初高等数学教学衔接问题浅谈

【摘    要】随着《国家教育中长期改革和发展规划纲要（2010-2020年）》的推出实施，高中新课程改革的不断深入推进，纵观近几年各地高考试题的命制情况，越来越多的将一些基础的高等数学知识纳入了考察范围，特别是以数学分析的知识为命题背景，这就要求了我们授课教师应该在新形势下重新拾起高等数学，特别是数学分析的相关知识和思想方法，并运用于分析和处理中学数学中的一些问题，突破初等数学知识的桎梏，培养中学生的数学素养和解决相关问题的能力，为更好应对高考和高等教育阶段数学学习打下坚实基础。

本文旨在讨论数学分析内容与中学数学学习的联系与区别，以翔实具体的教学案例为依据，充分说明数学分析方法在中学数学相关问题中突出作用。

【关键词】新课标改革  数学分析  高中数学  课堂教学

一、引言

1.1  问题提出

根据《国家教育中长期改革和发展规划纲要（2010-2020年）》，新课改的目标旨在全面提高普通高中学生综合素质，而非简单的应付高考。数学作为基础的工具学科，本门课程的改革更是受到广泛一线任课教师的高度关注，而且很多中学生在进入大学后，也暴露出了从初等数学过渡到高等数学，也就是极限思维建立的种种困难。对于高等数学，特别是分析学科需要很强的抽象思维能力和逻辑能力。中学数学大多按照高考要求，“要考才学，不考不学”，忽视了学生这两项能力的训练，这也就是中学教育与高等教育“脱节”的症结所在。因此对于即将走向教师岗位的师范毕业生们，应该站在更高、更远的点，在平时的教学活动中教会学生如何真正的學好数学，摆脱“应付高考”的固定思维。

在现今四川省大多数学校采用的人教版（A）数学选修教材中，加入了微积分等高等数学的知识，很多老师在上课时按照高考的要求做了讲授，也就使得一些同学在大学学习的开始阶段以为已经学过，不重视基础理论的学习。并且研究发现高中微积分教学和大学数学分析教学虽有联系但也有很大区别，数学分析的学习建立在新的极限严格定义下，倚靠实数六大理论体系，和中学要求完全不同。所以很多同学在打基础的时候不仅没有认真学习，而且没有建立好极限思维。所以在未来的很长一段时间内学习都有很大困难并且容易丧失信心。所以在中学阶段进行严密完整的数学分析基础知识讲授是非常重要的。

1.2  研究现状

1.2.1  教材选用

我国高等数学教育特别是师范类大学数学系普遍选用华东师范大学《数学分析（第四版）》，复旦大学《数学分析》，北大张筑生教授《数学分析新讲》等优秀教材，国外教材出名的有菲赫金哥尔茨《微积分学教程》，卓里奇《数学分析》等，高中教材普遍使用人民教育出版社数学教材。

本文相关内容主要参考华东师范大学《数学分析（第四版）》，华东师范大学《数学分析（第四版）》以及人民教育出版社数学A版教材。

1.2.2  已有研究结论简述

随着教育改革的不断深入推进，很多教育工作者越发重视初等教育改革问题。如李红、李建民老师从三个方面对此进行了分析探讨：结合数学分析和中学教材内容，讨论它们的联系和区别;给出了运用数学分析“高观点”方法解决中学问题的实例;分析了数学分析课程改革的方向。李祥、杨春华老师指出了高中生进入大学后的知识缺陷，在具体教学安排中提出要求，以期做到较好衔接等。在国内，相关研究文献不胜枚举，在如何衔接初高等数学方面的研究已经有很多成果。

1.3  研究的理论基础

①戴尔“经验之塔”理论强调学习教育应当从具体经验入手，逐步过渡到抽象经验。有效的学习方法应当首先给学生丰富的教学经验，并且在此基础上向抽象化发展，是具体经验普遍化，方能形成概念。

②皮亚杰·建构主义理论：研究认为知识不是直接从教师哪里获得，但是在学习的过程中可以藉由教育者的帮助而得到。因此，教育者在进行教学设计时不仅要考虑教学目标，而且要建构适合学生形成概念的学习情景。

