数学教学设计应遵循的三个主要原则

李树臣

【摘 要】 提高数学教学质量的问题一直是人们不断探索和实践的问题，搞好教学设计是至关重要的一个环节.教师为了作出切实可行的教学设计，必须认真研究《义务教育数学课程标准》、教材（含相关的教学资源）以及学生，同时还要遵循一些基本的原则.在这些基本原则中有三个主要原则，它们是：激发学习兴趣原则；整体结构原则和过程性原则.

【关键词】 教学设计；激发兴趣；数学认知结构；经历过程

课堂教学的效果在很大程度上决定于教学设计的优劣，所谓教学设计是指为达到教学目标，教师对课堂教学的过程与行为所作的系统规划.《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标（2011年版）》）在“课程基本理念”中强调指出：“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.”这些理念就是我们进行数学教学设计应遵循的总原则，具体说来，教学设计应遵循的主要原则有以下三个： 1 激发兴趣原则

在数学教学中，我们希望学生能以最大的热情、最佳的精神状态积极地投入数学学习，为此，必须培养学生的学习兴趣.这是我们进行教学设计首先要考虑并努力做好的问题.

兴趣是指一个人力求认识某种事物或从事某种活动的心理倾向，它是一种无形的动力，在数学教学中培养学生的学习兴趣具有重要的意义.《课标（2011年版）》指出“无论是设计、实施课堂教学方案，还是组织各类教学活动，不仅要重视学生获得知识技能，而且要激发学生的学习兴趣，通过独立思考或者合作交流感悟数学的基本思想……”

《中国青年报》曾报道过一个问题，“约30%的初中生学习了平面几何推理之后，丧失了对数学学习的兴趣”，这种现象从一个侧面鞭策我们在教学设计时要把激发学生的学习兴趣放在首位.

在数学教学中，老师们都很注意培养学生的兴趣问题，我们认为引发学生学习兴趣的关键在于创设有价值的问题情境.简单的说，有价值的问题情境是指能激发学生的学习兴趣，调动学生积极主动地参与到探究数学知识的活动中来，在活动的过程中发现、掌握、理解数学知识的问题系列.

有价值的问题情境的核心是引导学生通过问题系列深入到数学学科的本质，超越对于技巧性问题的过度追求，克服对数学概念表面理解的现象.这样的问题能揭示数学概念背后的本质含义，能帮助学生感悟数学命题背后隐含的思想方法，能沟通知识间相互联系，从而促使学生形成优化的数学知识结构.

有价值的问题情境的标志是：

（1）具有启发性

问题容易引起学生联想，激发学习兴趣，使学生的思维处于活跃状态，为学生提供思考的机会，能在学习的过程中养成独立思考的习惯，能把教材知识点本身的矛盾与学生已有知识、经验之间的矛盾作为问题的突破口，学生通过思考，不仅知道是“什么”，还能明确“为什么”.

（2）具有趣味性

问题富有情趣、意味和吸引力，能够使学生感到在思考时有趣并且愉快，在愉快中探究知识.能引起学生的好奇心，激发他们强烈的求知欲望，促使学生在生疑、质疑、解疑的过程中获得新的知识，并且形成基本技能.

（3）适时适度适量

学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，另一种是学生可能的发展水平.两者之间的差距就是最近发展区.有价值的问题情境着眼于学生的最近发展区，具有“适时适度适量”的特点.适时指要在学生达到“愤、悱”的状态时呈现问题；适度是指提出的问题要让学生能“跳一跳，摘得到”；适量指问题的数量恰好能为学习重点知识做好引领.

（4）具有发展性

问题能为学生深化理解、产生疑问留出时间和空间，便于学生在思考解答的过程中产生“创新”的火花，开发学生的智力，发展其能力.

例如，青岛版初中数学教科书在学习“几何证明”内容之前，曾利用观察、实验、归纳和类比等方法发现了不少数学命题，我们知道用这些方法得到的结论不一定都是正确的.为了让学生明确由此得到命题仅仅是一种猜想，不能保证它是真命题.教科书在学习“为什么要证明”时，给出了六个问题，作为问题情境，其中一个如下：

案例1 公鸡吃米的故事（“为什么要证明”的教学设计片段）.

