FCC晶体中孔洞的聚合行为研究

安红萍，孟诗茹

（太原科技大学材料科学与工程学院，太原030024）



FCC晶体中孔洞的聚合行为研究

安红萍，孟诗茹

（太原科技大学材料科学与工程学院，太原030024）

摘 要：通过编写率相关用户子程序UMAT，实现了有限元计算中晶体塑性本构关系描述。采用含两个球形孔洞单晶模型，模拟分析了FCC晶体中不同晶体取向下孔洞的聚合行为。计算结果表明孔洞的聚合与晶体取向密切相关，在变形过程中，随着晶体取向不同，孔洞形状、长大方向和孔洞间韧带宽度也不同，就Cube、Goss、Copper和Brass四种初始取向而言，Cube取向中的孔洞的聚合效应最强烈最易聚合。单晶体中两孔洞间韧带区变形充分且孔洞沿韧带方向显著生长会加快孔洞的聚合速度。

关键词：晶体塑性有限元；孔洞；晶体取向；聚合

微孔聚集理论认为，金属材料中孔洞在夹杂物或第二相粒子周围形核、扩大与聚合会导致材料中宏观裂纹的萌生和断裂［1］，因此研究微孔洞的聚合长大行为对揭示金属材料的损伤过程有重要意义。特别地，这些孔洞的尺寸一般都在微米级，要确定孔洞演变行为必须考虑孔洞周围基体材料的各向异性。晶体塑性理论能够充分考虑材料局部各向异性及晶体结构特征，因此不少学者利用晶体塑性有限元研究微孔洞的长大与聚合行为。Shu［2］发现单晶体中的小孔洞的长大趋势小于大孔洞；Orisini等［3］人的研究结果表明晶体的转动和塑性滑移集中在孔洞之间的区域；Potiniche和Hearndon［4］人采用2D晶体有限元研究了双向载荷条件下不同晶粒取向的单晶体中对孔洞的聚合，计算结果表明孔洞生长率随载荷增加而递增，但不受晶粒取向影响；刘文辉［5］通过编制有限元用户子程序，运用有限元模拟研究了孔洞在聚合行为，发现孔洞的聚合与取向因子密切相关。但上述研究大多是在2D模型下完成的，而塑性变形机理决定了晶体变形的非对称性，因此要全面、准确地了解孔洞的长大行为必须采用3D模型。

本文采用Fortran语言编写率相关用户子程序，并通过ABAQUS软件的UMAT接口，实现晶体塑性本构关系的描述。在此基础上，建立含两个球形孔洞的3D单胞，运用晶体有限元研究不同晶体取向下孔洞的聚合行为。

1 晶体塑性理论模型

晶体变形可分为弹性和塑性两部分，Hill［6］，Hill和Rice［7］等将总的变形梯度F进行乘法分解：

式中，Fe为弹性变形梯度，Fp为塑性变形梯度。

仅考虑滑移引起的塑性变形，故：

式中，γα为第α个滑移系的滑移剪切率，mα与nα为相应的滑移方向矢量和滑移面法向矢量。m*α，n*α为变形后的滑移方向矢量和滑移面法向矢量。

根据Hill和Rice理论，单晶体本构方程可以表示为：

式中，C是各向异性的弹性模量的四阶张量，D为变形率张量，τ^为初始构型柯西应力的Jaumann率。

其中剪切应变率表达式为：

式中晶体硬化程度用gα来描述，其演化由下式描述：

式中，hαβ为硬化模量，qαβ为潜硬化矩阵，h0为初始硬化模量，τ0为初始临界分切应力，τs为饱和流动应力为α滑移系上的滑移剪切应变，q为系数。

将上述方程数值化后，在ABAQUS软件中通过UMAT接口实现晶体塑性本构描述。

2 孔洞聚合的晶体塑性有限元模型

孔洞的初始体积百分比f = 1%，d0/ l = 0.212，d0为孔洞直径，l为单胞边长，孔洞间初始韧带宽度设为0.5 d0.为较好地分析孔洞周围变形，对其周围网格进行细化，采用C3D8单元划分网格，如图1所示。

图1 含两孔洞的1/2单晶模型Fig.1 1/2 model for single crystal containing two holes

按照比例加载的方式，通过控制单晶模型在X、Y、Z轴方向的位移实现两孔洞体积增大聚合，即：εx+εy+εz＞0，如图2所示，X轴方向的位移为：x = 0.1l，Y、Z轴方向的位移为：y = z = ax = bx，a = b = - 0.235（负号表示与X轴方向位移相反），即沿X轴方向拉伸，Y、Z轴为压缩变形。

图2 孔洞聚合的单晶模型的边界条件Fig.2 Boundary conditions for single crystal

计算用材料参数如表1所示［8］：

表1 FCC晶体模型中的材料参数Tab.1 Material parameters of FCC single crystal model

3 结果讨论与分析

本文分别研究四种初始晶粒取向：Cube（｛001｝＜100＞，欧拉角（0°，0°，0°））、Goss（｛011＜100＞，欧拉角（0°，45°，0°））、Copper（｛112｝＜1-1-1＞，欧拉角（90°，30°，45°））、Brass（｛011｝＜21-1-＞，欧拉角（35°，45°，0°））.

