的基础. 由于应试的需要，概念教学又通常变成单向、短时的讲授过程，节省下来的时间自然是用来培养学生运用概念解决问题的能力. 这样的教学思路忽视了学生概念构建的具体过程，不利于学生很好地理解掌握概念，容易为后面的教学埋下隐患. 因此，要重视学生概念建构的过程，更要重视学生在建构概念的过程的一些具体细节. 笔者总结了自己的教学经验，发现学生在概念建构过程中总存在一些盲点，而这些盲点有可能并不被学生自己所察觉，因而对概念的理解就容易出现肤浅的可能. 在推进有效教学的背景下，笔者以为关注、研究学生概念构建过程中出现的盲点，具有非常积极的意义.

高中数学概念构建的基本逻辑

高中数学概念教学有两个基本理解，一是概念是由教师教出来的；二是概念是学生自主构建起来的. 新课程背景下，我们认为第二种理解更为合理，学生在接触到新的概念的时候，一定会有一个自主构建的过程，这个过程的质量如何，直接影响着学生的概念理解与应用.

以“函数的单调性”概念为例，这可以视作一个组合概念，即基于函数概念和单调性概念组合而成的，在一般教学中，学生的注意力以及教师的教学重点会放在“单调性”而非“函数”上，因为教师会无意当中预设一个教学前提，那就是学生已经懂得了函数这个概念，而对单调性则相对陌生，因而教学重点是后者而非前者. 那么对于学生而言，他们构建这个概念时的逻辑又是什么呢？根据笔者的仔细分析，其逻辑过程应当是这样的：首先，学生必须对函数概念以及教师所提供的函数范例有准确全面的理解，这样才不至于将自己的概念构建的注意力集中到函数这一基础概念之上，也才有精力去理解单调性的含义；其次，单调性是建立在两个变量对应变化的基础之上的，理解这种对应变化的关系是理解单调性的基础；再次，这其中又存在着学生个体的语言转换问题，因为概念构建的过程，实际上是学生用自己的语言系统理解新的数学语言的过程. 这一点尤其重要，也是概念构建最为核心的一环，笔者发现，教师结合函数图象讲解两个自变量之间的变化关系的时候，学生大多是能听得懂的. 但听得懂是一个极有风险的事情，因为其会让学生误认为自己真的懂得了这个概念，而在笔者看来，只有学生能够用自己的语言描述单调性的时候，才是真正的懂了——也就是概念构建成功了. 问题在于，当我们让学生用自己的语言描述函数的单调性的时候，遇到的往往是部分学生背诵函数单调性的定义，或者词不达意的情形，遇到这一现象，就意味着学生构建概念并不符合基本逻辑，需要教师高度重视.

学生在概念构建中的盲点分析

基于上述分析来判断学生的概念构建过程，可以发现盲点最容易出现的地方有三处：一是原有概念不熟，自然无法基于原有概念构建新的概念；二是概念理解本身有困难，即听不懂教师的语言；三是在概念构建的过程中，无法有效地在自身语言与数学语言之间转换.其中，前两者与学生的基础有关，一般发生在学困生身上，这需要教师专门针对这个群体，进行基础巩固与语言理解能力的培养. 笔者这里针对第三种可能出现的盲点进行细致的分析，以使得学生在新的概念构建过程中不至于因为概念理解不到位而变为学困生.

教学实践表明，至少有50%左右的学生在数学概念学习中存在着机械理解数学概念的情形，他们无法有效地利用自己的语言去“准确地描述”新学的数学概念，而总是自觉不自觉地选择概念的定义去作为自己的理解. 如在“三角函数”中研究正切函数单调性的时候，很多学生都会照本宣科：每个开区间-+kπ，+kπ（k∈Z）都是函数y=tanx的单调增区间. 而恰恰是这样的照本宣科，暴露了学生在构建概念盲点的时候，忽视了正切函数单调性理解所具有的特殊性：其一，正切函数作为三角函数的一种形式，其单调性的描述服从于三角函数描述的几个基本要求，如对区间的确定、对单调性的描述，以及头脑中应当出现的正切函数图象等. 忽视了这些基本要求而去机械地重述单调性的数学语言描述，必然会让自己的理解变得苍白；其二，部分学生意识不到正切函数的单调性与其他三角函数所具有的共同特征，只看到了它们之间的不同而没有注意到它们之间的相同之处，这种学习策略的缺失，增大了学生的记忆负担，也造成学生的理解水平的差异.

