跟张奠宙先生学教小学数学

◇ 储冬生

跟张奠宙先生学教小学数学

◇ 储冬生

一

提起张奠宙先生的名字，可谓如雷贯耳。先生是我们很多人景仰的对象，先生的许多观点都直指数学教育的时弊。作为一位高校的资深专家，他深度关注中小学数学教育，沉潜中小学数学教学研究，他的诸多著作都是我们不少中小学教师的案头必备藏书。就我个人而言，我的很多教学思考都曾受到先生的启迪。我所提的教学主张 “问题驱动式数学教学”就是源自先生所说的数学教育的四条特有原则：数学化、适度形式化、问题驱动、提炼数学思想方法。先生的《中国数学双基教学》一书，我曾在新教育网络师范学院作为领头人带领同伴们一起研读过。读完先生的《我亲历的数学教育（1938—2008）》，我还写过一篇阅读体会的文章 《数学教育那些事》，后来发表在心仪的《小学教学（数学版）》杂志上。先生的《数学教育研究导论》是我作为一名数学教师的几本“打底”的阅读书目之一。先生的《小学数学研究》则是我办公桌上的手边书，每当教学中遇到困惑我都会翻开它，几乎每一次它都能给我以启迪。《张奠宙数学教育随想集》则是我这段时间的枕边书之一，都是些短小的文字，可读性很强，入睡前读上一两篇，很是过瘾……

除了阅读先生的书，我们还常常能够在《小学教学（数学版）》等杂志上看到先生的文章，只要是先生的文章我每篇必读，原因很简单：先生的文章都是“干货”。最近两年我们惊喜地发现，《小学教学（数学版）》几乎每一期杂志上都有先生的文章（除了复习与评价专号），先生将目光聚焦在小学数学教材研究上，文中的很多观点都让我深受启发。

关于几何，先生指出：古希腊几何与中国古代几何的差异在于古希腊几何是“线几何”，而中国古代几何是“面几何”。不怕大家笑话，在此之前我从未接触过这两个概念，看完先生的解释顿觉豁然开朗。关于分类，先生指出，其实科学分类方法有两个序列：纵向的按等级排列，套筒式地一级包含一级，我们不妨称之为“等级分类”；横向的则是同一等级里的不同类别，依照不重不漏的原则分类，我们称之为“并列分类”。日常的小学数学教学中所强调的不重复不遗漏分类，只是科学分类方法的一部分。在数学学习中根据需要还要使用等级分类，例如数系的分类。关于除法，先生指出：除法和分数教学，最常用的情境是“平均分物”。这一数学模型，涉及两种除法，俗称“等分除”和“包含除”。在我国的除法教学和教材编写中，都过分地偏向“等分除”，以致形成了片面的思维定式。先生特别指出，分数除法对“包含除”的需求特别强烈，例如不能说把4块饼平均分给个人，但是问4里面包含几个，却很容易明白。看完先生的评述，我才明白“包含除”的独特价值所在。

在这一系列的文章中，先生还不断提醒我们思考和追问：教材中在没有学习角的度量的情况下，先出现直角、锐角、钝角，合理吗？怎样处理更自然？平移和平行是什么关系？到底是先有平移再有平行，还是先有平行再有平移？用射线定义角，既不能在理解上有所深入，也不能在实用上有所改进，到底要它何用？“分类”的教学以“整理房间”切入到底合适不合适？实物的运动和平面图形的运动是不是一回事？“两条线段互相平行”与教材中给出的直线平行的定义之间是什么关系？如何处理好这种关系？……这些都是我们在日常教学中“见怪不怪”的问题，我们总是在不经意间与它们“擦肩而过”，先生的点醒让我们明白这些看似不起眼的细节背后其实是大有学问的。

二

先生的每一篇文章都足以引发我们太多的思考，我不能一一列举，接下来仅以《小学教学（数学版）》2015年第1期所刊先生的 《多多注意数学本质的揭示——剖析“用温度计引入负数”的优缺点》一文为例说说自己的学习历程和体会。先生在文章中明确指出了现行教材关于负数认识的大致编排体例及其优缺点，并给出了教学实施的建议。受先生的启发，我找来国内发行量较大的三个版本的教材，做了些比较。三个版本的教材关于负数认识的编排，大致如下：

