矩阵在解线性方程组中的应用

杨宝军

（太原学院 数学系，太原 030023）

中学时我们已初步了解并学习了解简单的线性方程组，知线性方程组的重要性，但不是每一个线性方程组都有解，所以首先要做的就是判断线性方程组有无解。通过对矩阵的学习，知道矩阵的秩可以判断线性方程组有无解，在有解的情况下可以利用矩阵求解线性方程组。

在文献[1]中总结了矩阵、线性方程组的相关概念；林清[2]给出了线性方程组的一般解法的主要内容，以线性方程组系数和常数项所构成的行列式矩阵作为基础，来研究线性方程组的求解问题，从而实现一个复杂的纯代数的问题和几何学科相联系，帮助我们更好地分析线性方程组求解问题；郑庆云等[3]，王玉兰[4]，吴英柱[5]给出了矩阵的初等变换、矩阵的逆的相关概念以及矩阵的逆的一些相关问题；王卿文[6]给出了线性方程组解的判断条件；辛奎东[7]、于永新[8]、付美鑫[9]给出了一些关于矩阵分析和解线性方程组问题分析中的简单的概念和应用。骆旗等[10]通过研究发现，未知量的系数对方程组的解有着决定性的作用，因而解方程组的问题就成了求未知量系数的问题。本文主要研究矩阵和线性方程组的一些基本概念和其应用，通过矩阵来解线性方程组，并结合具体实际问题说明矩阵在解线性方程组中的应用，为今后的学习与研究提供有利工具。

1 线性方程组的有关概念

1.1 线性方程组的定义

定义 1一般线性方程组的定义是形如

的方程组，这里的x1，x2，…，xn代表n个未知量，s则表示为线性方程的未知个数。如果知道一个线性方程组的全部系数以及它的常数项，那么这个线性方程组就可以确定了，线性方程组就可以用下面的矩阵

进行表示。令

可知性方程组的系数矩阵|A|，未知数矩阵为X，常数项矩阵为b，则可得到AX= b。若常数项矩阵为零矩阵即AX= 0，那么称之为齐次线性方程组。反之，若常数项矩阵b为非零矩阵，则称为非齐次线性方程组。

1.2 求解线性方程组的一般方法

1.2.1 消元法

所谓消元法，就是在方程中利用矩阵的初等变换，一步一步地消去未知量的个数，最终得到一个具有阶梯性的方程组，如果把最终初等变换得到的关于“0 = 0”的恒等式(如果出现的话)全部去掉，观察其余的阶梯形方程看是否有零等于一个非零的常数的，如果有，这个常数的方程组无解，如果没有，则有解。假设在方程组有解的情况下，令r为阶梯形方程中未知量的个数，由上述定义1知，s则表示为线性方程的未知个数，当r=s时，方程组有唯一确定的解；当r＜s时，方程组可以有无穷多个解。消元法也是在中学时解线性方程组时常用的一种方法，但当未知量有n个的时候，一个一个的消元工作量也会很大。

1.2.2 克拉默法则

克拉默法是一种通过使用矩阵，实现对线性方程求解的一般方法，但要注意的是，使用克拉默法则求解线性方程组是有条件的：一是方程组必须是线性的，二是待求解的线性方程组中的方程的个数和未知量的个数相等，三是满足未知系数的矩阵行列式D不等于0，即|D|≠0，使用克拉默法则必须满足以上三种情况。

定义 2克拉默法则的一般性描述：如果线性方程组

的系数矩阵

的行列式，即它的系数行列式为d=|A|≠0，那么这个线性方程组有解，有且只有唯一的解，其系数的表达如下：，则可以得到线性方程组的解。但克拉默法则并不适用于所有的满足条件的线性方程组，因为它的计算量太大，一般也不会使用克拉默法则的方法求解线性方程组。

2 矩阵的有关概念

2.1 矩阵的概念

定义3m×n 由个数aij（i=1，2，…，m，j=1，2，…，n)构成m行n 列并括以圆括弧或方括弧的数表，即

称为m×n矩阵。例如

2.2 矩阵的初等变换

矩阵的初等变换不仅在矩阵的学习中是一个重要内容，在线性方程组中也有广泛的应用。

定义 4下面三种变换成为矩阵的初等变换

（1）交换矩阵的两行（列）；

（2）用一个非零数k乘矩阵的某行（列）；

（3）矩阵的某行（列）的k倍加到另一行（列）。

2.3 矩阵的秩

讨论矩阵和线性方程组的关系时，矩阵的秩是较为重要的概念。

定义 5矩阵A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵的A秩，记作rankA或rA。矩阵A=(aij)m×nA=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rankA或rA。若A中有一个或多个r阶子式≠0，并且r＜min (m,n)时，A中所有的r+1阶子式都为0，那么矩阵A的秩为r。矩阵的秩是判断线性方程组是否有解的重要条件。因此，如何求解矩阵的秩是至关重要的。目前，矩阵的秩的求解有如下两种方法。

①矩阵的初等变换可以求解矩阵的秩；

②若矩阵为k行，则先计算k阶子式，若k阶子式不为零，则秩为k；如果k阶子式为零，则计算k - 1阶子式 ；若k - 1阶子式中有一个不零，则秩为k - 1；若所有的k - 1阶子式都为零；则计算k - 2阶子式。以此类推，直到计算到k -m阶子式中不全为零，则秩为k - m为止。

