结构拓扑优化理论及其在桥梁结构找型中的应用

陈艾荣， 常　成,2， 马如进， 任丽莎

(1.同济大学 土木工程学院，上海 200092; 2. 澳汰尔工程软件(上海)有限公司，上海 200436;3. 同济大学 设计创意学院，上海 200092)



结构拓扑优化理论及其在桥梁结构找型中的应用

陈艾荣1， 常成1,2， 马如进1， 任丽莎3

(1.同济大学 土木工程学院，上海 200092; 2. 澳汰尔工程软件(上海)有限公司，上海 200436;3. 同济大学 设计创意学院，上海 200092)

摘要：从物理模型、数学模型和优化算法三个方面系统阐述了结构拓扑优化的基本原理.通过实例介绍了应用拓扑优化技术进行桥梁结构找型的方法，并展示了拓扑优化中结构衍化过程及优化结果.针对目前结构拓扑优化技术运用在桥梁找型中所面临的困难，探讨了未来研究的方向.研究表明,结构拓扑优化方法可以在桥梁概念设计阶段得出合理而新颖的结构形式，在桥梁找型方面具有良好的应用前景.

关键词：桥梁工程； 拓扑优化； 变密度法； 结构找型

结构的设计目标是以最小的成本来满足使用性能的要求.传统的结构设计中，结构的最初形态主要源自设计师的经验和直觉.虽然在此基础上结构还需要通过进一步的优化与验算来确保其满足各项要求，但结构形态并不会发生太大的变化.在结构设计初期，每一个决定都会对结构在全寿命周期内的性能产生重要而深远的影响[1].传统的基于经验与直觉的设计模式具有很大的偶然性和盲目性，且一定程度上限制了桥梁体系与形式的创新.因此，目前结构设计中迫切需要一种能够在设计初期为设计师提供结构合理初始形态的找型手段，结构拓扑优化技术就是在这样的背景下应运而生.

结构拓扑优化为结构优化的一种，相对于传统的结构优化方法，该方法不需要给定一个初始结构形态，而只需设定结构的空间范围以及荷载与支撑等边界条件，通过结构分析技术与非线性优化算法就能够自行找出设计域内合理的结构形态.因此，结构拓扑优化不仅是一种结构优化技术，更是一种计算机辅助造型技术，可用于结构设计初期进行结构找型.

近20年来，随着计算机技术和有限元技术的成熟，拓扑优化技术得到了飞速发展.各种新的拓扑优化方法被不断提出.Altair公司的OptiStruct[2]和solidThinking、Dassault公司的Tosca以及MSC软件公司的Nastran等许多商用有限元软件都已能实现拓扑优化功能.航空航天、机械制造、微机电制造以及土木工程等多种设计与制造行业中，拓扑优化方法也都得到了越来越广泛的应用.

1物理模型

物理模型是研究拓扑优化问题的基础，为使优化过程中结构的拓扑形式可以发生改变，需要有一种物理模型可以用较少的设计变量来描述设计域内各种可能的拓扑形式.早期的拓扑优化采用杆系模型，通过在设计域内布置大量的节点和杆件以期涵盖设计域内尽可能多的结构形式.但随着均匀化方法的提出，早期的杆系模型逐渐被连续体模型所取代.

1.1均匀化方法

均匀化方法是由Bendsøe和Kikuchi[3]首次提出，采用了具有微结构的复合材料模型.该模型可看作微结构胞元在优化空间内的周期性分布，每个胞元由3个几何参数来描述，然后采用均匀化方法求解不同微结构构成下的结构材料宏观特性，从而得到材料宏观特性与微结构胞元3个几何参数间的函数关系，通过对微观胞元3个几何参数的尺寸优化即可实现宏观结构的拓扑优化.由于具有3个参数，因此可以描述非均匀各向异性材料甚至复合材料.

均匀化方法的物理模型具有严谨的力学理论基础，是目前最完备的拓扑优化物理模型.但该模型中每个胞元需3个变量描述，均匀化材料弹性张量的求解仍非常复杂.因此，均匀化方法目前很少用于宏观结构拓扑优化的求解，而一般仅用于拓扑优化理论分析和复合材料的拓扑优化问题.

1.2变密度法

在实际工程中，大多人工制造材料都可视为各向同性材料，由此可以对均匀化方法中的设计变量进行简化.变密度法的基本思想最早由Bendsøe[4]提出.作为均匀化方法的一项平行研究，该方法引入一种假想的相对密度在0～1之间可变的材料，并通过材料密度插值函数来定义材料的弹性模量与密度之间的关系.优化问题中以各个单元的材料密度作为设计变量，使每个单元的设计变量由均匀化方法中的3个简化为1个.

