实现数学课程目标的四个关键问题

山东曲阜师范大学　　木　玉　　史可富　　(邮编：273165)



聚焦

实现数学课程目标的四个关键问题

山东曲阜师范大学木玉史可富(邮编：273165)

摘要《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出的课程目标是学生通过九年的数学学习应达到的要求.这个目标可分为“知识技能”、“数学思考”、“问题解决”和“情感态度”四个方面.实现课程目标是一个系统工程，有许多问题亟待解决.让学生参与数学活动是获得数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的根本途径；培养学生的数学思考能力是数学教学中非常有价值的行为；加强推理能力训练对于形成学生的数学思考至关重要；通过问题解决可有效的培养学生的数学能力；学生的情感态度直接影响其数学学习效率.

关键词数学课程目标；数学思考；问题解决；情感态度

《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《课标(2011年版)》)对数学课程的“总目标”是这样表述的：

通过义务教育阶段的数学学习，学生能：

(1)获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；

(2)体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力；

(3)了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度.

对于上述总目标，《课标(2011年版)》又从“知识技能、数学思考、问题解决、情感态度”四个方面进行了具体的阐述.这些目标是学生受到良好数学教育的标志，对学生的全面、持续、和谐发展有着重要的意义.如何实现这些目标是一个系统的工程，需要解决的问题很多.笔者经过认真思考和筛选，认为解决好以下四个问题对于全面实施课程目标具有重要的实践价值.

1引导学生在过程中获得“四基”

数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养.数学的“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”(习惯简称为“四基”)是学生未来生活、工作和学习的重要基础，是一个学生基本数学素养中的核心要素.

《课标(2011年版)》指出“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”.学生获取“四基”的根本途径是参加活动，经历知识的产生、形成和应用过程.这就要求数学教学必须揭示出“数学知识的来龙去脉”，让学生经历“数学化”的过程，否则，便会“割断数学与现实世界的血肉联系，就会打消学生学习数学的积极性.”

基础知识和基本技能是学生发展的基础性目标，二者是“交织”在一起的，即学生对基础知识掌握的同时也自然形成了一定的数学技能；反过来，在训练学生用基础知识解决某些问题的技能时，又加深了对基础知识的理解.

在知识技能的教学时，教师应认真研读《课标(2011年版)》和教材，科学分析学生的认知水平，结合具体的学习内容，努力把教材内容进行“二次加工”，在“最近发展区内”将其设计成能引导学生进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动的问题系列，以此引导学生“经历三个过程”：

(1)经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能；

(2)经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能；

(3)经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能.

“数学思想”蕴涵在数学知识的形成、发展和应用过程之中，是数学基础知识和一些解题方法在更高层次上的抽象与概括，不只是拿几个用来表述它的数学语言或概念，更重要的则是其形成与完善的过程，它起始于数学知识，起始于主体对客体的深刻分析和综合认识.

对数学基本思想的教学应结合数学知识和数学活动进行.要在传授数学知识的同时，让学生清晰地了解知识的产生过程、知识间的相互联系以及整个知识体系的构成框架.

形成数学思想方法的基本思路有两条：

一是随着“纯”数学知识的学习，学生不断的进行反思和升华，逐步理解和掌握隐含在这些数学知识之中的数学思想方法.即

二是通过解决一些具体的实际问题，使学生在巩固、掌握所需要数学知识的同时，形成那些对人的数学素质有促进作用的基本思想方法，即

这两条思路都离不开“过程”，可见，数学思想的形成与发展是在学生经过数学活动的过程中实现的.

“数学活动经验”是人们在数学活动过程中形成并在遇到某种相似情景时可以忆起的某种体验、方法性知识或某种观念，它是学生在“做”的过程和“思考”的过程中积淀并逐步积累起来的.引导学生积累数学活动经验的根本途径也有两条：

一是进行有效的思考与探究活动，经历数学概念的发生过程、数学命题的探索过程、解题思路的探寻过程、问题的发现、提出和解决过程，在经历这些过程的同时积累数学活动经验；

二是参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验.

案例1“零指数幂”的建立过程.

