“数”里有乾坤

洪菲菲

“平均数”是“统计与概率”领域的教学内容之一。日常生活中，平均数经常由计算得到，因此，以往的教学忽略了其统计学意义，甚至将之纳入了解决问题的范畴。换言之，学生会“算”平均数，却不能从“平均数”入手进行数据分析，作出决策。其实，计算也好，分析也罢，两者不可偏废。尤其在先前“重计算轻分析”的错误倾向影响下，教师更应当重视对其统计学意义的挖掘，从对平均数的分析中，培养学生的数据分析观念。对平均数的认识，应该经历从“线—面—体”的不断充实、逐渐丰满的过程。

一、 线——沟通联系，建立概念

在概念建立之初，教师应当引导学生理解“平均数”的真正内涵。如果片面地侧重于计算，学生就会产生平均数是一个“计算结果”的先入为主的认知，这对于学生在学习过程中建立数据分析观念是不利的。

学生在日常生活中已经积累了一些关于“平均数”的经验，例如，教师经常告知学生每单元考试的班级平均分等等。因此，学生大都认为平均数是计算得来的，对其中“移多补少”过程的认识基本属于空白。平均数就是将几个数据进行“移多补少”之后所得到的“一样多的那个数”，计算背后的实质也是“移多补少”。因此，教学中应当重点突出“移多补少”求平均数的过程，帮助学生建立平均数的概念；同时，沟通“先合后分”（即计算）与“移多补少”的联系，从而帮助学生完善对平均数概念的理解。

在这部分教学中，教师应当设计好生活情境，使学生在“找一组数据的代表”的过程中，感受到平均数表示一组数据“一般水平”的本质意义。同时，在数据的设计上要花心思，使学生产生“移多补少”或者“先合后分”的需要。课伊始，教师可以设置人数不等的两支球队（男生队和女生队）进行“一分钟投篮比赛”的情境。由于两队的人数不等，学生以往“算总数”的方法在这里并不适用。找两队各自的“最大值”作为数据代表进行比较不合适，找“最小值”亦然。在这种矛盾冲突中，学生产生了新的疑惑——“到底找哪个数来代表整支队伍的一般水平呢？”教师在数据大小的设置上要巧花心思，力求使“移多补少”的思路水到渠成。例如，男生队的三名队员投篮数量分别为6个、5个和4个（且用象形图进行显示）。学生在寻找代表男生队投篮一般水平的数时，容易想到“移多补少”，从而找到“5”这个平均数。“移多补少”的思维过程，是学生对平均数的第一次亲密接触，在移补的过程中，他们对平均数的产生及其意义有了初步的理解。接着，教师可以设置另一组数据——四个小组投篮的个数分别为39个、24个、31个、50个，让学生算一算平均每组投篮多少个。由于数据变大，且数据显示方式由象形图改为了条形图，学生进行“移多补少”时产生了困难，由此自然产生了“先合后分”的计算想法。这里，计算不是旧有经验的重现，也不是教师的教授给予，而是学生自然生发的需要。学生在计算之后，教师应当利用多媒体课件再现“39、24、31、50”这四个数据之间“移多补少”的过程（如图1），沟通“移多补少”与“先合后分”之间的联系，使学生感受到计算背后的实质仍是“移多补少”，从而建立对“平均数”概念的正确认识。

二、 面——多维思考，深化理解

学生建立了平均数的概念，学会了求平均数的方法，这还只是对平均数的初步感知。要实现在教学中培养学生的数据分析观念，还得引导学生从多角度对平均数进行探索，理解平均数的诸多特点。

平均数具有敏感性，容易受到一组数据中每个数据变化的影响；平均数总是介于一组数据的最大值和最小值之间；一组数据中每个数与平均数之间的离均差之和等于0……平均数的这些特点，不能通过说教的方式让学生接受，而应该引导学生在数据分析的过程中自然而然地体会和感悟。为此，本节课教学中，教师可以巧妙地设计“问题串”，引导学生在思考的过程中对平均数“抽丝剥茧”，深化对平均数的理解和认识。

男生队和女生队之前因为人数不等，所以以平均数为数据代表“一决胜负”。由于男生队比女生队少1人，教师可以设置男生队要求“加1人”再比赛的要求。而多出的这一个人，正是引发学生进行深入思考的契机点。男生队之前三个人的投篮个数分别是6个、4个和5个，四号队员投篮的数量会对平均数产生影响吗？这个问题具有比较大的拓展空间。教师可以引导学生思考如下几个问题：