A版教材安排在四年级上册，先以温度为例引入负数，在此基础上通过海拔高于海平面为正、低于海平面为负，游戏中得分为正、扣分为负，营业中盈利为正、亏损为负，存款中存入为正、支出为负，行走中向东为正、向西为负，以平均数为基准高出为正、低于为负，丰富负数的意义和内涵。

B版教材安排在六年级下册，同样是以温度为例引入，不一样的是，B版教材明确指出了：0℃表示淡水开始结冰的温度。接着研究存款中的存入与支出，然后延伸到“以一棵树为起点分别向东、向西行走”可以用正数、负数表示，并通过这个例子将正数、负数与数轴上的点建立起联系，练习则关注了海拔高度、警戒水位等问题。

C版教材安排在五年级上册，也是以温度为例引入，再研究海拔、盈亏、正反方向问题，在正反方向问题中将正数、负数的表达与数轴结合起来，整个处理与B版教材整体思路基本一致。细节处理上，有细微的区别，譬如：对于0的揭示C版教材是放在海拔高度的素材中处理的，指出：通常，我们规定海平面的平均海拔高度为0米，比海平面高记为正，比海平面低记为负。

另外，三个版本的教材都在“你知道吗”中介绍了关于负数的一些史料。

比较三个版本教材的编排，虽然各有特点，但是正如先生所言都是用温度作为素材来引入负数概念的。我在过去的教学中也基本是沿袭这一思路的，当时我以为这或许就是基于学生生活经验的一种必然。从数学本质上看，负数的根本属性其实就是表示意义相反的量，倘若从这一点出发来思考：一个负数总是某个正数的相反数，而0则是正数和负数的分界点，在引入负数概念的初期就必须对0这个分界点给予特别的关注，没有它正负的概念就无从谈起。因此，弄清楚什么是“意义相反”、确定哪一点是分界点就是教学的关键所在了。对此，一些教材中也有涉及（前面已有说明），但是到底什么样的素材更便于学生理解这个分界点，理解意义相反的本质，更指向负数产生的源头呢？

先生在文章中明确指出，所谓意义相反的量其实就是两类：一类是自然意义上的相反，如收支、盈亏、输赢等；另一类则是人为规定的相反意义，如零上零下气温、海拔高度在海平面之上还是之下等。显然，从便于理解、易于解释的角度看，还是第一类自然意义上的相反更好把握，这也完全符合人类认识负数的历史。基于以上的认识，根据先生在文章中给出的三条建议，我尝试重新设计了 “认识负数”一课的教学，大致的教学流程如下：

首先，从自然意义上的相反引入负数。主要是通过收支、盈亏、增减等素材直观揭示意义相反的量，借助“你知道吗”中的史料介绍，揭示负数的产生，挖掘数学史中的教育因素，同时，指出“0”点（分界点）的平衡意义。

其次，介绍人为规定的相反意义的量。以温度、海拔为例，追问：这时候的“0”在哪里？指出对于这里“0”的规定背后的合理性及其意义。

再次，借助数轴理解相反意义的量，实现初步的抽象。先尝试将“从一个基准点为起点将向相反方向行走”表达在直线上，再逐渐抽象为数轴，实现用数学的方式学习和表达数学。

最后，通过多样的变式练习，加深学生对于负数意义的理解，渗透人文教育。以平均数（警戒水位）为基准，超过为正，低于为负；边防战士冒着零下40℃的严寒进行巡逻等为素材，揭示变化的素材背后不变的数学本质。

