探究复合函数及其求导方法

侯春娟 张洪浩

【摘要】导数部分的应用十分广泛，很多领域都有涉及，如经济、物理、几何等.复合函数的导数是教学中的重点，也是学生学习的难点.本文给出如何辨别复合函数，并整理出学生易接受的复合函数求导方法.

【关键词】复合函数；求导法则

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在学习复合函数之前，首先提问学生我们高中学过哪些函数？经过大家的回忆，很容易给出答案：常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及刚刚讲过的反三角函数，这些函数我们称之为基本的初等函数，对基本初等函数的导数公式要做到熟悉、熟练.再提出类似的新问题：如果求y=sin3x的导数该如何进行呢？这样的函数又称作什么函数呢？其实学生在高中有接触过复合函数，但什么叫复合函数却说不清楚，那么，我们就可以开始新的授课内容了.

从复合函数的定义，我们可以归纳出，如果是复合函数必须同时满足以下两个条件：（1）定义域非空；（2）环环相套.然后举例说明如何判断是否复合这两个条件.首先，给出一个函数，直接观察或计算出该函数自变量是否有值可取，这就是定义域的问题.如y=sin3x这个函数就是定义域非空，而y=sin3x-2就是定义域为空集了，因为sin3x≥2不可能成立.如果定义域是非空的，那么下一步就要看是否满足环环相套了.我给学生解释怎么看环环相套或环环相扣，可以把此函数看成一个特殊的饺子，这个饺子只有一个馅，但是你可以包很多层饺子皮，从外观上看，你只能看到一个饺子，但是把饺子皮一层层拨开后就能看到我们的饺子馅，但要注意，我们的每一层皮必须都是前面提到的基本的初等函数.而这个过程，恰恰就是复合函数的分解过程，在复合函数求导中是尤为关键的，也就是教材中常说的“链式法则”求导法里的关键.那么我们再看y=sin3x这个函数，是否是环环相套呢？从外观上看，它就是包着正弦函数的饺子皮，那么我们可以写成y=sinu，u=3x（u是一个中间变量），一皮一馅，两个基本初等函数，显然符合第二个条件，所以y=sin3x是一个复合函数，为了让学生加深理解，可以给出几个例子进行判别，如

从上面的例子可以看出，只要学生知道基本初等函数，那么对复合形式求导，都相当于每一步只要出现一个中间变量u，对自变量为u的基本初等函数求导后，马上乘以心中的u的导数即可，直到出现自变量为x的基本初等函数.所以就是上面说的每一步都“only U”，切不可三心二意！这个部分的讲解，可以中间插入only U的那段搞笑的音乐，时间很短，但却可以驱走瞌睡虫，同时在第一个例题旁边插入一个恋爱式的圖片，用醒目的艺术字，利用动画飘移到可爱的图片下面，自然会吸引学生的注意力，让学生有兴趣听下去.再之，此内容的PPT的制作上，例题中的每个中间变量u的表达式最好用矩形框或其他形状进行标记，如上述（1）（2）式中括号里的sin3x和3x，将每个步骤自定义动画，这样能让讲解更醒目易懂.

在这部分的讲解上，其实知识点都是那一个，就看我们师者如何授业了，照本宣科绝对是行不通的，要力争做到通俗易懂，让学生感兴趣，让授课的自己也很快乐，有满满的自信，有愉悦中的成就感，但绝不是传说中的自嗨型教师.教学方法的探究就是在教学过程中不断的探索和研究，在总结中进步，在思考中成长！