关于At（t≤3）群的LA猜想

白 颉，张慧玲

（太原学院数学系，太原030001）



关于At（t≤3）群的LA猜想

白 颉，张慧玲

（太原学院数学系，太原030001）

摘 要：LA猜想是有限p群中一个著名的猜想.主要依据At（t≤3）群的分类，结合各类群的特点，通过计算其自同构群的子群或其自同构群的阶，证明了A1、A2、A3群满足LA猜想。

关键词：LA猜想；At群；自同构群；阶

有限群的自同构群是有限群中一类非常重要的群.近年来，关于有限p群的自同构群的阶备受关注，文献［1-5］给出了一些小阶群的自同构群的阶，而对于一般的有限p群，文献［6］给出了其自同构群阶的最佳上限，但对其下限至今仍未彻底解决，即著名的LA猜想：设G是有限非循环p群，= pn，n＞2，则.文献［7-9］证明了一些小阶群关于LA猜想的结论；文献［10］证明了某些特殊p群满足LA猜想；文献［11-12］证明了亚循环p群满足LA猜想。At群是一类重要的有限p群，在同构意义下，任何一个非交换的pn阶群G都可以看作是某一个At群，其中1≤t≤n - 2.因此，证明At群满足LA猜想意义非凡。下面借助于文献［13-15］对At（t≤3）群的分类，结合各类群的特点，通过计算其自同构群子群的阶或其自同构群的阶，证明了A1、A2、A3群满足LA猜想。

1 预备知识

定义 设G为有限p群，t为任意一个正整数，称G为At群，若G的每个指数为pt的子群都交换，并且G至少有一个指数为pt-1的非交换群。显然，内交换p群即是A1群。

引理1［16］设G为有限p群，则以下叙述等价：

（1）G是内交换p群；

（3）d（G）= 2，c（G）= 2且G有一个交换极大子群。

综合文献［7-9，11，19］中关于LA猜想的结论，得如下引理：

引理2 设G是有限p群，若群G满足下列条件

（2）c（G）= 2；

（5）G为亚循环p群.

引理3［16］设p≠2，n是正整数。假定U = U（pn）是由zpn的可逆元组成的乘法群，即U =｛x∈｝.设S（U）∈Sylp（U），则S（U）∈，并且S（U）是pn-1阶循环群。S（U）的唯一pt阶子群是Si（U）=｛x∈Ux≡1（mod pn-1）｝，0≤i＜n.

2 关于At（t≤3）群的LA猜想

本节将依次证明A1、A2、A3群满足LA猜想。

定理2.1 设群G是A1群，则.

证明 由At群的定义知，A1群是内交换p群，由引理1知，c（G）= 2，从而据引理2知，.

定理2.2 设群G是A2群，则.

证明 据文献［13］的A2群表知，G有以下三种情形：

（1）G为亚循环p群；

（3）G有交换极大子群.

定理2.3 设群G是A3群，则.

若G无交换极大子群，参考文献［14-15］的群表，可知G有以下几种情形：

（2）c（G）= 2；

（3）亚循环p群；

（6）G是初等交换p群N被内交换p群的中心扩张；

由引理2知，前五种情形均有.

下证情形（6）、（7）也满足LA猜想。

（i）G/ N≌Mp（n，m，1），且G′≌.若G =＜a＞＜b＞＜c＞，设：

其中i = 1（p），j≡1（p），h≡0（pm）

1≤i≤pn+1，1≤j，h≤pm+1，1≤k，l≤p；若G = ＜a＞＜b＞＜c＞＜d＞，设：

其中i≡1（p），j2≡1（p），j1≡0（pm-1），1≤i≤pn，1≤j1，j2≤pm，1≤k1，k2≤p，1≤l1，l2≤p；若G =＜a＞＜b＞＜c＞＜d＞＜e＞，设：

其中i≡1（p），j≡1（p），1≤i≤pn，1≤j≤pm，1≤k1，k2≤p，1≤l1，l2≤p，1≤h1，h2≤p.

（ii）G/ N≌Mp（n，m，1），且G′≌Cp2Cp.若G = ＜a＞＜b＞＜c＞，设：

其中i≡1（p），j≡1（p），h≡0（pm-1），1≤i≤pn，1≤j，h≤pm，1≤k，1≤p2；若G =＜a＞＜b＞＜c＞＜d＞，设：

其中i≡1（p），j≡1（p），1≤i≤pn，1≤j≤pm，1≤k1，k2≤p2，1≤l1，l2≤p.

由于φ（a），φ（b）满足与a，b相同的定义关系，故φ∈Aut（G），又由引理3知，φ∈Sylp（Aut（G）），故，从而.又或，故.

