综合目标函数的构造对多目标优化过程的影响

陶元芳，冯志远，刘亚倩

（太原科技大学机械工程学院，太原030024）



综合目标函数的构造对多目标优化过程的影响

陶元芳，冯志远，刘亚倩

（太原科技大学机械工程学院，太原030024）

摘 要：讨论了综合目标函数的线性加权法、几何平均法与平方和加权法对多目标优化过程的影响，并指出几何平均法和平方和加权法当分别用于极大化和极小化时能够适当抑制各分目标之间的等价交换，且其等值线的弯曲方向对优化过程具有导向作用。将几何平均法与平方和加权法应用于叉车转向机构优化设计中，取得了很好的效果。

关键词：多目标优化；综合目标函数；叉车转向机构优化设计

当前计算机辅助设计已经在许多领域得到了广泛的应用，其中优化设计是计算机辅助设计的重要组成部分，而实际的优化问题往往是多目标的。在多目标的优化设计中，分目标函数f1（x），f2（x）…fn（x）在量纲、数量级和受重视程度上存在差异，且它们的优化常常相互矛盾，极点不能同时达到最优，甚至有时会产生对立。比如在机构优化设计中就既要求机构动作时位置准确，又要求传动角尽可能大，还希望力传动比的变化不要过大。因此必须对各目标的最优解之间进行协调，以便取得整体最优。

目前常见的解决多目标优化问题的方法有主要目标法、综合目标函数法、分层序列法、极大熵法、交互法等。其中综合目标函数法是一种最简单、有效的方法。综合目标函数法是将原多目标优化问题，通过一定的方法转化为综合目标函数作为该多目标优化问题的评价函数F（x），然后用单目标函数优化方法求解。其数学模型一般形式为：

其中评价函数F（x）有多种形式，主要有几何平均函数，平方和加权函数，线性加权函数，距离函数等。

本文旨在通过对构造综合目标函数的线性加权法、几何平均法和平方和加权法讨论分析，总结出它们的特点，以便在运用它们解决实际问题时达到事半功倍的效果。

1 线性加权法

线性加权法是将多目标函数组成一综合目标函数，把一个要最小化的函数F（X）规定为有关性质的联合。F（X）是各个分目标函数的线性组合：

λi是各分目标函数的加权系数，fi（X）是各分目标函数。其中。

可以看出，线性加权法是通过不同的加权系数λi来考虑各分目标函数值在量纲、数量级和受重视程度上的差异，它基本解决了可行方案之间不可比的矛盾。在各分目标函数之间建立了一种等价交换关系，从而使各个方案变得有序和可比，成为这种评优指标体系的基础。由于不把目标处理成约束，因此可行区域宽，有可能找到更好的方案。

但是这种方法也带来了新的问题。线性加权法会把一个目标特别优，而另一个目标特别差甚至不可接受的情况当作可行解。分目标之间的等价交换会影响各分目标同时趋向最优或较优的过程，延长优化时间，有时还会误入歧途。增加一些约束固然可以部分地解决问题，但是那样做显然会劣化目标函数的性态，增加选择优化方法的困难，降低优化速度，而且也不符合前面讨论的取消约束、增大可行域、采用多目标优化以求得各项参数均有改善的希望。

2 几何平均法

令综合目标函数F（X）是各分目标函数的几何平均值：

这种综合目标函数克服了上述线性加权法的缺点，对于某个分目标较好而另一个分目标较差的情况具有某种惩罚作用。

几何平均法又称功效系数法，在工程实际中这种方法的各分目标函数（功效函数）往往这样定义：

当第i个分目标最为满意时取fi= 1，当其不可接受时则取fi= 0，其它情况视目标的满意程度使fi介于0～1之间，总的目标是使综合目标函数（2）式越大越好。

这样处理的好处是功效函数概念直观、调整方便，而且只要有一个性能指标不可接受时其相应的功效系数为零，从而使综合目标函数也为零，否定了不可行的方案，避免了非法的等价交换，起到了一种“一票否决”式的约束作用。各分目标除了通过功效函数能够对综合目标有所贡献外，还享有否决权。

但是，在用几何平均法进行优化时应注意在选择功效函数时约束不可过强，否则会回到单目标约束优化的老路上去。另外，几何平均法只适用于求极大值的情况，对于求极小值的情况，可通过功效函数进行转换，或者采用平方和加权法。