但第二种方法适应于k较小时，当k较大时，计算量大，也容易出错，此时可以利用矩阵的初等变换求矩阵的秩。

有关矩阵的秩的求解，下面，我们提供了一些例题：

例 1：求下列矩阵的秩

解由题意，利用初等行变换可得

所以矩阵A的秩为3。

例 2求下列矩阵的秩

解矩阵B经过初等变换，可得到矩阵

则矩阵B的秩为3。

解矩阵A有3行，则计算=0，则计算2阶子式。因为

所以r(A)=2。

用初等变换法求矩阵的秩在解题过程中的步骤主要为：

①通过初等行（列）变换将矩阵化为阶梯形；

②由定理可知非零行的个数即为该矩阵的秩数，因此可以求出秩。

2.4 基于矩阵的线性方程组解的判断条件

定理 1线性方程组

有解的充分必要条件为：线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即r(A)=r()，其中

若是n×n阶的线性方程组，在判定线性方程组有解的条件下，还能通过矩阵的秩来进一步判定线性方程组解的个数：

当r＜n时，线性方程组有无穷解；

当r=n时，线性方程组有唯一的解。

在一个齐次线性方程组中有非零行方程组解的充要条件，它的系数增广矩阵的行列式等于零。

例 4判断下面的方程组有无解

解由题意可以知道，上式方程组的系数矩阵为

它的增广矩阵可以写为

由初等变换，可以将增广矩阵化为矩阵

可知r(A)=2,r()= 3，因为2≠3，所以方程组无解。

学会了利用矩阵的秩来判断方程组是否有解，那在方程组有解的情况下，就应该利用矩阵求解线性方程组。

3 矩阵在解线性方程组中的应用以及解题思路

矩阵的初等变换是解线性方程组的基本的方法，主要是将矩阵化为阶梯形的矩阵，主要的步骤有以下几步：

第一步，写出线性方程组的一个增广矩阵；

第二步，通过将增广矩阵化为阶梯形以此来判断线性方程组到底是否有解，当解存在时可以对矩阵进行以下步骤：

第三步，把矩阵通过初等变换化为最简形式；

第四步，求出线性方程组的一个特解；

第五步，求线性方程组的一个通解。

例 5解下列方程组

解由题意，利用初等行变换可得

可得线性方程组

所以原方程的解为（1，1，1）

例 6解下列齐次线性方程组

分析这是一个齐次线性方程组，但它的未知量的个数比较多，用消元法计算量还是很大的，这时我们就应该选择一种简单的方法去求解，可以利用矩阵的初等变换求线性方程组的解，这时只要把方程的系数矩阵描述出来，不写未知量即可，可以节省大量的计算和时间。

解方程的系数矩阵为

将系数矩阵初等化为阶梯形矩阵，可得

所以方程的一般解为

其中x4为未知量。当取x4= 9时，方程组的解为

所以原方程通解为

例 7线性方程组求解

分析首先对方程组的系数矩阵和增广矩阵进行计算，同时简化这两个矩阵，然后对比两个矩阵的秩是否相等从而判断解的存在情况。

解对增广矩阵进行如下变换

首先对方程组是否有解进行判断，根据增广矩阵与系数矩阵A的关系可知，r(A)=2，r()= 3，可以看出2≠3，所以可以知道这个线性方程组没有解。

例 8讨论a,b为何值时，方程组

有唯一解；无解；无穷多解。当有无穷多解时，求出通解。

分析此线性方程组为非齐次线性方程组，这题中通过判断线性方程组是否有解来求出未知数，判断线性方程组是否有解，就是要判断系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相同，若有解，则可求出线性方程组的解。

解对线性方程组的增广矩阵进行过下列变换

当a≠1时，方程组有唯一的解；

当a= 1且b≠-1时，方程组无解；

当a= 1且b=-1时，方程组有无穷多解。

此时方程组为

可得特解

导出组的基础解系为

于是通解为

β=α+k1η1+k2η2。

总结在解线性方程组的问题中，要准确地判断方程组是否有解，以方程组解存在为基础，若齐次线性方程组中随意一个基础解系为ξ1，ξ2，…，ξn-r，称它为方程组的一个基础解系，齐次线性方程组的任何一解都能表成ξ1，ξ2，…，ξn-r的线性组合。而在非齐次线性方程组中，应先求出Ax=0的基础解系，则Ax=0则的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+...+kn-rξn-r，设η为非齐次线性方程组Ax=b的特解，ξ1，ξ2，…，ξn-r为对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则Ax=b的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+...+kn-rξn-r+η。在方程组有解的情况下，解的唯一充分必要条件是它的导出组只有零解。

4 结论

矩阵在求解解线性方程组中已经有了广泛的研究和应用，主要是通过矩阵的初等变换求线性方程组的解，而且矩阵的初等变换还可以更准确地判断线性方程组解是否存在的实际情况。另外，通过矩阵的初等变换可以求出矩阵的秩，以此来快速判断线性方程组的解也是非常重要的一种解题方法。总而言之，矩阵在解线性方程组中有重要的作用，理清这类复杂问题的基本解题方法和思路，能够在实践中更好地运用矩阵来快速求解线性方程组。