基于数学课堂的“化归思维”培养

张敏

摘 要：所谓“化归”就是“转化和归结”的简称，化归思想方法是数学问题解决的一般方法，其基本思想是：把一个实际问题通过某种转化归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个较简单的问题，而获得原问题的解决。其实质是将新知识转化为已掌握的旧知识，从而进一步理解并解决新问题。本文对化归思维的培养做了一些探讨。

关键词：化归思想；化归方法；化归原则；问题解决

化归思想不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略。化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法。一般是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难于求解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。小学数学解题中应用化归思想，常常可以将生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗，使问题巧妙得到解决。如何让学生在解题中体会归思想，运用化归思想方法，这就要求教师从身边的教学做起。

一、找准起点，实施引领

学生已多次运用转化的策略学习新知识，解决新问题。如，学生在学习平行四边形、三角形、梯形等平面图形面积公式的推导过程时，已经有运用平移、旋转等方法对平面图形进行剪拼的经验积累，在分数加减法、小数乘除法等计算方法的探索过程中也积累了转化知识，这些经验的积累为学习化归思想打下了坚实的基础。但是，这些转化的经验又是零散的、不系统的，还需要进一步感悟和提升。我们要努力让学生产生“蓦然回首”的顿悟和“心有灵犀一点通”的喜悦，从而主动应用转化的策略解决问题。

二、探究交流，感悟转化

在教学苏教版数学六年级下册第71-72页“解决问题的策略——转化”一课时，为了让学生感悟“转化”的思想，笔者从以下内容进行设计：

1.互动尝试：比较下面两个图形面积的大小。（图略）

（1）创设三年级小朋友关于两个图形面积大小的争论情境，引发产生探究欲望。

（2）学生操作，探索比较方法。

（3）交流展示，互动点拨比较方法（平移、旋转）。

（4）反思追问：为什么刚开始比较不出两个图形面积的大小，而现在能一下子准确比较出来了？（点拨板书：复杂—简单）转化前后，图形的什么变了？什么没变？

【设计意图：在互动尝试环节，教师借助教材的例子，创设了争论情境，疑问驱使学生去思考，自主探究已成为他们的一种需要，在操作中自主找到了平移旋转这一转化方法，从而将不规则图形转化为规则图形，又在比较中初步感受“变”与“不变”的辩证统一。】

过渡：同学们，这是多么有智慧的一变呀！你们在保证面积不变的情况下，将这两个图形巧妙地进行变形，问题就迎刃而解了。这就是小变化，大智慧呀！

2.简单运用：汉字趣题。

（1）（课件出示“凸”字）如果将它看作平面图形，它所有笔画的总长度，也就是周长怎样计算比较简便？相机演示并追问：转化前后，图形的什么没有变？

（2）（课件出示“凹”字）如果这两个字字号一样大，它们的周长相等吗？相机演示。追问：还有其他比较的方法吗？相机拓展。

（3）追问：不管是转化成同一种图形还是同一个字，保证了什么不变？

【设计意图：通过例1等探究题的操作体验，学生联系实际感悟转化策略的应用，体会无论在过去、现在及将来，学习与生活中的转化都是解决问题的有效方法。】

三、做好铺垫，促进生成

“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。”作为一种学习策略——化归思想方法的掌握与获取数学知识、技能一样，有一个感知、领悟、掌握、应用的过程，这个过程是潜移默化的，长期的、逐步累积的。教学中应结合典型教材，逐步渗透、适时点明，使学生认识化归的思想和方法。

例： 在教学“除数是小数除法”这一节内容时，笔者是这样设计教学的：

（1）计算并思考各式之间有什么规律，运用了什么性质 ？

12÷4=（ ），120÷40=（ ），1200÷400=（ ）。

（2）在括号里填上合适的数，除数必须是整数，商不变。

1.2÷0.4=（ ）÷（ ），

3.6÷0.006=（ ）÷（ ）。

通过这组习题，学生重温了“商不变性质”，为除数是小数的除法转化成除数是整数的除法奠定了基础。

四、化繁为简，策略先行

有些数学问题比较复杂，直接解答过程会比较烦琐，如果在结构和数量关系相似的情况下，从更加简单的问题入手，找到解决问题的方法或建立模型，并进行适当检验，如果能够证明这种方法或模型是正确的，那么该问题一般来说便得到解决。下面举例加以说明。