3 平方和加权法

令综合目标函数F（X）是各分目标函数的平方和：

其中λi是加权系数。

这个评价函数既考虑到各个目标尽可能接近各自的理想值，又反映了各个目标在整个多目标优化问题中的重要程度。当某个目标达到理想要求时可使之停止更进一步的优化，避免干扰其它目标的优化，以求得较好的综合特性；当某个目标进入不可接受的区域时，由于平方的关系将使综合目标函数上升很快，起到惩罚的作用，还能在某种程度上抑制各分目标之间不希望的“等价交换”，引导各分目标同时向较优发展。加权系数的确定原则是让这个目标位于惩罚区边缘时对综合目标函数的贡献大致为1，并在试算中调整确定。

4 三种综合目标函数对比

下面举一个简单的例子分析上述三种综合目标函数的优缺点及其适用范围。

表1中考虑了两个分目标f1、f2取不同数值，而其和相等的情况。其中第二行对应的是线性加权法。可知，采用线性加权式的综合目标函数进行优化的过程中不能区表中所示四种设计方案的优劣。

图1是表1中第二行所示线性加权法综合目标函数F的等值线图。从中可知，各点的梯度方向是平行的，并不指向最优点。各个分目标往往不容易同时达到最优或较优，即使调整加权系数也无济于事。

表1 三种综合目标函数对比Tab.1 The Comparison of three multi-objective function

表1中的第三行对应的是几何平均法，前面的2是为了增加可比性而乘的系数。从中可以看出，这种综合目标函数能够区分表中四种设计方案之间的优劣，其等值线见图2.与线性加权法的等值线图1相比，这种综合目标函数当作用于极大化时对各分目标之间的等价交换有所抑制，各点的梯度方向指向函数的最大值点。其等值线的弯曲方向对优化过程有一定的导向作用，有利于各分目标同时趋于最优或较优。

图1 线性加权和法等值线图Fig.1 The isopleths map from linear sum of sub-functions with weights

表1中的第四行对应的是平方和加权法，图3是它的等值线图。这种综合目标函数的等值线是圆，一般情况下是椭圆。不难看出，这种方法适用于极小化时对各分目标之间的等价交换有所抑制，其等值线的弯曲方向对优化过程有一定的导向作用。此外，这种目标函数的性态比较良好。

5 几何平均法在叉车转向双梯形机构优化中的应用

把几何平均法应用于图4所示叉车双梯形转向机构优化设计中，选取四个分目标。

分别为最大外轮转角误差：

图2 几何平均法等值线图Fig.2 The isopleths map from geometrical average of sub-functions with weights

图3 平方和加权法等值线图Fig.3 The isopleths map from sum of squared sub-functions with weights

图4 转向双梯形机构传动角示意图Fig.4 The transmission angle sketch of forklift truck steering double trapezoid mechanism

其中最大外轮转角误差的功效函数：

最小传动角的功效函数：

中小转角时的转角误差平方和的功效函数：

力传动比变化倍数功效函数：

各分目标的功效函数图像如图5至图8所示，它们均可分为优化区、约束区与满意区。功效函数为零的区间表示目标特性不可接受，起约束作用。功效函数为1的区间表示该目标特性已经满意了，停止对它的优化更有利于其它目标的优化。斜线段为相应分目标的优化区，其斜率反映了对该目标要求的严格程度，起着类似于加权系数的作用，由经验及试算确定。综合目标函数为优化过程为极大化。

图5 最大外轮转角误差的功效函数Fig.5 The power function of maximum outer rear rotation error

图6 最小传动角的功效函数Fig.6 The power function of minimum transmission angle error

图7 中小转角时的转角误差平方和的功效函数Fig.7 The squared sum of rotation error power function of middle and small rotation

图8 力传动比变化倍数功效函数Fig.8 The varying multiple power function of force ratio

采用这种目标函数体系对叉车转向双梯形机构进行优化，由于放宽了约束，各分目标函数间的关系概念清楚，综合目标函数对于各分目标同时趋于最优有导向作用，使得优化结果明显优于仅采用转角误差平方和作为单一目标函数，而把其它特性参数处理为约束时的结果。

6 平方和加权法在叉车横置油缸式转向机构优化中的应用

将平方和加权法应用于图9所示叉车横置油缸式转向机构的优化中，选取了四个分目标。各分目标函数按照“越小越优”，惩罚、优化与停止优化三段结合并兼顾函数性态的原则来确定。

最大外轮转角误差评价函数：

其评价函数图像如图10所示。

最大外轮转角误差评价函数：

其评价函数图像如图10所示。

图9 叉车横置油缸式转向机构参数Fig.9 The forklift truck thwart-hydraulic cylinder Steering mechanism parameters

力传动比变化倍数评价函数：

图10 最大外轮转角误差评价函数Fig.10 The evaluation function of maximum outer rear rotation error