1962年，我国数学家华罗庚给中学生讲过一个故事：“一只公鸡被一位买主买回了家.第1天，主人喂了公鸡一把米；第2天，主人又喂了公鸡一把米；……连续10天，主人每天都给公鸡一把米.公鸡有了10天的经验，就下结论说，主人一定每天都喂它一把米.但是就在它得出这个结论不久，主人家里来了客人，公鸡就被杀掉作菜了.”故事中的公鸡为什么得出一个错误的结论呢？

设计意图 本案例是通过给定的问题情境，改变学生的学习状态，激发学生的学习欲望，实现学生由“苦学”、“厌学”到“乐学”的转变.在让学生听完故事后，通过自己的思考，能认识到“只对部分对象研究就归纳出的结论，未必正确”.仅凭经验感觉得到的结论是不可靠的，要想得到理性的知识，必须给出严格的数学证明.

这样的设计不仅能引发学生积极主动地投入到听故事的过程中，而且还能在听故事的过程中展开数学思考，通过思考、讨论和相互交流等数学活动，能自觉地意识到学习数学证明的必要性，为顺利的学习证明作好了铺垫.

有价值的问题情境主要有六种类型：（1）数学发展型问题情境；（2）生活实际型问题情境；（3）实验操作型问题情境；（4）故事游戏型问题情境；（5）新闻或资料型问题情境；（6）结合联系型问题情境.

实践证明，这些类型的问题情境都能有效地引发学生的学习兴趣，激发他们内在的学习动力，主动地去探究数学知识. 2 整体结构原则

《课标（2011年版）》指出“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点与‘延伸点，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解.”这就要求我们在进行教学设计时，要遵守整体结构原则.

所谓整体结构原则，是指从数学知识的整体结构和学生的数学认知结构出发规划教学设计，实施课堂教学.学生随着对新知识的不断学习，原有的数学认知结构将不断得到完善和发展，从而实现整体把握数学知识结构的目的.

教师要从数学知识体系本身高度“结构化”的特点出发，遵循学生认知结构的形成和发展规律，站在整体、系统的高度把握和处理教材，努力创设把新知识融入学生已有认知结构的条件，以此促使新的数学知识和学生头脑中已有的知识发生相互作用，从而完善和发展学生的数学认知结构，提高学习效益.整体结构原则下数学学习的一般过程如图1所示：

同化和顺应是学生原有数学认知结构和新的学习内容相互作用的两种基本形式.

在这里，新的学习内容是核心知识，它包括数学的基本概念以及隐含在其中的数学思想方法，教学设计必须围绕这些核心知识展开.根据所学内容和学生的特点，把课堂教学设计成一个有层次的序列活动，引导学生在完成这些活动的过程中，把新的核心知识纳入到已有的认知结构中去，从而形成新的认知结构.实现掌握新的知识，形成新的技能，发展其数学能力的目的.所以，整体结构是教学设计应遵循的一个重要原则.

根据整体结构原则的要求，教学设计中应当做到：

（1）教学目标明确，削支强干，重点突出，集中精力关注数学核心内容；

（2）教学内容安排体现层次结构特点，遵循循序渐进，由浅人深，由易到难的规律；

（3）每堂课都围绕一个中心问题而展开，精心组织相关的数学活动.

案例2 “零指数幂”的教学设计.

“ 零指数幂”的意义是一种“规定”，但教学中不能单纯地要求学生记住这个“规定”，并进行相应的训练，而应根据学生已有的生活经验，设计一些有利于学生思考与探究的问题，尽可能地引导学生感悟这种“规定”的必要性与合理性.为了很好地体现整体结构原则的思想，我们把这个概念的建立过程分为以下三步：

（1）提出猜想：20=1.