案例1：把186拆分成两个自然数的和，怎样拆分才能使拆分后的两个自然数的乘积最大？187呢？

分析：此题中的数比较大，如果用枚举法一个一个地猜测验证，比较烦琐。如果从比较小的数开始枚举，利用不完全归纳法，看看能否找到解决方法。如从10开始，10可以分成：1和9， 2和8， 3和7， 4和6， 5 和5。它们的积分别是：9， 16， 21， 24， 25。可以初步认为拆分成相等的两个数的乘积最大，如果不确定，还可以再举一个例子，如12可以分成：1和11， 2和10， 3和9， 4和8， 5和7， 6和6， 它们的积分别是：11， 20， 27， 32， 35， 36。由此可以推断：把186拆分成93和93， 93和93的乘积最大，乘积为8649。适当地加以检验，如92和94的乘积为8648， 90和96的乘积为8640， 都比8649小。

因为187是奇数，无法拆分成相等的两个数，只能拆分成相差1的两个数，这时它们的乘积最大。不再举例验证。

案例2：你能快速口算85×85，95×95，105×105吗？

分析：仔细观察可以看出，此类题有些共同特点，每个算式中的两个因数相等，并且个位数都是5。如果不知道个位数是5的相等的两个数的乘积的规律，直接快速口算是有难度的。那么，此类题有什么技巧呢？不妨从简单的数开始探索，如15×15=225，25×25=625，35×35=1225。通过这几个算式的因数与相应的积的特点，可以初步发现规律是：个位数是5的相等的两个数的乘积分为左右两部分：左边为因数中5以外的数字乘比它大1的数，右边为25（5乘5的积）。所以85×85=7225，95×95=9025，105×105=11025，实际验证也是如此。

很多学生面对一些数学问题，可能知道怎么解答，但是只要想起解答过程非常烦琐，就会产生退缩情绪，或者在烦琐的解答过程中出现失误，这是比较普遍的情况。因此，学会化繁为简的解题策略，对于提高解决繁难问题的能力大有帮助。

五、化归在教学中的几点建议

（一）注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握。

“知识技能”既是学生发展的基础性目标，又是落实“数学思考”“问题解决”“情感态度”目标的载体。

为帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验联系、与学生学科知识联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析，抽象概况，运用知识进行判断。

（二）感悟数学思想，积累数学活动经验。

数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。

（三）从化归思想方法的角度分析教材内容，同时深入教材提炼总结化归思想。当看到一些材料上面写着“当作”“看作”这些字眼的，都需要教师去留意做笔记，这是化归思想的具体体现，那么在教学的时候，就要将新旧知识串联起来，渗透化不熟悉为熟悉的原则，运用化归思想来教学生去解决问题。

（四）数学教学更多的为解题教学。波利亚曾经说过“数学教学的首要任务就是加强解题训练。”解题训练不是题海战术，在解题教学中要充分发挥化归思想方法对发现解题的途径和转化的作用，突出化归思想方法对数学问题解决的指导作用。教师帮助学生挖掘题目的各个侧面，能够举一反三；培养学生的数学才能和教会他们思考问题的方法与手段，同时引导学生在反思数学题的基础上进行归纳总结概括。

（五）教师在用化归思想方法的角度分析教材内容的基础上，通过渗透阶段、突破阶段、应用阶段三个阶段的学习，“一来提高了学生的兴趣和关注程度，二来又使其容易理解和掌握相关知识，并且会使化归思想深深地印在其脑海中，相信会使他们终身受益”。

总之，在小学数学教学中，数学思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径；尤其是化归思想能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，不仅有利于学生顺利地、高效率地学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，为学生今后的数学学习，甚至物理、化学等理科的学习打下坚实的基础。