“零指数幂”的意义是一种“规定”，但教学中不能单纯地要求学生记住这个“规定”，并进行相应的操练，而应根据学生已有的学习经验，设计一些有利于学生进行观察、思考与探究的问题，尽量充分地展开引入这个规定的“过程”，引导学生感悟这种“规定”的合理性.

这个概念的建立过程可分为以下三步：

(1)提出猜想：20=1.

零指数是同学们学习中的一个难点.为了降低教学难度，教师一定要把引入它的“合理性”展现出来，为此，可这样引导：

①让学生计算2222.启发学生分别用除法和同底数幂除法的运算性质进行计算，从而得到下面的结果：2222=1或2222=22-2=20.

②提问学生：如何解释对于同一个题目用不同的方法计算会得到两种不同的答案？

③学生猜想：为了使被除式的指数等于除式的指数时，同底数幂除法的运算性质也能使用，应当有20=1.

(2)质疑这个猜想是否合理，并通过多种途径引导学生感受猜想的合理性.

例如，可以用细胞分裂作为情境，提出下面的问题：

一个细胞分裂1次变2个，分裂2次变4个，分裂3次变8个……，那么一个细胞没有分裂时个数为多少？

如图1，观察数轴上表示2的正整数次幂……16，8，4，2，…的点的位置变化，你发现了什么规律？

图1

观察下列式子中指数、幂的变化，你发现了什么规律：

24=16，23=8，22=4，21=2，2()=1.

这样，学生通过探究活动，就能比较充分地感受到“20=1”的合理性，于是作出“零指数幂”意义的“规定”：a0=1(a≠0).

(3)验证这个规定与原有“幂的运算性质”是相容、和谐的.

运用幂的运算性质：a5÷a0=a5-0=a5；根据零指数幂意义的规定：a5÷a0=a5÷1=a5.

这样引入“零指数幂”概念，学生将经历如下的过程：面对问题挑战→提出猜想(“规定”)→说明猜想的合理性→做出“规定”→验证这种“规定”与原有知识体系的和谐性(一致性)→数学得到进一步发展.

学生在经历上述系列过程的同时，不仅能理解、掌握“零指数幂”的意义，而且还能积累学习“零指数幂”的数学活动经验，借助这样的经验科学地探究其他相关问题.这样设计“零指数幂”的教学过程，充分地体现了数学自身发展的轨迹，有助于学生感受数学是如何在自身的矛盾运动中，不断地得到发展的.

总之，学生只有在经历知识的发生、发展过程当中，才能做到扎实掌握数学的基础知识，形成基本的数学技能，感悟基本的数学思想方法，不断积累基本的数学活动经验.从而实现《课标2011年版》)提出的第一条课程“总目标”.

2加强推理能力的训练，让学生学会数学思考

“四基”是从传授知识层面而言的，数学教育的意义远远不只是知识的传授，更为重要的应该是训练学生的心智、开发并提升其潜能，逐步形成数学思考的习惯.所谓数学思考，就是在遇到各种各样的问题情境时，能够运用数学的知识、方法、思想和观念去分析、探究，从而发现其中存在的数学现象和数学规律，并运用数学的知识和方法加以解决的过程.数学思考是数学教学中最有价值的行为，无论是题型模仿，类型强化，还是技能操练都离不开数学思考.因为学生只有通过数学思考才能体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，从而增强发现问题和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.也只有通过数学思考，学生才能真正感悟到数学的本质，体会到数学知识之间存在的实质性的联系，从而在创新实践方面得到发展.

培养学生数学思考的方法很多，笔者认为加强推理能力的训练是非常有效的.《课标(2011年版)》指出：“推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)和确定的规则(包括运算的定义、法则、顺序等)出发，按照逻辑推理的法则证明和计算.在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论.”

在数学教学中应按照由“合情推理”到“演绎推理”再到“合情推理与演绎推理并用”的顺序培养学生的推理论证能力，逐渐使学生既会进行猜想，又能把握证明；既能合情推理，又能严格论证.要把推理能力的训练贯穿在整个数学的学习过程之中，这里的“整个学习过程“主要包括三个层次的含义：

其一，应贯穿在整个数学课程的各个学习内容中，即包括《课标(2011年版)》界定的“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”及“综合与实践”等所有领域；

其二，应贯穿在数学课堂教学的各种活动过程中；

其三，应贯穿在整个数学学习的各个环节之中.

