利用多普勒效应实验仪器研究垂直简谐振动测量方法的改进

曹　勇，李　伟，雍志华，李　娟，于白茹，梁小冲

(四川大学 a.电气信息学院; b.物理科学与技术学院,四川 成都 610065)

利用多普勒效应实验仪器研究垂直简谐振动测量方法的改进

曹勇a，李伟b，雍志华b，李娟b，于白茹b，梁小冲b

(四川大学 a.电气信息学院; b.物理科学与技术学院,四川 成都 610065)

摘要：利用多普勒效应实验仪器测量垂直简谐振动的周期和频率实验中，对传统测量方法进行了改进，测量接收器悬挂弹簧后再加挂砝码时的弹簧的伸长量. 采用2种方法进行实验，测量结果表明改进后的方法误差更小、更精确.

关键词：简谐振动；多普勒效应；周期

物理实验是最基本的实验训练，物理实验教学理应成为培养学生们创新能力的重要环节，注重培养学生科研能力，有利于学生的开拓精神和创新能力的培养[1-2]，在全国多所高校中，多普勒效应综合实验作为基础实验面向全校开放，在实验仪器上可完成的实验有多普勒效应的验证、超声波声速的测量、研究变速直线运动以及研究简谐振动. 传统的测量简谐振动的方法一被大多数高校的实验教材采用，如北京大学、国防工业大学、四川大学[3-6]. 该方法理论上是正确的，但按实验所得数据计算，误差较大. 通过查阅资料、实验验证，对原有的测量方法进行改进可有效减小实验误差，并分析误差产生的原因.

1垂直简谐振动的测量原理

当质量为m的物体受到大小与位移成正比、而方向指向平衡位置的力的作用时，若以物体的运动方向为y轴，则其运动方程为

(1)

由上式描述的运动称为简谐振动[7].

将质量为m物体系于弹簧下端，使弹簧伸长. 设弹簧伸长了Δy， 由胡克定律可知，固体材料受力后将发生弹性形变，在固体的弹性限度内，材料中的应力与应变(单位变形量)之间成线性关系[8]. 本实验中，弹簧弹力的大小和弹簧伸长(或缩短)的长度可简单表示为如下的线性关系

mg=kΔy,

(2)

式中k是弹簧的弹性系数. 如果给弹簧一向下的瞬时冲击力，它将作垂直简谐振动. 以物体的运动方向为y轴，其运动方程为

(3)

由(2)和(3)式得

(4)

取y′=y-Δy，则(4)式变为

(5)

由(5)式可知，振动的角频率仍满足

(6)

利用多普勒效应实验仪研究简谐振动的测量装置如图1所示. 将超声波接收器挂于弹簧上，令其上下振动，当系统在平衡位置附近振动时，记录其振动速度. 实验时，取采样间距T′=100 ms，采样点总数150. 利用多普勒效应实验仪记录第1次到第150次的速度. 则简谐振动的周期T可表示为

(7)

式中，N1max和N11max分别为第1次速度达到最大值(或最小值)时的采样次数和第11次速度达到最大值(或最小值)时的采样次数. 将数据代入

(8)

由此计算出简谐振动的角频率.

图1　多普勒效应研究简谐振动测量装置图

2研究简谐振动2种方法比较

2.1传统测量方法

2.2改进后的测量方法

测量接收器质量m1和砝码质量m2，测量接收器悬挂弹簧后弹簧的长度x，加挂砝码，测量加挂砝码后弹簧的伸长量x′，计算Δx=x′-x(如图2). 将砝码质量m2和Δx代入改进后式(2)求得k，再将k和接收器质量m1代入式(6)可得ω0. 取下砝码，让接收器多普勒效应综合实验装置上做垂直简谐振动，记录N1max和N11max，利用式(7)和(8)可算出角频率ω.

图2　2种测量方法中用到的物理量

3实验结果分析

按照传统测量方法进行实验，所得角频率的实验测量结果如表1所示，其中T′=100 ms,g=9.792 2 m/s2，其测量结果与计算值的相对偏差较大，约为10%. 采用改进后的方法所得测量结果如表2所示，测量结果与计算值的相对偏差较小，小于1%.