整节课的教学看似“平常”，却努力教在负数的“要害之处”。将先生的真知灼见落实到我们的教学中，我想这才是先生最希望看到的。作为一名普通教师，我们阅读先生的文章，最重要的就是要将先生的指点融入我们的教学实践中去。先生写的是小学数学教育、小学数学教材，也许我们改变不了整个小学数学教育，改变不了教材的编写，但是我们可以在自己的班级、自己的课堂上做属于自己的实践和探索，这也是有意义的。向先生学习绝不能仅仅停留在觉得先生说得有道理，更重要的是要有行动、有实践！

在学习先生的“评论与建议”文章时，我们也不能“死搬硬套”，应该根据自己所在的地域、学校、班级的情况做出“属己化”的处理。先生在 《多多注意数学本质的揭示——剖析“用温度计引入负数”的优缺点》一文的最后指出：为了更细致地剖析相反意义的量，可以再进一步分析相反意义量的两种表述方式，即静止状态和数量变化状态的不同描述。以某地的气温为例，可以有四种情形。

静态的描述有：

1.今天的最高气温是18℃，记为＋18℃；

2.今天的最低气温是零下3℃，记为－3℃。

动态的描述有：

1.今天的最高气温比昨天升高5℃，记为＋5℃；

2.今天的最低气温比昨天降低4℃，记为－4℃。

这一组对比我在“认识负数”的第一课时教学中并没有涉及。我觉得，先生的分析是很有道理的，但是考虑到第一课时教学的量以及我们班学生的实际，我在第一课时教学中没有呈现这样的对比，而是把它留在本单元后面的练习课教学中去处理，借此帮助学生进一步深化对于负数意义的认识和理解。

三

在向先生学习的同时，我也不断追问自己：与先生相比，我（或我们）到底缺些什么？我首先想到的是学科素养，因为对于数学本身的理解缺乏足够的深度，这直接导致我（或我们）的数学教学很容易走向一种“浅表化”。先生曾说过：小学数学教育常常只认识“教育”妈妈，而忽视“数学”爸爸。这是真实的现状，正如先生在《小学数学研究》一书的“前言”中所指出的那样：

当前，数学教育研究中一个不好的倾向是 “去数学化”——数学教育研究似乎越“一般化”，就越有理论水平，教学研究一旦归位到“一般教育理念”，就算完成任务了。许多文章，只有标题上的“数学”二字，内容一个数学例子也没有。即使用了一点点数学，也无非是用数学例子证明“一般教育理念”是正确的。数学教育研究没有数学，（即使）有点数学，却数学错误连连，这岂不是本末倒置吗？应该说，数学教育以人为本，以数学为核心。

但是，我又觉得这仍然还只是问题的显性部分，我们更应该学习先生的研究方法，学习先生的精神和品质。先生已经80多岁了，他的研究和写作早已摆脱世俗的功利色彩，他的创造力和智慧源自他深厚的学科功底、独到的思维方式、批判精神和反思意识，而他的研究动力则源自他对数学和数学教育的挚爱情感。这些都是我们应当认真向先生学习的，拥有这样的追求和情怀，我们才不会辜负先生的希望，也能为小学数学教育做出自己应有的贡献！

文章写到最后，再翻翻手边先生的著作，突然还有两点前面都未提及的强烈感受呼之欲出，即：先生的文字功底之深和知识视野之阔。在《我亲历的数学教育（1938—2008）》一书中，你能够感受到先生的文字魅力，娓娓道来却“寓深刻于生动”，的确是“非大家不能写，非大家都能读”，除数学素养之外更彰显了先生深厚的文字功底。《张奠宙数学教育随想集》涉猎之广，足见先生的视野之阔，“从北洋水师战败想到应试教育的危害”“清代考据文化对现代数学教育的影响”“《道德经》与自然数”“‘离离原上草’的数学模型”“‘技巧有时是音乐的敌人’”“从刘翔训练的强度和效率说起”“青霉素、芥菜卤、双基”“‘鸟巢’与‘四基’”“有感于‘百家讲坛’开讲《弟子规》”……仅仅从这些选题就让人看到先生的知识视野之阔。人们常说：功夫在诗外。或许这也是我们应该向先生学习的。

（作者单位：江苏海安县实验小学）