③皮亚杰·认知发展阶段理论：研究发现中学生处于形式运算的思维发展阶段，他们对于不同的问题已经形成的相应的解决思维逻辑，从上一阶段过渡到此已经标志着成熟的智能已经形成，但多是知识的量的积累，没有显著的质的变化。

此时的高中生普遍具有以下特点：第一，思维已经脱离对具体事物的依赖，并且大多数是以命题的形式存在的，而且中学生已经具备了对两个或两个以上问题的逻辑推理的能力。第二，能够运用已有的生活学习经验来指导实践，并且有了基础的整体与部分对立统一的辩证思维能力。第三，本阶段的中学生已经明白原因和结果相互依存，相互渗透的辩证法，能够运用逆向思维，能够批判的认识事物。

二、数学分析与高中数学的联系与区别

2.1  概念

2.1.1  高中数学

高中数学是全国高中生学习的一门学科。包括《集合与函数》《三角函数》《不等式》《数列》《复数》《排列、组合、二项式定理》《立体几何》《平面解析几何》等部分。是由定义，法则，性质，公式，定理等组成的数学基本知识和技能，以及蕴含其中的数学思想方法。

在高中数学的教学过程中，既要清楚明白的讲授表层知识即定义，法则，性质，公式等，也要将数学的思想和方法等深层次的内容贯穿始终，只有这样，学生才能够有所提高，而不觉得学习枯燥甚至是无用，这样才能 培养出能力，锤炼出思维。

数形结合，反证法，极限思维，函数与方程等等都是数学中基本且十分重要的思想方法，这需要教师在讲授课程中反复提及使用，才能在无数具体的例子中，找到抽象的本质，才能锻炼出学生探究的能力，做到真正的掌握知识。当然，具体经验的传授，也就是基本雷荣的学习也很重要，教师就是要将这两者恰当的结合起来才能提高教学质量，提升学生兴趣和能力。

2.1.2  数学分析

数学分析是高等学校特别是师范数学类学生的必修主干课程，对于非数学专业大多学习《高等数学》，本质就是微积分理论，是以实数完备性和极限思想为基础建立的。

数学分析主要研究函数的局部和整体的性质，从局部的变化率引入到导数和微分。以及导数的逆运算，即积分，也就是微小变化量的累积结果。

和中学不同，数学分析贯穿着极限思想方法。充分体现了事物动静结合，对立统一的辩证思维。这些就是高等数学有别于高中数学，正是其魅力的体现。数学分析中更常见的是运用字母和参数构成变量，进而构造变量和函数间的关系来解决实际问题，而非简单运用常量。

2.2  高中教材与高等数学教材《数学分析（第四版）》衔接對比

集合：数学分析增加邻域与差集概念;补充两集合的笛卡尔积概念;增加有界集和确界原理。

函数：补充了狄利克雷函数，符号函数黎曼函数等非初等函数。

极限：有了严格的极限定义;增加了数列极限的定义并给出了判定条件;给出函数连续的集中定义和间断点的定义。

导数：增加了单侧导数的定义，高阶导数的定义和隐函数的求导法则;泰勒公式;洛必达法则。

微积分：补充了反常积分

2.3  脱节知识

经过抽样问卷调查，对于脱节部分主要集中在反三角函数，三角函数的和差化积公式，正割和余割，极坐标与参数方程这几个方面。高中讲授的程度远远达不到高等数学基础要求。

2.4  数学分析与高中数学的对立统一

初等数学和高等数学一脉相承，没有初等，就没有高等。两者就数学方法这一本质而言是相通的，是统一的。高等数学又是初等数学的升华，就此而言，两者又是对立的，但这种对立表现在统一之下的对立。是区别，而不是简单的矛盾。

现今而言，高等教育毛入学率已经突破40%，大多数高中毕业生都会选择到高等学校继续深造，所以对于数学的学习不能只拘泥于高考要求，而应当目光长远，所以说对于数学思想方法的灌输显得尤为重要，而站在高等数学的层面，用数学分析的方法和思想来解决中学数学问题，用“高观点”来指导中学数学学习可谓是裨益良多。数学分析是大学数学的基础课程，是高中数学的深化，所以一些内容也可以用初等数学的知识来理解。