零指数概念是学生学习的重点，也是难点，教学设计时可这样引导学生去思考与探究：

①计算22÷22.（启发学生分别用除法和同底数幂除法的运算性质进行计算，从而得到两种不同的结果：22÷22=1或22÷22=22-2=20.）

②提问学生.（如何解释用不同的方法计算同一个问题所得到的不同答案呢？）

③学生猜想.（为了使被除式的指数等于除式的指数时，同底数幂除法的运算性质也能使用，应当有20=1.）

（2）质疑这个猜想是否合理，并通过多种途径引导学生感受猜想的合理性.

例如，可以用细胞分裂作为情境，提出下面的问题：

一个细胞分裂1次变2个，分裂2次变4个，分裂3次变8个…，那么一个细胞没有分裂时个数为多少？

如图2，观察数轴上表示2的正整数次幂…16，8，4，2…的点的位置变化，你发现了什么规律？

观察下列式子中指数、幂的变化，你发现了什么规律：

24=16，23=8，22=4，21=2，2（ ）=1.

这样，学生通过思考、探究、交流等活动，就能比较充分地感受到“20=1”的合理性，于是作出“零指数幂”意义的“规定”：a0=1（a≠0）.

（3）验证这个规定与原有“幂的运算性质”是相容、和谐的.

运用幂的运算性质：a5÷a0=a5-0=a5；根据零指数幂意义的规定：a5÷a0=a5÷1=a5.

设计意图 在学习“零指数幂”之前，学生认知结构中的指数只能是正整数，为了让学生经历指数可以是0和负整数（这节课后将学习指数是负整数的情况）的过程，从而把指数概念由正整数扩充到全体整数的过程，我们设计了以上“零指数幂”概念的建立过程.

这样引入“零指数幂”概念，学生经历了的过程是：面对挑战→提出猜想（“规定”）→说明猜想的合理性→做出“规定”→验证这种“规定”与原有知识体系的和谐性→数学得到进一步发展.这样就把0指数幂概念纳入到已有的数学认知结构中，扩大了学生的数学认知结构.

波普尔指出：“知识的增长永远始于问题，终于问题——愈来愈深化的问题，愈来愈能启发大量新问题的问题.”在数学基础知识的教学设计中，根据整体结构原则的要求，尽量通过设计相应的“下位”问题，让学生围绕这些问题进行思考、探究、计算、猜测、交流、验证等数学活动，让学生在解决这些问题的过程中，发现已有的知识不够用了，于是自然地引出新的知识.这样不断扩大其认知结构，让学生从整体上把握数学. 3 过程性原则

所谓过程性原则，是指数学教学必须以知识的发生发展和认知形成的内在联系为线索，充分展现和经历其中的思维活动过程，使学生真正参与到发现的过程中来.《课标（2011年版）》非常重视“过程”，这里的过程主要体现在两个方面：

（1）体现数学知识的形成过程.在设计一些新知识的学习活动时，应按照“知识背景—知识形成—揭示联系”的过程展开.

（2）反映数学知识的应用过程.在设计运用数学知识解决问题的活动时，应体现“问题情境—建立模型—求解验证”的过程，这样的活动不仅有利于学生理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想、积累活动经验；还有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，增强应用意识和创新意识.

无论是新知识的学习，还是运用所学知识解决有关问题的设计，都要努力体现《课标（2011年版）》提出的“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”的精神要求.

案例3 锐角三角比的建立过程设计.

说明：《课标（2011年版）》对这个概念的教学要求是“利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA）.”而不是从变量和函数的角度去研究他们，所以青岛版教科书把锐角A的正弦、余弦、正切定义为锐角A的三角比，而不是锐角三角函数，这一点与有些版本教科书的提法不一样，我们认为叫锐角三角比更能反映它们的实质，也能较好地体现《课标（2011年版）》的上述要求.