3.1 晶粒取向对韧带区应变分布的影响

图3、4分别为四种初始取向的单晶体在X方向拉伸应变εx= 0.02和εx= 0.1时XZ截面的等效塑性变形图，由图可知四种初始取向的单晶体中的最大等效塑性应变均出现在孔洞之间的韧带区域，这表明孔洞的存在使晶体内部出现变形局部化，其原因应当与该处约束较少滑移易于进行有关。显然，由于晶体取向的不同各晶粒内部最大等效应变明显不同，这也在一定程度上反映了韧带区金属变形的难易程度，是影响孔洞聚合进程的重要因素。

从图3中可发现，当εx= 0.02时，Cube取向的单晶中孔洞之间整个韧带区域均产生了明显的应变集中，最大等效塑性应变值为1.724 11，而其他三种取向的单晶中的仅在韧带两侧孔壁处出现高应变值。由图4可得，当εx= 0.1时，各晶粒内等效应变分布状态与图3中并无显著变化。其中，Cube取向的单晶中最大等效塑性应变值达到5.384 85，仍为四种取向中的最大值，韧带区应变集中程度最为明显。

图3 εx=0.02时四种初始取向的等效塑性变形图Fig.3 Equivalent plastic strain for four initial orientations of x-axis strain of 0.02

图4 εx=0.1时四种初始取向的等效塑性变形图Fig.4 Equivalent plastic strain for four initial orientations of x-axis strain of 0.1

为定量分析在不同晶粒取向下孔洞间韧带区的应变分布情况，对韧带区的等效应变值进行提取分析，图5为不同晶粒取向的单晶中韧带区中同一节点的等效应变值随X方向应变的变化曲线，由图可得，四种初始晶粒取向中的单晶中韧带区的等效应变值均随着X方向应变值的增大而增大。在沿X方向相同变形条件下，Cube取向的单晶中韧带区该点处的等效应变值最大，且整个变形过程中始终保持最大值。在区间为0.02≤εx≤0.045的变形阶段，曲线斜率明显最大，即在此阶段变形速率较快，变形也极易完成。

图6为εx=0.1时Cube取向和Brass取向单晶中的双孔洞间韧带区域同一节点C处（如图3所示）的滑移系分布情况，由单向拉伸的应力应变曲线［9］可知Cube取向的单晶取向较软最易屈服，从图6中可以看出取向较软的Cube取向单晶中C点滑移系启动数量（8个）明显多于取向较硬的Brass取向的单晶（4个），且剪切应变值大小相当，分布也比较均匀，由此可知由于晶粒取向的不同，导致孔洞间韧带区滑移系启动数量与滑移程度均不同，Cube取向单晶中孔洞间的韧带区更易发生塑性变形。

图5 等效应变随X轴应变的变化曲线Fig.5 Equivalent strain vs.εx

3.2 晶粒取向对孔洞生长方向的影响

对比图3、图4发现，随着X方向拉伸程度的增加，各晶粒内部双孔洞间韧带宽度都沿着Z方向不断减小。但是在相同变形条件下，随着晶体取向的不同韧带的瞬时宽度及孔洞的形状均有所不同。其中，图3中各孔洞形状均较为规整，而图4中各孔洞则出现一定程度的椭圆化且长轴接近X方向，Cube取向的单晶中孔洞的椭圆化程度较轻。图7为在变形过程中孔洞X轴方向的最大尺寸Lx与初始直径d0的比值随应变的变化曲线。由图可知，变形过程中四种取向的单晶中孔洞均沿X方向有所长大，其中Copper取向最明显，其次为Brass取向，而Goss取向、Cube取向的单晶中孔洞沿X方向长幅略小。图8为各孔洞在变形过程中沿X和Z轴两方向的最大尺寸之比（Lx/ Lz）随应变的变化情况，显然此比值越接近于1，孔洞越可能保持圆形，反之孔洞椭圆化越严重。从图中可以看出，在变形过程中，Cube取向的单晶中Lx/ Lz的值始终保持最小值，而Copper取向的单晶中Lx/ Lz的值则始终最大。这就意味着，较之其他三种取向的单晶，Cube取向单晶中的孔洞沿Z方向的长大程度与其沿X方向的长大程度最为近似，而Copper取向的单晶中孔洞沿X轴方向长大程度要比其沿Z方向的长大程度明显。结合图7和图8可得晶粒取向对孔洞的长大方向有显著影响，在XZ平面内Copper取向的单晶体内孔洞主要沿X方向生长，而Cube取向的单晶体内孔洞则沿X、Z双向生长。此外，图8中Cube取向的单晶所对应的曲线在εx= 0.045的位置处存在一个明显的拐点，可以看出当应变εx≤0.045时，曲线变化较平缓，而εx≥0.045时曲线则急剧上升。这表明Cube取向的单晶中的孔洞在变形前期沿Z向生长较充分，而变形后期孔洞沿Z向生长程度明显不足。