在“图形与几何”部分，用点、线、角、三角形、圆等这些学生容易接受而明确无误的数学对象作为载体，训练他们的推理能力是十分有效的.在学习这部分的许多内容时，教师要通过创设情境引导学生用合情推理探索思路，发现结论，用演绎推理证明结论，这样学生可搞清它们的来源，分清它们的条件和结论，弄清抽象、概括或证明的过程，让学生做到“既知其然，又知其所以然.”

案例2“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的发现与证明过程

对于这个判定定理，教师在引导学生学习时，不可直接去证明，而是要设法让学生先发现这个结论，然后再给出证明.让学生发现的方法有许多，为突出数学的直观性，培养学生的动手操作和观察、发现等能力，我们选择让学生通过操作实验来发现的方式.具体操作、探索过程为：

(1)如图2，剪两个一样大的三角形硬纸片ABC，A′B′C′(三边都不相等的)；

(2)用这两个三角形拼成四边形，观察所得到的四边形的特点，你能得到怎样的猜想？并相互交流自己发现的结论；

(3)证明所得到的猜想，将其归纳成一般结论.

图2　　　　　　图3

学生在操作的过程中将会猜想到“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，并且还能进一步发现，在图3中，已知AB=CB′，且BC=AB′，要证明四边形ABCB′是平行四边形，只需连接AC，证明△ABC与△CB′A全等即可.这个证明思路就是学生在拼接三角形纸片的过程中自主发现的，学生一旦发现这个思路，证明过程就容易了.这样的导学过程，与教师一开始就直接添加辅助线AC，证明△ABC与△CB′A全等，从而得出结论相比，学生的收获会有很大的差别.对于一些几何证明问题，如果长期坚持“先探究思路，再证明”的教学方式，学生的数学思考能力、动手实践能力、解决问题的能力、创新能力等将会有很大的提高.这一点符合《课标(2011年版)》倡导的基本理念，但却是我们的教学现实所欠缺的.

一个中学生在他工作之后，有可能再没有遇到过一个几何题目或一个解方程的问题，但他从数学学习过程中所培养起来的思考能力、分析判断能力、推理论证能力等，却伴随他的终生.这便是数学教学所追求的崇高目标.

3通过问题解决提高学生的综合素养

问题解决中的“数学问题一般指对人类具有智力挑战特征的，没有现成方法、程序或算法可以直接套用的那类问题.”要解决这样的问题，要求学生能够从给出的问题情境中通过分析，获取有关的信息，利用这些信息建立起数学模型，并能够灵活运用有关知识加以解决.重视问题解决对于培养学生的“应用意识”、“推理能力”、“模型思想”、“创新意识”等核心概念都是非常必要的.因此，重视问题解决是各国数学课程标准的共同要求.

《课标(2011年版)》针对“问题解决”，是这样强调的：

(1)初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；

(2)获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识；

(3)学会与他人合作交流；

(4)初步形成评价与反思的意识.

问题解决不仅仅是数学课程的目标，而且还是一个发现的过程、探索的过程，通过问题解决使学生实现“再创造”的过程.学生借此过程可以真正认识、感悟和理解数学.

案例3“握手次数”问题.

在一个国际活动中，来自不同国家的10位代表第一次见面，他们两两握手做自我介绍.试问：

(1)在这次见面中有多少次不同的握手？

(2)如果代表的人数多于10人，共有多少次握手？对于任意人数赴会，能否找出一种办法计算不同的握手次数？

这是一个很有趣的问题，对于培养学生的数学思考能力、问题解决能力等都是非常有益的.为了降低难度，引发学生的学习积极性和主动性，我们可以用下面的三个问题引导学生去思考与探索：

(1)如果有两个同学，则握手1次；如果有3个同学，要握手3次；如果有4个同学，要握手6次……如果有5个同学、6个同学呢？有n个同学呢？

用y表示n个同学两两握手一次需要握手的次数，请完成下表：

n123456…y

(2)以表中的对应数据为坐标点，描出y与n之间的函数关系所对应的图象.

