用Mathematica软件计算单摆实验中大摆角的周期

成思源

[摘要]在高中物理中，测量重力加速度常常采用单摆法，此法要求单摆的初始摆角小于5度。当摆角大于5度后的摆动周期如何呢？有不少研究者对此问题作了分析探讨。在此借助Mathematica软件，用椭圆积分法，研究无阻尼状态下单摆的大摆角运动，并计算得出不同摆角下单摆运动的周期。

[关键词]Mathematica 椭圆积分 大摆角运动 周期

[中图分类号]G633.7 [文献标识码]A [文章编号] 16746058（2016）050052

一、引言

摆动是最基本的物理现象，单摆是高中物理的一个重要实验，可用来展现多种力学现象。对于单摆，教材通过推导得出摆角小于5度时，其运动规律近似为简谐振动，并直接给出其周期公式T0=2πl/g，这里l是摆长，g是重力加速度。但是当摆角大于5度时，其周期为多少？能不能通过什么方法计算出来？这个问题有不少人想过，但大多数都束手无策，原因有以下两点：（1）实际单摆在做大摆角运动时，由于各种阻力作用，其摆角减小较快，因此很难用实验的方法准确测量较大摆角下的周期；（2）大摆角单摆的运动方程为非线性微分方程，很难用高中数学求其周期，但是周期可以用数学中的椭圆积分来表示。椭圆积分是数学中的一个特殊函数，对高中学生来说极为陌生。Mathematica软件中有专门的内部数学函数可以计算椭圆积分。本文尝试用Mathematica软件得出不同摆角下的周期值。

二、较大摆角下单摆周期的推导

众所周知，单摆在摆动过程中，必须满足能量守恒。为了讨论方便，本文以摆球下摆到最低点时，摆球重力等于摆球运动所需向心力情况下的摆角为讨论的最大摆角，由此有：mg=mv2/l；由机械能守恒有：mgl（1-cosα）=mv2/2。从上面两式可得单摆的“最大”摆角为60度。

以摆角α（角度°）为横坐标，以约化周期T/T0为纵坐标，画出图像如下图所示。人教版物理选修3-5标注中给出“用高等数学进行计算：偏角为15度时与公式相差0.5%，23度时相差1%，”与本方法所得的结论完全吻合。

[参考文献]

梅宇航，董平.基于MATLAB的单摆初始摆角的讨论[J].中学物理，2009（6）：21-24.

（责任编辑 易志毅）