由于中间密度的材料在实际中很难制造，所以优化结果中的中间密度单元应越少越好.为此，一般在定义材料密度插值函数时需要对单元密度在0～1之间的单元刚度进行惩罚，从而迫使中间密度单元转换为实单元或空单元.许多函数都可以用来描述中间密度单元密度变量和弹性模量之间的关系[5]，这样的函数一般称作材料密度插值函数.实体各向同性材料惩罚密度法(solid isotropic micro-structures with penalization for intermediate densities, SIMP)是目前最为常用的材料密度插值函数，采用幂函数的形式对中间密度单元进行刚度惩罚.

变密度法简化了均匀化方法中的设计变量，并能够较准确地模拟各向同性材料，是目前连续体拓扑优化中最为常用的物理模型.

1.3离散变量法

在变密度法中由于采用了0～1连续变量作为设计变量，所以优化结果中通常将不可避免地出现中间密度单元.离散变量法放弃了连续的设计变量，转而直接采用离散的0/1设计变量.

渐进结构优化法(evolutionary structural optimization, ESO)是离散变量法中最为重要的分支[6-7].早期的渐进结构优化法基于一种简单直观的优化策略，首先使结构材料填满整个优化区域，然后逐步将优化区域内传力效率较差的单元去掉，直到结构的体积达到指定约束.为解决渐进结构优化法单元误删之后难以恢复的问题，双向渐进结构优化法(bi-directional evolutionary structural optimiza-tion, BESO)在删除单元的同时还提供了一种单元再生的机制[8-9].

采用离散设计变量的渐进结构优化方法基于普遍认同的生物进化理论.该方法简单而有效，便于在已有有限元软件基础上进行二次开发，并已被用于多个实际工程设计中.

此外，基于离散变量法的物理模型，也可以采用遗传算法[10]、粒子群算法[11]和蚁穴算法[12]等具有全局搜索能力的智能算法.但目前这些方法尚不成熟，难以用于大型复杂拓扑优化问题的求解.

1.4水平集法

水平集方法(level set method)是国外学者Osher和Sethian[13]提出的一种用于追踪运动边界的数值方法，在图像处理、流体力学等方向有着广泛的应用.Sethian和Wiegmann[14]把水平集方法引入结构优化领域.采用水平集方法求解拓扑优化问题最大的优点在于它可以用一种隐含的方式灵活地描述结构的拓扑变化.所有有关结构拓扑和结构边界的信息都体现在水平集函数之中，在整个结构优化过程之中无需显式地提取出结构的边界.

变密度法源于均匀化方法，而离散变量法可以视为对变密度法的简化.水平集法与其他3种方法截然不同，是从全新的角度去描述优化问题的物理模型.4种物理模型的主要特点如表1所示.

2数学模型

经典结构拓扑优化问题中，通常将结构的柔度(compliance)作为优化的目标，结构材料的体积作为限制.结构柔度以结构应变能的形式表示，通过优化使结构的柔度尽可能小，也就使得结构的刚度尽可能大.结构拓扑优化问题本质上是一个非线性优化问题，其数学模型可写作如下数学表达式[15]：

表1　物理模型比较

KU=F

(1)

式中：f(ρ)和g(ρ)分别为目标函数和约束函数，ρ为单元密度变量ρe所构成的N维向量，N为单元个数；U和F分别为节点位移向量和节点力向量；p为单元密度惩罚因子；ue为单元位移分量；k0为单元密度为1时的单元刚度矩阵;K为总刚度矩阵；V(ρ)为结构材料的总体积；V*为体积限值.由于设计空间内通常被均匀划分为体积为1的单元，所以约束函数中的体积等于单元密度的累加.

目标函数的一阶导数(也称为灵敏度)是优化算法中用于判断单元传力效率的重要参数，其表达式可以由下式导出：

(2)

式中：ke为单元e的单元刚度矩阵.

从式(2)可以看出，目标函数的灵敏度恒为负，这表明在设计空间内任意位置增加单元密度都会导致结构柔度下降.需要注意的是，式(2)成立的条件是荷载在优化过程中不发生变化，当考虑密度相关荷载时,式(2)并不成立[16].

3优化算法

由拓扑优化的数学模型可知，拓扑优化本质上是一种非线性优化问题，因此可以采用数学中经典的非线性优化算法对其进行求解.

3.1优化准则法

优化准则法很早就被用于结构优化设计中[17].在连续体拓扑优化方法建立之后，优化准则法就一直是求解该问题最为常用的优化算法.

优化准则法采用乘法的方式，以目标函数和约束函数的一阶导数(即灵敏度)之商来更新单元密度变量.对于均匀划分网格的优化模型，约束函数梯度相等且一般为1，所以更新后的设计变量取决于目标函数的灵敏度.由于目标函数灵敏度都为负，且绝对值越大表明该单元越有效,所以，当一个单元的目标函数灵敏度小于阙值，则更新后的单元密度增大，反之亦然.由于体积约束函数随变量单调变化，因此可采用对分法(bisection method)来求解阙值，以确保更新后的单元密度变量满足体积约束条件.