(3)猜想y与n之间的函数关系是怎样的？并求出y与n之间的函数关系式.

简解(1)学生通过实验、探究等活动，不难得到表格中对应的y值，依次是0，1，3，6，10，15.

(2)在得到y的值后，建立如图10所示的直角坐标系，横轴表示学生人数n，纵轴表示这n个学生两两握手时握手的次数y，描出并用光滑连线连结表中的各点：(1，0)，(2，1)，(3，3)，(4，6)，(5，10)，(6，15).

(3)观察图4可以发现，经过这些点的图象是一条抛物线的一部分，故不难猜到y与n之间的函数解析式为y=an2+bn+c，把(1，0)，(2，1)，(3，3)代入得

这就是人数n与握手次数y之间的一个数学关系式，有了这个关系式，握手问题就不难解决了.

由于问题解决中所指的问题比较新颖，似乎无规律可循，使得学生没有现成的对策，因而需要进行创造性的思考、探究、猜测等活动.只要学生具有坚实的数学基础知识，具备熟练数学基本技能，掌握一些探究数学问题的经验和方法，就不难解决.长期坚持这样的训练，学生的问题解决能力将不断得到提高，并且逐渐形成和提高自己学习的能力.

4重视情感态度的培养

普罗泰戈拉是古希腊伟大的哲学家和教育家，他曾提出一个著名的哲学命题，也是一个重要的教育原则，即“人是万物的尺度，是存在者存在的尺度，也是不存在者不存在的尺度”.柏拉图对这句话的解释是：“同样的风在刮着，然而我们中间有一个人会觉得冷，另一个人会觉得不冷，或者一个人会觉得稍微有点冷，又有一个人觉得很冷”.柏拉图正确地解释了普罗泰戈拉命题的含义：风冷不冷不决定于风的客观存在，而决定于人的感觉，决定于主体.

这个颇有相对论味道的命题告诉我们，就数学教学而言，教师教得好与不好，不只决定于教师的教，而主要决定于学生的学习情感、学习意志、学习习惯和学习能力.正因为如此，许多国家都非常重视对学生情感态度和价值观的培养.《课标(2011年版)》倡导的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程基本理念，就包含着对学生健全人格的发展以及学习自信心、责任感、合作意识、创新意识、求实态度和科学精神等的要求，

当然，实现《课标(2011年版)》提出的课程总目标，亟待解决的问题还有很多.希望我们广大的数学教育工作者、一线教师不断加强研究和学习，特别要大力研究《课标(2011年版)》、研究教材、研究学生，精心创设问题情境，引导学生经历数学概念的建立过程、运算法则及定律的归纳过程、数学命题的发现过程、解(证)数学题目时思路的分析过程等.让他们以“再发现”和“再创造”的方式经历数学知识的发生、发展和应用过程.在这个过程中，一方面，学生能容易地自己发现并掌握知识、形成技能，更好地体验学习内容中的情感，使原来枯燥、抽象的知识变得生动形象；另一方面，学生在应用这些知识解决新的实际问题的过程中还能达到巩固基础知识、发展基本技能的目的，并获得对这些知识所蕴含的基本数学思想的感悟、基本活动经验的积累和积极向上的情感体验，从而为学生未来的生活、工作、学习和研究等奠定坚实的数学基础.

参考文献

1中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版).北京师范大学出版社，2012

2史宁中.义务教育数学课程标准(2011年版)解读.北京师范大学出版社，2012

3李树臣.渗透数学模型思想的基本途径 .中学数学杂志，2012(10)

4李忠.数学的意义与数学教育的价值.课程·教材·教法，2012(1)

5李吉宝，李树臣. 新课程标准下中学数学教学之特征 .数学教育学报，2009，18(3)

基金项目:山东省社会科学规划课题——新课程改革背景下的中学数学课程目标实施研究(课题编号：15CJYJ17).

(收稿日期：2016-04-12)

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