弯曲法测量圆柱形试样杨氏模量的研究

宋连鹏，孙　瑜，刘玉鹏，周　丽

(海军大连舰艇学院 基础部， 辽宁 大连 116018)

弯曲法测量圆柱形试样杨氏模量的研究

宋连鹏，孙瑜，刘玉鹏，周丽

(海军大连舰艇学院 基础部， 辽宁 大连 116018)

摘要：根据圆柱形的受力弯曲理论推导出弯曲法测量圆柱形试样杨氏模量的公式，改进了仪器，测出了圆柱形试样金属丝的杨氏模量，解决了弯曲法测量圆柱形杨氏模量的问题，消除了在实验教学及生产中由于试样形状的限制而产生的不利影响.

关键词：杨氏模量;弯曲法;圆柱形试样;刀口

杨氏模量是标志材料抵抗弹性形变能力的重要物理量，是工程材料的重要物理参量，是选定机械构件材料的依据之一[1]. 测量杨氏模量的方法有拉伸法、动态悬挂法和弯曲法[2]，其中拉伸法和动态悬挂法的试样是圆柱形，弯曲法试样的截面为矩形，3种测量方法的试样不统一，压缩了对不同方法分析讨论的空间，同时弯曲法的实际应用也受到了限制.

1测量原理

将半径为r的圆柱形试样放在相距为l的两刀口上(如图1所示)，在两刀口的中点处挂上质量为m的砝码，假设挂砝码处下降Δz，称此Δz为弛垂度. 相距dx的O1O2两点所在的横断面在弯曲前互相平行，弯曲后则成一小角dφ(如图2所示). 显然弯曲后，其下半部呈现拉伸状态，上半部为压缩状态，而中间的薄层虽弯曲但长度不变，称为中间层.

图1　弯曲法示意图

图2　压缩拉伸示意图

设距中间层距离为y、厚度为dy、形变前长为dx的一段，弯曲后伸长了ydφ，受到的拉力为dF，根据胡克定律有

(1)

式中dS为形变层的横截面积(如图3所示)，为

图3　圆柱形试样截面图

(2)

于是

(3)

此力对中间层的转矩为dM,即

(4)

整个横断面的转矩M为

(5)

(6)

(7)

图4　弯曲梁受力分析图

(8)

由式(8)求出dφ代入式(7)中,并求积分，可求出弛垂度为

(9)

整理得

(10)

可见，测量圆柱形试样在外力作用下产生的弛垂度Δz，即可求得材料的杨氏模量.

2实验装置

2.1杨氏模量测定仪

实验采用杭州大华仪器制造有限公司生产的DHY-1杨氏模量测定仪[3]进行测量，结构如图5所示，试样放在2个顶端留有刀口的固定立柱上，试样中间放置刀口挂件，刀口挂件下面悬挂砝码座. 刀口挂件的上面通过铜杠杆与放在磁场中的霍尔传感器关联在一起，保持霍尔传感器的电流不变，当传感器在等梯度磁场中移动时，输出的电压变化量：

ΔUH=KΔz,

(11)

其中K为传感器的灵敏度，Δz为位移量，可见霍尔电压变化量与位移之间存在一一对应的线性关系，因此可以利用霍尔传感器测量试样中点的弛垂度Δz.

图5　杨氏模量测定仪

2.2改进仪器

DHY-1测定仪是针对板形试样而设计的，对圆柱形试样的测量存在困难. 首先，由于没有可以用来支撑刀口挂件的平面，刀口挂件不能保持水平，难以实现测量. 其次，刀口挂件仅仅是套在试样上，加减砝码时会引起刀口挂件的转动和偏移，而移测显微镜的视场又非常小，因此在定标时极易造成刀口挂件脱离视场而导致实验失败. 最后，在定标的过程中，由于刀口受力不均匀引起的倾斜而导致刀口挂件上的刻线与移测显微镜中的水平参考基线不平行[如图6(a)], 或者形成刀口对试样的斜压状态，造成系统误差[4].

(a)不平行

(b)平行图6　刻线与基线位置

针对以上问题，对装置做了简易改进，在刀口挂件底部安装了螺栓，再在刀口挂件内安装铜砧(如图7所示). 铜砧与刀口接触面的中间位置刻有凹槽，当螺栓旋进时推动铜砧紧贴刀口，凹槽和刀口间形成的空隙刚好卡住圆柱形试样. 因为测量时试样微向下弯曲，所以改进不会影响刀口的功能.

图7　改进的刀口挂件及效果

改进后刀口挂件可以水平、稳定地固定在圆柱形试样上，解决了刀口挂件的安放问题，同时避免了加碱砝码时引起的刀口挂件移动，确保移测显微镜能够对刀口挂件进行持续稳定地观测. 改进后固定在试样上的刀口挂件能够完全垂直试样，使刀口挂件上的刻线与移测显微镜的水平参考基线平行[如图6(b)]，并可以有效避免形成斜压状态，也可以精确选取试样中点，从而减小系统误差.

3测量效果

依据以上推导的理论公式，利用改进后的仪器对圆柱形试样金属丝进行了杨氏模量测量，为了能够更好地反映测量效果，同时也采用了光杠杆静态拉伸法测量了相同金属丝的杨氏模量，并对2种测量方法的结果进行了比较.