3.2移动渐近线法

移动渐近线法(method of moving asymptotes, MMA)是一种数学规划算法，适用于求解拓扑优化这种平滑的非线性优化问题[18].

结构优化问题的目标函数通常为关于设计变量的隐函数，为寻找目标函数的最优值，移动渐进法利用当前设计点的目标函数值和一阶导数值构造一个简单的凸函数，使其在当前设计点上与实际的目标函数一阶近似.这样原优化问题转化为具有显函数的凸优化问题，可采用原始对偶法(primal dual method)求解近似函数上的最优值.

CONLIN(convex linearization method)算法可视为移动渐进法中渐近线固定时的一种特殊情况[19].用该算法对结构拓扑优化问题求解所得出的变量更新方案与优化准则法相同.大量实验表明，该算法对于求解拓扑优化问题十分有效.

MMA类算法的关键是通过近似的简单的凸函数去逼近实际复杂的隐函数，但是当优化问题复杂时，寻找一个稳定且合适的函数去逼近实际结构会变的很难.而通过计算当前设计点处一阶和二阶导数信息来构建近似函数的过程也增大了编程的难度和计算的成本.

3.3梯度投影法

梯度投影法(gradient projection method, GPM)是一种经典的非线性优化算法[20-21].与MMA系列算法不同，该方法不需要对目标函数和约束函数进行近似，而是直接对原优化问题进行最优点搜索.在寻优过程中每个迭代步的关键是如何确定搜索方向和前进步长.

对于无约束优化问题，目标函数的梯度是当前设计点处最“陡峭”的方向，沿该方向的反向前进则目标函数值下降最快.对于有约束的优化问题，梯度投影法采用了“约束的最速下降方向”，即目标函数负梯度在约束平面或约束曲面的切平面上的投影作为设计点的搜索方向.沿梯度投影方向移动后的设计点可能超出可行域，这时需要沿约束函数的梯度(或负梯度)方向对设计点进行纠正，使其返回到约束面上.

结构优化中对于目标函数的一次求值一般意味着一次结构分析.在经典的梯度投影法中步长的确定需要一维搜索来找出最佳的步长，而一维搜索需要进行多次的目标函数求值.所以经典的梯度投影法一般因效率较低而被认为不适于求解结构优化问题[19].为提高梯度投影法的计算效率，Chang等人[16, 22]提出了梯度投影法的改进方案,放弃了经典算法中所采用的通过一维搜索来确定步长的方法，而采用一种动态调整步长的策略.步长不必为最优，只需保证其在一个合理的范围内.合理范围的步长应在优化效率与收敛稳定性之间取得平衡，引起设计变量在一个迭代步中变化过大或过小的步长将在下一个迭代步中得到调整.

3种优化算法中，优化准则法通用性较强，便于在通用有限元软件中进行二次开发，但优化效率较低，一般需要较多迭代次数.移动渐进线法的鲁棒性较强，需要通过目标函数与约束函数的导数信息来构造目标函数与约束函数的近似函数，因此适用于约束条件较少的情况.梯度投影法是一种直接寻优算法，效率较高，但易于陷入局部最优值，需要辅以优化稳定措施.

4结构拓扑优化过程

运用拓扑优化进行结构找型时，首先需要定义设计域的范围，一般采用长方形(或长方体)来限制结构材料可能出现的位置，并将其离散为可用于结构分析的有限元模型.单元应在计算能力允许的条件下尽可能划分得小一些，以便得出精细的优化结果.其次，需要按照实际结构的情况对优化模型施加相应的荷载与约束条件.然后，定义拓扑优化过程中所需的优化参数，包括保留材料的比例、过滤函数半径、收敛准则的阙值等.最后，采用优化算法对该模型进行优化.

结构拓扑优化问题中结构响应与设计变量之间一般是非线性的隐式关系，所以采用非线性优化算法时需要通过多个迭代步对设计变量进行逐步更新，以使其逐渐逼近最优设计.

图1为一座悬索桥桥塔的拓扑优化过程，随着优化的进程，结构材料从均匀分布的混沌状态逐渐向结构的有效传力路径汇聚，最终形成了具有交叉斜撑的桥塔结构方案.

图1桥塔拓扑优化过程

Fig.1Topology optimization process of a bridge tower

5桥梁找型中的应用

桥梁结构是一种在空间内分布较为稀疏的结构，尤为适合采用拓扑优化技术进行结构找型.荣见华等[23]很早就尝试采用渐进结构优化法对桥梁结构进行找型.左孔天[24]利用拓扑优化方法对赵州桥结构形式的合理性进行了分析.陈艾荣等[25-26]将结构拓扑优化作为一种重要的桥梁造型手段，基于拓扑优化结果进行了桥梁整体和局部构件的结构找型.

