利用几何画板探索圆锥曲线试题题根的教学案例

江苏省海门中学证大校区　　黄卫平　　(邮编：226100)



利用几何画板探索圆锥曲线试题题根的教学案例

江苏省海门中学证大校区黄卫平(邮编：226100)

对于一个试题，削弱其条件，加强其结论，追根溯源得到一个更加普遍性意义的结论，这就是这个试题的题根．如果我们对一个试题疑似它有一个有价值的题根，就应该大胆进行猜测，探索论证其正确性．研究试题的题根，对教师而言，能够有效提升业务素质，对命制试卷具有题库作用；对学生而言，培养研究探索精神和推理论证能力大有益处．在圆锥曲线问题中，利用几何画板研究问题的一般性，探索结论的正确性具有特殊的优势．

下面以一道2015年江苏高考学科基地秘卷(数学第十套)(江苏人民出版社)上的试题为例，和大家分享利用几何画板探索圆锥曲线试题题根的教学案例．

(1)求该椭圆的方程；

(2)求证：直线MN恒过x轴上的一个定点．

通过几何画板演示发现(如图3)，结论是肯定的，下面进行证明．

①

②

下面证明，当PM、PN斜率都存在时，直线MN也经过点Q.

设直线PM的方程为y-y0=k(x-x0),与椭圆方程联立，消去y,整理得

(b2+a2k2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0,由韦达定理可知，

所以yM=kxM+(y0-kx0)

将上述繁分式进行化简，并将分子分母分别按k进行降幂排列，得到

探索2当点P在椭圆上运动的时候，这个定点Q的轨迹有什么特征？

设点Q的坐标为(x，y),则

这就是点Q的轨迹方程，轨迹为椭圆，而且这个椭圆和已知椭圆以原点为中心位似．

探索3如果将条件中的“垂直”改为“其它角度”，结论又会如何？

我们以直线PM、PN相交成30°为例，通过几何画板演示发现，直线MN没有过一个定点，但是得到一个有趣的结论：直线MN形成一个包络，这个包络是椭圆(如图4)．这个结论利用微分几何知识可以证明，在此就不证明了．

我们将上面的探索结果系统整理成以下结论：

且这个椭圆和已知椭圆以原点为中心位似．

(2)当直线PM与PN不垂直时，直线MN不过定点，但是直线MN形成一个椭圆包络．

探索4对于双曲线是否具有类似结论？

由双曲线方程的特点可知，将结论1中的b2改为-b2就可以得到如下结论：

(2)当直线PM与PN不垂直时，直线MN不过定点，但是直线MN形成一个双曲线包络．

探索5对于抛物线是否也有上述类似的结论呢？

通过几何画板演示发现，抛物线也有上述类似的结论．

结论3设P(x0，y0)是抛物线y2=2px(p>0)上的任意一点，过P作两条直线PM、PN交椭圆于M、N两点．

(1)当PM⊥PN时，直线MN恒过一个定点Q(x0+2p，-y0),若点P在抛物线上运动，则这个定点Q的轨迹为抛物线y2=2p(x-2p)(p>0),且这个抛物线是已知抛物线向右平移2p个单位所得．

(2)当直线PM与PN不垂直时，直线MN不过定点，但是直线MN形成一个抛物线包络．

证明如图5，设点M(x1，y1)，N(x2，y2),

所以直线MN恒过定点Q(x0+2p，-y0).

当点P在抛物线上运动，这个定点Q点轨迹为抛物线y2=2p(x-2p)(p>0),且这个抛物线是已知抛物线向右平移2p个单位所得．

(2)这个结论利用微分几何知识可以证明，在此就不证明了．

以上的探索过程层层深入，将原试题对特殊曲线、特殊位置的结论推广到一般圆锥曲线、一般位置的结论，得到了具有更加广泛意义的题根．现代信息技术、几何画板的使用，使图形的变化更为直观，给探索问题提供方便，使课堂注入了新的活力，学生对这样的课堂很有兴趣，参与探索和研究的积极性很高，而且对椭圆和抛物线问题的证明，分别采取了不同的合理方法．这样的课堂应该多加尝试、研究．

(收稿日期：2016-03-12)