事实上，如果教师能够着力于培养学生的自身语言系统与数学语言的转换，即学会用自己的、直白的语言去描述精确的数学规律，然后再去体验数学语言的精确性，才能完成概念理解所必须的过程，也才会扫除概念构建过程的盲点. 比如说有学生在描述正切函数的单调性的时候就是这样的：正切函数与正弦、余弦函数一样，都有单调性，只是它的单调区间与别的函数的区间不同，我觉得这种不同可以从图象上明显地看出来，因为正切函数的图象不像正弦、余弦函数一样是“连着”的，而是一段一段的……这样的语言显然是学生自我建构出来的一种理解表达，其与精确的数学语言之间存在着表达方式与精确程度上的差异，但学生对概念的理解却必须经历这一过程，尤其是对于概念构建能力相对不强的学生而言，这样的过程，可以有效扫描学生的概念构建过程，也可以让教师更好地把握学生的概念理解过程，从而发现学生概念建构中的盲点.

概念构建现盲点时的教学策略

一旦发现学生在概念建构过程中出现盲点，教师就必须适时以恰当的教学策略跟上. 就上面重点阐述的学生在两种语言系统之间转换出现困难这一盲点而言，笔者坚持的策略并不复杂，那就是努力引导甚至是“逼”着学生用自己的语言去描述数学概念. 这其中存在着这样的两点机制：

其一，激活学生内在的语言系统. 研究表明，学生在理解任何一个概念的时候，首先选择的必然是自身的语言系统，由于学生的个体差异性，他们在理解同一概念的时候往往会有不同的结果，这也是造成新的个体差异的重要原因. 包括函数单调性在内的数学概念在学习之初，如果能够有效激活学生的内在语言系统，那概念构建就成功了一半. 就函数单调性而言，笔者个人以为“单调性”这一概念并不适宜太早出现，因为在学生的思维中“单调”一词与函数变量之间的增减关系实在难以产生直接联系，与其这样，倒不如先用“增减”这一概念来描述变量之间的相互关系，待到学生能够用“增减”来描述这种关系时，再向“单调”转化，这样的教学效果更好.

其二，联结自身的语言系统与数学语言系统. 在数学概念与学生自身的语言系统有了良好的衔接之后，再向数学语言系统过渡，那概念构建的盲点就有可能被扫除.要 知道，数学语言作为极其精确的语言，原本就是长时间历史积淀的产物，学生是很难一下子理解其中的逻辑关系的，而只有在经过了自身语言系统的加工之后，才有可能达成新的理解.这就是数学概念理解的阶梯性，而两种语言系统之间的对接，其实很类似于心理学中的“精加工”概念，有助于促进学生对数学概念这样的言语信息的理解.

高中数学概念构建的教学反思

概念教学是奠基性的，概念在解题中的应用往往并非直接性的，因此师生忽视概念教学的情形很常见，但在学生问题解决的过程中又会发现，往往正是由于一些基本概念的理解不透，造成学生解决问题的困难，这个时候往往教学思路又确定从概念开始，这就形成一个“炒冷饭”的格局. 而如果在概念教学的环节中能够稳扎稳打，其实是可以收到磨刀不误砍柴工的效果的.

概念教学最忌面面俱到，就怕在学生听得懂的地方花费时间，而忽视了学生构建概念的盲点. 摸清概念建构的规律性的东西，是可以把握到学生的概念学习的关键点的. 而学生在概念理解的过程中，需要的也是教师在这些点上的突破方法，建立了这一认识，笔者以为概念教学就抓到了关键，数学教学的有效性也就得到了保证.