其评价函数图像如图11所示。

图11 力传动比变化倍数评价函数Fig.11 The varying multiple evaluation Function of force ratio

小转角时的外轮转角误差平方和评价函数：

其中C3i=（β外实i-β外理i）β内= 10°，15°，…，65°

因为函数f3为函数g3i的累加所以在此只做出g31的图像如图12所示。

图12 小转角时的转角误差平方和评价函数Fig.12 The squared sum of rotation error evaluation function of small rotation

最小传动角ωs评价函数：

其评价函数图像如图13所示。

图13 最小传动角评价函数Fig.13 The evaluation function of minimum transmission angle

在这里优化与惩罚之间没有明显的界线，只是利用标准抛物线f（x）= x2当自变量大于1时函数迅速上升的特殊性来起到某种惩罚作用。综合目标函数为其中综合目标函数的平方均已放在各分目标函数之中了。加权系数的确定原则是让该分目标位于惩罚区边缘时对综合目标函数的贡献大致为1，以便充分利用标准抛物线的迅速上升特性来起到惩罚作用，抑制等价交换，优化过程为极小化。

采用这种目标体系对叉车横置油缸式转向机构进行优化设计，其最大内轮转角可达到85°，有利于减小叉车的最小转弯半径；最大外轮转角误差小于1°，有利于减小转向阻力，减轻轮胎的磨损；最小传动角为30°左右，提升了转向机构的力学特性。在优化的基础上还总结出了系列优化设计经验公式和参数之间的调整规律，并将这些成果转化为设计软件，对叉车转向系统性能的提高有所帮助。取得这样效果的原因之一就是这种平方和加权式的综合目标函数有利于取消约束，这对于系列优化至关重要，对各分目标函数值的波动具有抑制作用，使优化过程得到导向，并且综合目标函数的性态良好，优化结果规律性强，容易曝露各优化参数之间的相关关系。

7 结 论

综上所述，在构造综合目标函数处理多目标优化问题时，采用线性加权法简单实用，既适用于极大化，又适用于极小化。几何平均法和平方和加权法是对线性加权法构造综合目标函数的改进。几何平均法在用于极大化时对分目标中的小值敏感，抑制分目标之间的等价交换，且有一个分目标为零时则全盘被否定，求极大化时有利于目标函数同时趋于最优或较优，但不允许出现负值。平方和加权法由于平方的关系，分目标中可以出现负值，其效果与正值相同，并且目标函数的性态好，当用于极小化时对分目标中的大值敏感，在求极小化时有利于目标函数同时趋于最优或较优，也就是同时趋于零，因此可用于求超越方程组的解。

总之，进行多目标优化时要尽可能取消约束，把约束也作为目标，直接按多目标问题进行优化具有可行区域宽、优化结果比较理想的优点，尤其是综合特性较好，这对于系列优化尤为重要。最后需要特别强调三种方法均有其适用的范围，如果用错了，那效果将只能是适得其反。

参考文献：

［1］ 孙靖民，梁迎春.机械优化设计［M］.北京：机械工业出版社，2006.

［2］ 陶元芳，卫良保.叉车构造与设计［M］.北京：机械工业出版社，2010.

［3］ 孟琸，卜贺.规范化加权平方和法多目标优化设计［J］.哈尔滨科学技术大学学报，1995（5）：76-81.

［4］ 乔辰，张国立.几何加权法求解多目标规划问题［J］.华北电力大学学报：自然科学版，2011（6）：107-110.

［5］ 王维国，宋阳，郭多祚.一种求解混合多目标规划问题的功效函数法［J］.运筹与管理，2007（4）：23-27

The Effect of Construction of Multi-objective Function on the Process of Optimization

TAO Yuan-fang，FENG Zhi-yuan，LIU Ya-qian
（College of Mechanical Engineering，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China）

Abstract：The influences of three methods on the optimization of multi-objective function are introduced.The geometrical average of sub-functions and the squared sum of sub-functions with weights are more suitable in the maximization and minimization respectively than that of linear sum of sub-functions with weights.The former two ways to build the multi-objective function will restrain the exchange among sub-functions to some extent during the process of optimization，and the bending direction of equivalent line of multi-objective function will guide the optimization process.The geometrical average of sub-functions and the squared sum of sub-functions with rights were applied to optimize the design of forklift truck steering mechanism separately and achieved ideal results.

Key words：multi-objective optimization，multi-objective function，optimal design of forklift truck steering mechanism

中图分类号：TB112

文献标志码：A

doi：10.3969/ j.issn.1673 -2057.2016.03.008

文章编号：1673 -2057（2016）03 -0201 -06

收稿日期：2015-07-26

基金项目：山西省研究生教育改革研究（20102034）

作者简介：陶元芳（1957 -），男，教授，主要研究方向为重大装备机械CAD/ CAE。