图6 εx=0.1时滑移系启动情况Fig.6 Startup situation of slip system at 0.1 strain x

图7 孔洞X轴方向最大尺寸与初始直径比值随应变的变化曲线Fig.7 Width（Lx/ d0）vs.strain εx

图8 孔洞的长短轴比值随应变的变化情况Fig.8 Width（Lx/ Lz）vs.strain εx

3.3 晶粒取向对孔洞聚合速度的影响

借鉴Horstemeyer等人［10］的研究本文采用瞬时孔洞韧带宽度与初始韧带宽度比值来定量分析孔洞的聚合效应。图9为孔洞之间的瞬时最小韧带宽度与初始孔洞宽带（0.5d0）的比值随应变的变化曲线，观察所有曲线，不难看出在整个变形过程中，Cube取向中的韧带宽度比值下降速度始终最快，这意味着该取向的单晶内孔洞聚合速率最快。而整个变形过程中该曲线下降最快的一段又出现在区间为0.02≤εx≤0.045，由图可得在应变εx=0.02时，Cube取向的单晶中孔洞间最小韧带值与初始韧带值比值为0.686 885，Goss、Copper和Brass取向的单晶中此比值分别为0.802 13、0.791 598、0.805 778.当应变时，上述四种取向的单晶体中孔洞间最小韧带值与初始韧带值的比值分别为0.335 82、0.605 68、0.545 23、0.544 75，计算得Cube取向在此阶段的相对聚合率高达51%，是整个变形过程中的最大值。显然，此阶段Cube取向的单晶中内孔洞聚合效应最明显。

图9 孔洞之间宽带的变化曲线Fig.9 Width of inter-void ligament

结合图8、图5可知，在区间为0.02≤εx≤0.045的变形阶段，正是由于Cube取向的单晶中孔洞沿Z向的显著生长引起了韧带区快速变形，从而促进了孔洞的聚合。

综上可知，拉伸变形状态下，单晶体内双孔洞聚合效应与晶体取向及孔洞长大方向密切相关。晶体取向不同，韧带区变形程度也不相同，该处明显的应变集中有利于双孔洞聚合。而两孔洞聚合速度的快慢则取决于两孔洞沿Z轴方向的长大程度，沿Z轴方向长大程度越明显，则孔洞聚合速度越快。

4 结论

（1）单晶体中孔洞的聚合与晶体取向密切相关，在变形过程中，随着晶体取向的不同，孔洞形状与孔洞韧带宽度也不同，四种初始取向中，Cube取向的单晶中的孔洞聚合效应最为强烈，且最易聚合。

（2）单晶体中孔洞聚合速度的快慢取决于两孔洞的主要长大方向与韧带区变形的难易程度，当韧带区变形充分且孔洞沿韧带方向显著生长，则孔洞聚合速度较快，反之，则较慢。

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Research on Void Coalescence Behavior in FCC Single Crystal

AN Hong-ping，MENG Shi-ru
（College of materials Science and Engineering，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China）

Abstract：A rate-dependent user subroutine UMAT was written in Fortran language，which could be used for describing the crystal plasticity constitutive relation in the finite element calculation.A single crystal model including two 3D spherical voids was established to study the aggregation behavior of voids with different crystal orientations in FCC crystal.The computed results of different crystallographic orientations were compared，which shows that significant shape，growth direction and ligament are different with different crystal orientations in the modification process.The coalescence effect of cube orientation voids is found to be the strongest and easiest to polymerization by comparing the four initial crystallographic orientations（cube orientation，goss orientation，copper orientation，brass orientation）.And the main growth direction of two voids in single crystal is consistent with the ligament direction，and the easier deformation ligament zone will accelerate the rate of coalescence of voids.

Key words：crystal plasticity finite element，void，crystal orientation，coalescence

中图分类号：TG316

文献标志码：A

doi：10.3969/ j.issn.1673 -2057.2016.03.010

文章编号：1673 -2057（2016）0212 -06

收稿日期：2015-11-17

基金项目：山西省科技攻关（20130321010-04）；太原科技大学博士科研基金（20122057）

作者简介：安红萍（1973-），女，博士，副教授，主要研究方向为塑性成形理论及模拟技术。