2种测量方法在利用多普勒效应实验仪器测量简谐振动周期过程完全相同，实验所得周期也大致相同. 2种测量方法共同的实验误差来源有：1)实验时的空气对流，空气对流会导致物体在做垂直简谐振动的过程中受到非垂直方向上力的作用，导致物体做圆锥摆运动，从而改变物体的运动周期；2)测量过程中的室温变化，会导致超声波发生器与接收器之间的介质发生改变，影响声波的传播速度，从而产生实验误差；3)信号接收装置是否良好.

表1　传统方法研究简谐振动的相关物理量

表2　改进后的方法研究简谐振动的相关物理量

2种测量方法的主要差异在于计算角频率时弹簧伸长量的选取不同. 传统方法是直接测量接收器悬挂上弹簧后测量弹簧的伸长量，默认为弹簧伸长量从0开始满足胡克定律. 而改进后的方法是测量接收器悬挂上弹簧后再加挂质量为m的砝码时的伸长量，得出其弹性系数.

因此，为探究实验中所用弹簧对实验结果的影响，作如下实验.

将实验所用弹簧悬挂在多普勒实验仪上，分别加挂不同质量的砝码并测量弹簧的伸长量，得出弹簧伸长量随砝码质量增加的变化规律. 实验数据如表3所示. 由表3中数据作两者的变化图线如图3所示. 由于实验条件限制，未测出加挂砝码大于250 g时弹簧的伸长量.

表3　增加不同质量砝码后弹簧伸长量

在计算弹簧的弹性系数时，利用式(3)计算的结果是弹簧单位伸长量所对应的砝码质量的改变量. 而图3表明，弹簧伸长量从零开始的一段区间内弹簧上加挂砝码的质量与弹簧的伸长量不满足线性关系；当弹簧的拉力达到一定值之后，弹簧加挂砝码的质量与弹簧的伸长量才呈线性关系，即符合胡克定律. 本实验中，传统方法直接测量弹簧从零开始的伸长量，包括了弹簧伸长量非线性增长区间，因此角频率的计算结果误差较大；改进后的方法，由于接收器质量与所加砝码质量之和均在弹簧伸长量的线性增长区间内，弹簧单位伸长量与所加砝码质量成正比，计算出的弹性系数更准确，因此改进后方法的偏差较小.

图3　弹簧伸长量随砝码质量增加的变化曲线

因此，采用改进后的测量方法可明显减小实验误差，得出较为准确的实验数据和结论.

参考文献：

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[3]周瑞华. 大学物理实验教程[M]. 北京：国防工业大学出版社，2010：167-173.

[4]刘跃,张志津. 大学物理实验[M]. 北京：北京大学出版社，2007:279-284.

[5]王植恒,何原,朱俊. 大学物理实验[M]. 5版.北京：高等教育出版社，2012:164-172.

[6]李伟，雍志华. 多普勒效应验证实验仪器的改进[J]. 物理实验，2014,34(6):26-29.

[7]吴於人,于明章,刘云龙. 大学物理[M]. 上海:同济大学出版社,2003:131-133.

[8]王增阳,周勇,郑小平等. 胡克定律实验新探[J]. 高等函授学报,2009,22(1):37-42.

[责任编辑：郭伟]

Comparison of two methods of researching vertical harmonic vibration by instrument of Doppler effects

CAO Yong1, LI Wei2， YONG Zhi-hua2， LI Juan2， YU Bai-ru2， LIANG Xiao-chong2

(1.School of Electrical Engineering and Information； 2.College of Physical Science and Technology,Sichuan University, Chengdu 610065, China)

Abstract:Vertical harmonic vibration was researched, its period and frequency were measured by the Doppler effect experiment instrument. The traditional method was improved by measuring the change in the length of the spring hung on the receiver with the increasement of weight. By analyzing two sets of data, it concluded that adopting the second method could come to a more accurate conclusion. The sources of error of the first method was also analyzed.

Key words:vertical harmonic vibration; Doppler effect; period

收稿日期：2015-09-01；修改日期：2015-10-19

作者简介：曹勇(1996-)，男，四川内江人，四川大学电气信息学院2014级本科生.

通讯作者：李伟(1986-)，女，四川内江人，四川大学物理科学与技术学院实验师，硕士，从事基础物理实验教学教辅工作.

中图分类号：O321

文献标识码：A

文章编号：1005-4642(2016)06-0036-04