若G =＜a＞＜b＞＜c＞，设：

其中i≡1（p），j≡1（p），1≤i≤pn+1，1≤j，h≤pm+1，1≤k，l≤p2；若G =＜a＞＜b＞＜c＞＜d＞，设：

其中i≡1（p），j≡1（p），1≤i≤pn，1≤j≤pm，1≤k1，k2≤p2，1≤l1，l2≤p；若=＜a＞＜b＞＜c＞＜d＞＜e＞，设：

其中i≡1（p），j≡1（p），1≤i≤pn，1≤j≤pm，1≤k1，k2≤p2，1≤l1，l2≤p，1≤h1，h2≤p.

由于φ（a），φ（b）满足与a，b相同的定义关系，故φ∈Aut（G）.又由引理3知，φ∈Sylp（Aut（G）），故，从而.又，故.

对于情形（7），共有四类，下面分别计算它们的自同构群的阶：

设：φ∶a→ai1bj1ck1，b→ai2bj2ck2是一映射，若φ∈Aut（G），则：＜a→ai1bj1ck1，b→ai2bj2ck2＞= G，1≤i1，i2≤pn，1≤j1，j2≤p2，1≤k1，k2≤p2，且ai1bj1ck1，ai2bj2ck2满足与a，b相同的定义关系。令：

则［ai1bj1ck1，ai2bj2ck2］= bvpαcspα+vpβ+i1j2-i2j1，记作c′.由o（c）= p2知，i1j2- i2j1≢0（p）.又：［c′，ai1bj1ck1］= bvpi1（i1j2-i2j1）ci1vpα+spi1（i1j2-i2j1）+vp（i1j2-i2j1），（ai2bj2ck2）vp（c′）sp= ai2vpbj2vpck2vp+sp（i1j2-i2j1），由［c，a］= bvpcsp知，i2≡0（pn-1），i1≡1（p）.由i1j2- i2j1≢0（p）知，（j2，p）= 1.

反之，若i1，i2，j1，j2，k1，k2满足上述关系式，易证＜ai1bj1ck1，ai2bj2ck2＞= G，且ai1bj1ck1，ai2bj2ck2满足与a、b相同的定义关系，从而φ可以扩充为G的自同构.

对于群（ii）（iii）（iv）统一设映射：

φ∶a→ai1bj1ck1dl1，b→ai2bj2ck2dl2

若φ∈AutG，则：

＜ai1bj1ck1dl1，ai2bj2ck2dl2＞= G，1≤i1，i2≤4，1≤j1，j2≤2m，1≤k1，k2≤4，1≤l1，l2≤2，且ai1bj1ck1dl1，ai2bj2ck2dl2满足与a，b相同的定义关系。令：

则［ai1bj1ck1dl1，ai2bj2ck2dl2］= dαci1j2-i2j1，记作c′.由o（c）= 4知，i1j2- i2j1≢0（2）.

对于群（ii），［c′，ai2bj2ck2dl2］= dj2（i1j2-i2j1），（ai2bj2ck2di2）2m= bj22m，由［c，b］= d及b2m= d知，i1j2≡1（2），由（ai1bj1ck1dl1）4= 1知，j1≡0（2m-1）.又由i1j2- i2j1≢0（p）知，（i1，2）=（j2，2）= 1.

对于群（iii），［c′，ai2bj2ck2dl2］= dj2（i1j2-i2j1），（ai1bj1ck1dl1）4= a4i1b4j1，由［c，b］= d及a4= d知，j1≡0（2m-1），又由i1j2- i2j1≢0（p）知，（i1，2）= （j2，2）= 1.

对于群（iv），［c′，ai2bj2ck2dl2］= dj2（i1j2-i2j1），（ai2bj2ck2di2）2m= bj22m，由［c，b］= d及b2m= d知，i1j2≡1（2），由（ai1bj1ck1dl1）4= c2（i1j2-i2j1）知，j1≡0（2m-1），又由i1j2- i2j1≢0（p）知，（i1，2）=（j2，2）= 1.

反之，若i1，i2，j1，j2，k1，k2满足上述关系式，易证＜ai1bj1ck1，ai2bj2ck2＞= G，且ai1bj1ck1，ai2bj2ck2满足与a、b相同的定义关系，从而φ可以扩充为G的自同构.

综上知，A3群满足LA猜想.

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The LA-conjecture of At（t≤3）-groups

BAI Jie，ZHANG Hui-ling
（Department of Mathematics，Education Institute of Taiyuan University，Taiyuan 030001，China）

Abstract：LA-conjecture is famous in finite p-groups.According to the classification of At（t≤3）-groups，the orders of automorphism groups and its subsets are calculated.At the same time，combined with the characteristics of each group，LA-conjecture is proved to be true for At（t≤3）-groups.

Key words：LA-conjecture，At-groups，automorphism group，order

中图分类号：O152

文献标志码：A

doi：10.3969/ j.issn.1673 -2057.2016.03.017

文章编号：1673 -2057（2016）03 -0247 -06

收稿日期：2016-01-19

基金项目：国家自然科学基金（71561008）

作者简介：白颉（1978 -），女，硕士，主要研究方向为群论。