（1）如果四号队员投篮个数是5个，男生队的平均数会变吗？为什么？

（2）如果四号队员投篮个数是6个，男生队的平均数会变吗？变化大吗？

（3）如果四号队员投篮个数是9个或者13个，男生队的平均数会变吗？变化大吗？

在这一系列问题的思考与讨论中，学生会感受到：如果新增的数据与平均数相同，那么平均数不会发生变化；新增的数据与原平均数差距越大，平均数的变化也就越大（即平均数容易受到极端数据的干扰和影响）。

在讨论“全班平均每个小组投篮多少个”（即求39、24、31、50的平均数）这一问题时，教师先不要急着让学生找平均数，可以让学生先估一估平均数大概是多少。教师可以继续提问：“它们的平均数可能是24吗？可能是50吗？为什么？”在说理的过程中，学生对平均数介于最大值与最小值之间会有切身的体会。在找到平均数之后，教师可以引导学生观察条形图，找一找各个数据超过平均数的部分与不到平均数的部分之间有什么关系，从而发现各个数据与平均数的离均差之和等于0。

总之，教师要让学生在观察、思考、讨论的过程中，对平均数的特点进行较为深入的剖析和认识。只有体会到平均数的这些本质特点，才能感受到其统计学意义，理解其在数据分析及判断决策等方面的作用。

三、 体——深入浅出，适度拓展

学生在学习了平均数的概念和求法之后，难免会产生一个疑问：“学习平均数有什么用？”如果学生的意识中，对平均数的价值只停留在作为判断胜负的一个依据上，那么，学生数据分析观念的建立会显得苍白无力。教师应该设置富有生活气息的情境，引导学生在实际生活情境中分析平均数，运用平均数进行判断和决策，从而达到培养学生数据分析观念的最终目的。

1.感受平均数的“虚拟性”

平均数并不是一组数据中的任何一个，它代表的是一组数据的整体水平。平均数的“虚拟性”对学生来说略显抽象，教师应当引导学生回归生活，从实际生活中去体会和感悟。例如，学校篮球队员的平均身高是160cm，篮球队员明明是不是就一定比亮亮（158cm）高呢？通过类似问题的辨析，学生对平均数的“虚拟性”会有更深刻的体会，也更能体会到平均数的本质意义。

2.感受样本平均数的价值

生活中，我们经常会从一组数据中取一些样本来计算平均数，并用这个平均数来代表全体数据的整体水平，这是样本平均数在生活中的广泛应用。在本节课教学中，可以设计一些相关的生活情境，使学生体会到抽样计算平均数的实际价值。例如，通过计算四颗大小不一的橙子的平均重量，就可以大致推算出一箱橙子（30个）的总重量。通过这样的练习，使学生体会到平均数在日常生活中的应用价值。

3.感受加权平均数的意义

本节课，学生主要是要认识“算术平均数”，然而当一组数据中每个数据的权重发生变化时，平均数也会随之发生微妙的变化。如何让学生体会到其中权重的微妙变化，使之对平均数的认识更加丰满而全面呢？我们对教材的处理既要深入，更要浅出。教学中，可以设置学生熟悉的购买糖果的情境。水果糖每千克9元，牛奶糖每千克15元，将1千克水果糖和1千克牛奶糖混合成什锦糖，这种什锦糖每千克多少元呢？解决这道题目，是对本节课知识的应用。在此基础上，教师可以引导学生进一步思考，如果想用10元钱购买1千克什锦糖，这1千克什锦糖里，哪种糖多、哪种糖少呢？如果用14元购买1千克什锦糖，里面的糖又是怎样搭配的呢？在渐次深入思考的过程中，学生能感觉到数据的权重发生变化所导致的平均数的变化。这里，只轻轻地帮学生打破数据权重的平衡，而不去探究各个数据的权重到底是多少。其教学旨归仅在于丰富对平均数的认识，而不对此做更深入的探索。

4.感受平均数的“离散性”

平均数作为一组数据的代表，能帮助我们对事件做出判断和决策。相同的平均数，其背后各组数据的离散程度可能有所不同，因此在做决策判断时，还得结合实际情况具体分析。这样的数据分析过程，正是培养学生数据分析观念的良好抓手。教学中，可以设置这样的练习情境，两名学生平均每分钟跳绳110次，该选谁参加年段跳绳比赛呢？虽然两名学生每分钟跳绳的平均数相同，但他们5次的跳绳成绩情况大不相同。一名学生成绩稳定在“110次”左右，离散程度较小；一名学生成绩忽高忽低，离散程度较大。这时，教师引导学生思考两个问题：如果全年段学生平均每分钟跳绳106次，该选谁参赛？如果我们班的对手平均每分钟跳绳120次，该选谁参赛？学生在思考问题的过程中，必须要根据实际情况对数据进行分析，从而做出决策。这样的思考过程，既能让学生感受到平均数背后数据的离散程度所带来的影响，也有利于培养学生的数据分析观念。