3.1弯曲法测量金属丝杨氏模量

3.1.1霍尔传感器定标

采用厚度a=(1.001±0.006) mm，宽度b=(23.00±0.01) mm的铜板，放在相距l=(23.00±0.06) cm的立柱之间进行霍尔位置传感器定标，每次增加砝码的质量m=(20.0±0.1) g，使霍尔传感器在磁场中心<2 mm的范围内移动[5]，测量结果如表1所示.

表1　传感器定标

利用Excel软件对数据进行最小二乘法拟合(图8)，得霍尔传感器的灵敏度K=149 mV/mm，相关系数R2=0.999 9.

图8　U-z特性曲线

3.1.2杨氏模量测量

环境温度为20 ℃，采用直径d=(0.724±0.006) mm金属丝，为了满足霍尔传感器在磁场中心小于2 mm的范围内移动的条件，考虑到金属丝较细的实际情况，设定2个立柱之间的距离l=(6.00±0.06) cm，同时每次增加砝码的质量为m=(10.0±0.1) g，测量结果如表2.

表2　弯曲法测量的实验数据

把相应参量代入式(10)得金属丝杨氏模量的平均值

在电压表误差限Δ表=0.1 mV和移测显微镜误差限Δ显=0.01 mm的测量条件下根据不确定度计算公式和不确定度传递公式得弛垂度不确定度uΔz=0.005 mm，因此杨氏模量的相对不确定度为

杨氏模量不确定度为

因此弯曲法测得金属丝杨氏模量为

Y=(18.1±0.9)×1010N/m2.

3.2光杠杆拉伸法测量金属丝杨氏模量

环境温度为20 ℃，采用浙江光学仪器制造有限公司生产的YMC-1杨氏模量测定仪进行测量，金属丝直径d=(0.724±0.006) mm，有效长度L=(50.00±0.06) cm，镜面到尺子的距离D=(164.50±0.06) cm，光杠杆常量b=(75.30±0.01) mm，每次增加砝码的质量m=(1.000±0.005) kg，为了消除弹性滞后效应及摩擦所引起的系统误差，采用了先递增负荷后递减负荷的实验方法，测量结果如表3所示.

表3　光杠杆法测量的实验数据　mm

在钢尺误差限Δ=0.5 mm的测量条件下根据不确定度计算公式和不确定度传递公式可得尺子变化量的不确定度uΔn=0.4 mm，因此杨氏模量的相对不确定度为

杨氏模量不确定度为

因此光杠杆拉伸法测得金属丝杨氏模量为

Y=(1.8±0.3)×1011N/m2.

3.3结论

炭钢金属丝杨氏模量的参考值为(15～20)×1010N/m2，可见弯曲法的测量结果与实际符合得很好，与光杠杆静态拉伸法测得的结果接近，两者相对偏差为1%. 弯曲法的精度要比光杠杆拉伸法的精度高，究其原因是光杠杆拉伸法所使用的尺子精度相对较低. 这充分说明了本文所推公式的可靠性，也证实了仪器改进的有效性，解决了弯曲法测量圆柱形杨氏模量实验中存在的问题.

4结束语

弯曲法测量圆柱形杨氏模量问题的解决实现了不同方法测量试样的统一，为杨氏模量实验教学的进一步展开奠定了基础，以此为起点将不同方法设计为一个实验系列，能够帮助学生构建有序化的知识结构，更好地掌握学习物理实验的基本方法. 基于霍尔传感器的弯曲法测量杨氏模量是一种具有广阔应用前景的电测方法，圆柱形杨氏模量测量问题的解决解除了材料形状对这一应用的限制.

参考文献：

[1]焦丽凤,陆申龙，赵在忠. 用霍尔位置传感器测量固体材料的杨氏模量[J]. 物理通报,2000(5):31-32.

[2]周晓明．三种杨氏模量测量方法比较[J]. 实验科学与技术,2011,9(6):97-99.

[3]邵奇，孙瑜，宋连鹏，等. 大学物理实验教程[M]. 北京:海潮出版社,2010:300-303.

[4]龙卧云，任文辉，林智群，等．霍尔位置传感器测量材料杨氏模量的改进 [J]. 实验室科学，2010,13(5):166-168.

[5]张铭杨，邵明辉，王德得，等. 基于霍尔效应的杨氏模量测量实验改进[J]. 枣庄学院学报,2013,30(5):47-51.

[责任编辑：尹冬梅]

Measuring Young modulus of cylindrical specimen by bending a beam

SONG Lian-peng， SUN Yu， LIU Yu-peng， ZHOU Li

(Department of Basic Sciences, Dalian Naval Academy, Dalian 116018， China)

Abstract:In order to eliminate the adverse effects on the experiment teaching and production caused by the limitation on the sample shape when measuring Young modulus by bending a beam, the essential formula for measuring Young modulus of cylindrical sample according to the beam bending theory was deduced. The Young modulus of steel wire was measured by the improved instrument, and problem was solved successfully.

Key words:Young modulus; bending method; cylindrical sample; knife edge

收稿日期：2016-01-13；修改日期：2016-03-08

基金项目：海军大连舰艇学院科研发展基金资助项目(No.DJYKYKT2015-01)

作者简介：宋连鹏(1977-),男,辽宁大连人，海军大连舰艇学院基础部实验师，硕士，从事物理实验教学与原子分子研究工作.

中图分类号：O343

文献标识码：A

文章编号：1005-4642(2016)06-0022-05