三、数学分析在高中问题中的应用

3.1  数学分析中的零点定理和微分中值定理的相关知识在高考命题中出现不止一次，例如2014年四川高考理科数学最后一题，2014年山东高考最后一题，2016年全国卷最后一题，2016年北京卷最后一题均是运用中值定理求函数的极值，最值可以较快的得出答案，而运用中学数学方法计算量大，容易出错。

3.2  高中利用复合函数的单调区间和函数单调性的定义可以解决一些基本函数的单调区间问题，而对于处理复杂函数就显得捉襟见肘了，甚至是不能求解，如果恰当运用数学分析中的参变量分离和函数确界的知识就可使问题迎刃而解。例如湖南2014年高考22题，2015四川高考22题，2016上海高考22题就是通过分离参量，构造新函数，通过导数和极值研究新函数的最值，来得到参数的范围。

3.3  将数列和不等式归纳为级数，把求极限衍生为级数收敛和求和的问题就是用数学分析的“高观点”解决中学数学常规问题的特别思路，将函数和数列的极限问题联合起来思考，解决数列问题时联想函数极限的性质，这样也可以使问题变得简单，能够更好的理解和掌握中学数学知识。

四、结论

虽然说在高中沉重的课业负担的压力下，再来补充数学分析的知识无疑更加重了老师和学生的压力。但是我们清楚地知道，教书育人是一辈子的事，没有说是高中毕业就是“一锤子买卖”，这是一项可持续的发展过程，无论是学习者还是教育者目光都不应当看到当下，更要着眼于未来。我们都应当思考这样的一个问题：作为老师，我们应当怎样让自己的学生更好的适应即将到来的大学学习生活？如何在学习中学数学的时候就为他们培养继续学习的数学素养和学习兴趣？

作为典型的“过来人”，站在高处的老师们，应当对这个问题有着自己深刻的见解，虽会有不同，但不外乎是以下几点：

1.充分准备

老师应当紧跟教育改革形式，熟读改革政策文件，了解改革方向，明确改革任务，清楚改革目标。要在掌握现用中学数学教材的基础上，复习好大学主干数学课程特别是数学分析的知识，在两者间有脱节断钩的地方及时予以补充。

2.完善过程

按照皮亚杰的建构主义原理，老师要按照教学内容精心设计教学过程，并且注重学生自主探究了逻辑推导的训练，并且适当补充大学的数学思想方法。

3.跳出桎梏

考试从来不是目的，只是检验学习成果的方法。是学习的附属品。为了考试的学习是目的不正的学习。我们应当走出高考的限制圈子，摆脱考纲这一“紧箍咒”，不能只讲要考察的知识点，对于课本上涉及的数学分析的知识也应当给学生讲解，而且要从高考题，中挖掘更高观点下的数学思想方法，引导学生发现题目下的数学本质。而不是盲目的，机械的做大量习题。

五、结束语

在经济社会持续发展下的新的历史起点，在“创新，协调绿色，开放，共享”五大发展理念的指导下，如何继续贯彻“科教兴国，人才强国”发展战略，关键是要看如何培养出具有较强学习能力和创新能力的人才是重中之重，创新是发展的动力，人才是创新的关键。做为新一代的教育工作者，我感觉肩上的担子很沉重，我们有着不可推卸的时代使命，不在是要教会学生如何应对高考，还要培养学生好的数学素养和终生学习的能力。这是每个合格教师都应当担起的责任。

参考文献

[1]教育部等.国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）.北京：人民出版社

[2]张筑生.数学分析新讲第一册.北京：北京大学出版社

[3]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）.北京：高等教育出版社

[4]李建民.李红.数学分析课程对中学数学的指导作用[J].平顶山师专学报，1998，13（4）：8-12

[5]李祥，杨春华.数学分析与中学教学之比较和衔接[J].保山师专学报.2002，21（5）：12-14

[6]人教社数学教研室.数学A版必修1-5，选修2-2.北京：人民教育出版社

[7]张奠宙等.数学教育概论第二版.北京：高等教育出版社

作者简介：张书涛，男，1994年11月，汉，四川泸州龙马潭区，大学本科，数学与应用数学。