为了让学生有足够的时间和空间充分体验、经历锐角三角比概念的形成过程，我们设计了下面的问题情境： 图3

（1）有一块长2.00m的平滑木板AB，小亮将它的一端B架高1m，另一端A放在平地上（如图3），在木板上分别取点B1，B2，B3，B4，分别量得它们到A点的距离AB1，AB2，AB3，AB4，以及它们距地面的高度B1C2，B2C2，B3C3，B4C4，数据如下表所示：

木板上的点 到A点的距离/m[]距地面的高度/m B1[]1.50[]0.75[BH]B2[]1.20[]0.60[BH]B3[]1.00[]0.50[BH]B4[]0.80[]0.40

利用上述数据，分别计算比值 BC AB ， B1C1 AB1 ， B2C2 AB2 ， B3C3 AB3 ， B4C4 AB4 ，你有什么发现？

（2）如图4，∠A是锐角，在∠A的一边上任意取两个点B，B′，经过这两个点分别向∠A的另一边作垂线，垂足分别为C，C′，由（1）你猜测比值 BC AB 与 B′C′ AB′ 相等吗？能证明你的结论吗？

（3）如果设比值 B′C′ AB′ =k，由（2）你发现当锐角A的大小确定后，k的大小与点B′在AB边上的位置有关吗？

（4）如图5，以A为端点，在锐角A的内部（或外部）作一条射线，在这条射线上取B″，使AB″=AB′，这样又得到了一个锐角B″AC.过B″作B″C″⊥AC，垂足为C″.比值 B″C″ AB″ 与k相等吗？为什么？由此你得到怎样的结论？

设计意图 本节内容是在学习了相似三角形的基础上，探索锐角三角比的意义.为了让学生能充分地参与观察、实验、猜想、证明等一系列的数学活动，发展其合情推理和演绎推理能力，我们选择了这个与生活有关的素材.素材共由四个问题构成.

第一个问题是从学生熟悉的生活情境出发，以“平滑木板”为素材设计的.首先构造定角∠A.然后提出要求：计算五个比值.其根本目的是让学生通过计算发现：当∠A的大小固定后，木板上任意一点距地面的高度与该点到A点的距离的比都等于同一个常数.

第二个是一般化的问题，我们将问题抽象为在任意锐角A的一边上任取两个点，目的是让学生猜测 BC AB = B′C′ AB′ ，并利用相似三角形的性质加以证明.这样的设计对于培养学生的合情推理能力是非常必要的.同时还向学生暗示了：如果放到直角坐标系中来考察的话，这个比便是∠A的终边上任意一点的纵坐标y与这一点到原点的距离r的比值.

第三个问题起着过渡作用，目的是为引出概念降低“台阶”.学生不难发现：对于确定的锐角A来说，比值k与点B′在AB边上的位置无关.

第四个问题的目的是为了让学生认识到比值k与∠A的大小是有关的：这个比值随∠A的确定而确定，与点在∠A的终边上的位置无关.

学生在思考与解答完上述四个问题后，会得到这样的认知：∠A为Rt△ABC中一个确定的锐角，虽然Rt△ABC的大小可以变化，但它们都是相似的，所以∠A的对边与斜边的比值不变，即对于每一个锐角A都有唯一确定的比值与之对应.这个唯一确定的比值就是一个新的知识，这时给出定义的时机已经成熟，于是随之给出∠A的正弦概念.

类似地，给出∠A的余弦和正切的概念，从而给出锐角三角比的概念.

学生在上述问题情境的引导下，就经历了锐角三角比的形成过程，对其理解深刻，记忆永久.这样的设计除能让学生理解数学知识与方法、形成良好的数学思维习惯、增强应用意识、提高解决问题的能力外，还能体会到数学就在身边，感受到数学与现实生活的联系，逐步树立起“生活即数学”的观点.

根据过程性原则的要求，在概念教学设计、解题教学设计、证明题教学设计以及综合实践活动教学设计时，都要根据《课标（2011年版）》提出的“数学教学必须彰显过程的价值”要求，引导学生经历数学知识的发生和形成过程.应当把数学概念的建立过程、运算法则及定律的归纳发现过程、数学命题的探究发现过程、解（证）数学问题时思路的分析过程等充分地“暴露”给学生.实现从“被动的接受”到“主动的建构”的转变.

当然，数学教学设计应遵循的原则还有很多，我们认为以上是三个根本原则.希望老师们加强学习和研究，努力通过教学设计，引发学生的学习兴趣，让学生从整体上把握数学，在经历知识形成过程和应用过程的同时，达到《课标（2011年版）》提出的课程总目标的要求，实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程理念.