线性方程组课堂教学的应用案例

金晓灿 王海侠 张丽琴

【摘要】线性方程组是线性代数的核心，但是传统的教学法重理论、轻应用，不利于激发学生学习兴趣.本文从求解线性方程组的不同方法入手介绍线性方程组课堂教学的几个典型应用案例，培养了学生运用数学知识解决实际问题的能力.

【关键词】线性方程组；克莱默法则；矩阵的逆；高斯消元法

【课题】南京理工大学高等教育教学改革研究课题（2013A25）

线性代数是高等院校一门重要的基础数学课程，具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实用性，学好线性代数对培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力起着重要的作用.同时线性代数又是一门实用性很强的、工具性的数学课程，它所介绍的矩阵运算方法、线性方程组解的理论、矩阵对角化理论与方法等广泛运用于工程技术、经济与管理等各个领域.如何把线性代数严谨而抽象的理论内容与其广泛使用的工具性方法完美的结合，使得学生一方面受到严格的理论熏陶，体会严谨的数理逻辑的魅力，同时又熟练掌握其主要的计算方法，为后续的课程学习与科学研究打下数学基础，一直是广大数学工作者与教育家不懈追求的目标.

传统的教学法比较偏重理论的系统性，往往对线性代数在其他领域的应用重视不够；现行教材多重理论，轻应用，重公式推导，轻数值计算，教材大多忽略了概念，原理和模型的实际意义.往往学生学完线性代数这门课程后，只会套用解题，即“算数学”，并不知道线性代数在哪些领域应用，如何应用，即“用数学”.导致学生学习目的不明确，为了应付考试而学习，这不利于激发学生学习兴趣，不利于培养学生创新能力和实践能力.

线性方程组是线性代数的核心，行列式、矩阵、向量空间等都是为研究线性方程组创造的工具.线性方程组广泛的应用于商业、经济学、社会学、生态学、人口统计学、遗传学、电子学、工程学以及物理学等领域，大量实际问题都可以转换成线性方程组求解问题.

根据线性方程组的解的理论，通常可用克莱默法则；矩阵的逆以及更一般的将增广矩阵进行初等行变换的方法（即高斯消元法）求解.本文将通过这几个方面给出线性方程组课堂教学的几个典型应用案例.

一、利用克莱默法则求解的应用案例

二、利用矩阵的逆求解的应用案例

案例3 减肥食谱问题[2]

这是一种在20世纪80年代很流行的食谱，是由Alan H.Howard博士领导的科学家团队经过八年对过度肥胖病人的临床研究，在剑桥完成的，称为剑桥食谱.这种低热量的粉状食品精确地平衡了碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪、配合维生物、矿物质、微量元素和电解质.近年来，数百万人应用这一食谱实现了快速和有效的减肥.

设三种食物脱脂牛奶、大豆粉和乳清每100克中蛋白质、碳水化合和脂肪的含量如下表.

一个城市有三个重要的企业：一个煤矿，一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿必须支付0.25元的电费来驱动它的设备和照明，还需支付0.25元的运输费.而生产一元钱的电力，發电厂需支付0.65元的煤作燃料，自己亦需支付0.05元的电费来驱动辅助设备及支付0.05元的运输费.而提供一元钱的运输费，铁路需支付0.55元的煤作燃料，0.10元的电费驱动它的辅助设备.某个星期内，煤矿从外面接到50000元钱煤的订货，发电厂从外面接到25000元电力的订货，外界对地方铁路没有要求.问这三个企业在那一个星期内生产总值多少时才能精确地满足它们本身的要求和外界的要求？

得煤矿总产值为102087元，发电厂总产值为56163元，铁路总产值为28330元.

这是宏观经济学中投入—产出模型中的开式模型.投入—产出模型是哈佛大学教授瓦西里·列昂惕夫（Wassily Leontief，1906-1999）于1949年夏末提出的.并由此诞生了研究宏观经济学的投入-产出法，它是列昂惕夫的杰出创作，编制投入-产出表、建立相应的线性代数方程体系，就能综合分析和确定国民经济各部门之间错综复杂的联系，分析重要的宏观经济比例关系及产业结构等基本问题.总之，投入-产出模型就是用数学形式体现投入产出表所反映的经济内容的线性代数方程组.列昂惕夫由于从事“投入产出分析”，于1973年获得第五届诺贝尔经济学奖，他的一生研究是数学在经济领域里应用的最好典范.

三、利用高斯消元法求解的应用案例

案例5 百鸡问题

该问题记载于我国古代算书《张邱建算经》中.百鸡问题是中国古代解一次不定方程的整数解一种方法，导致三元不定方程组，其重要之处在于开创“一问多答”的先例，这是过去中国古算书中所没有的.

问题：今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡刍鸟三，值钱一.凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、刍鸟各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡刍鸟七十八，值钱二十六.又答：鸡翁八，值钱四十；鸡母十一，值钱三十三，鸡刍鸟八十一，值钱二十七.又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四，值钱十二；鸡刍鸟八十 四，值钱二十八.

如果方程式中的每个系数乘两倍的话，该方程式也是配平的.然而在一般情况下，人们更倾向于使用全体系数尽可能小的数来配平方程式.

总之，线性方程组的应用非常广泛，小到“鸡兔同笼”问题，大到国民经济“投入产出”问题，从“减肥食谱”问题到“化学方程式配平”问题等等.教师在讲授线性方程组理论时，可从实际问题出发，通过对实际问题的分析引入线性方程组，再从解决实际问题的需要，运用矩阵相关理论，可使用数学软件解决实际问题.这样，一方面能让学生认识到学习线性方程组理论的重要性和必要性，另一方面能让学生了解运用数学知识解决实际问题的基本过程，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.当他们了解到现实中许许多多实际问题与复杂线性方程组的联系时，就能认识到学习线性代数的必要性.

【参考文献】

[1]归行茂，曹冬孙，李重华.线性代数的应用[M].上海：上海科学普及出版社，1994.

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[5]李尚志.从问题出发引入线性代数概念[J].高等数学研究，2008（9）6-15.

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