5.1整体找型

拓扑优化技术在结构整体找型时可以不受已有桥梁结构体系的思维束缚，得出不拘一格的结构形式，因此深受设计师的青睐.

法国RFR设计事务所的设计师Andreas Schnubel[27]在Abu Dhabi的一座人行桥方案设计中采用了拓扑优化技术对桥梁整体进行找型，并基于拓扑优化的结果提出了一种有机态的人形桥设计方案，如图2所示.

该设计方案与传统的桁架结构类似，但又有所不同.一方面，在杆件的整体布置上并未采用标准化的多个相同节段，而是根据全跨不同位置处弯矩与剪力的大小更加有效地确定腹杆的疏密与弦杆的尺寸；另一方面，在杆件的构件设计中并未采用传统的等截面型材，而是在节点处杆件尺寸会有所增加，相邻杆件间以自然的曲面相接.这样的设计无疑会使结构中的传力更加平缓顺畅，进而减小传力路径上节点处的应力集中.

5.2构件找型

限于目前的桥梁制造与施工技术，桥梁整体结构的拓扑找型方案较难实现.因此，对桥梁的构件进找型更加具有实用价值.

Briseghella等[28]将拓扑优化方法用于减轻一座组合梁桥的自重，如图3所示.该桥因建造经费问题而一度停工，再建时却发现原设计方案难以满足新的抗震设计规范.为保留已建成的下部结构，唯有减轻桥梁的上部结构.根据拓扑优化的结果，新的设计中将钢箱梁的翼缘部分进行挖空，从而在保证桥梁承载力与刚度的同时显著降低了上部结构的自重.

abc

图3基于拓扑优化的桥梁减重设计

Fig.3Weight reduction design of a bridge

based on topology optimization

对于一般的等高度简支梁体，限定其方案中对称与重复的形式，并施加单车道的偏载，在限定适当结构材料用量的情况下，则可以得出与传统箱梁相近的结构形式，如图4所示.

图4　箱梁构件的拓扑优化[29]

5.3基于性能的材料找型

各种三维打印技术的兴起，使得制造具有微结构的复合材料变得可能.图5所示，为采用SLM(selective laser melting)技术加工而成的晶格材料.该技术以金属为基材，通过激光融化指定位置的金属来生成三维模型所定义的结构材料.

从细观上来看，结构材料中每一处的的应力状态都是独一无二的.因此，为使每一部分的结构材料都发挥出最大的功效，需要根据各个晶格的受力情况分别设计.这样的设计需求对于传统的设计方式是一项极大的挑战，唯有采用拓扑优化技术才有可能借助于计算机的运算能力得出细观上结构材料的最佳分布方案.

图5　SLM加工而成的晶格材料[30]

图6所示为一块受弯的结构板材，优化过程中限制其重复与对称关系.

图6受弯板拓扑优化[29]

Fig.6Topology optimization of a bending plate

优化结果中每个胞元的底板都形成了一个圆形孔洞，下底板与上顶板之间通过孔洞处的圆筒结构相连.底板与顶板主要承担弯矩，而圆筒结构则用以抵抗剪力.与普通的等厚度板相比，在结构材料用量一定的条件下，结构的刚度得到显著加强.不仅如此，以晶格为设计单元还可以通过拓扑优化得出具有特殊力学性能的各向异性材料.

虽然该技术目前还只适用于小尺寸的材料，但随着拓扑优化技术与三维打印技术的迅猛发展，设计与生产具有微结构的复合材料将会是未来制造业发展的一个重要方向.

6前景展望

在土木工程中，Tang[31]尝试运用拓扑优化技术来分析西班牙建筑师安东尼奥·高迪所设计的圣家族大教堂中“受难立面”(passion façade)的结构形态.通过设置相似的边界条件，拓扑优化最终形成了相似的结构形态，如图7所示.拓扑优化的结果与高迪的设计相互印证，一方面从力学角度说明高迪的结构设计具有优良的力学性能，另一方面从美学角度也表明结构拓扑优化设计符合高迪所推崇的自然形态之美.

图7　圣家族大教堂结构拓扑优化分析[31]

结构拓扑优化在土木工程领域中的应用才刚刚起步，目前仅运用于部分具有复杂形态的建筑结构当中.随着公众审美水平的提升和施工制造技术的发展，未来建筑、桥梁的造型设计都会趋于复杂，因此需要结构拓扑优化技术这种先进的计算机辅助设计手段来帮助设计师高效地得出具有自然形态之美且受力合理的结构形式.为推进拓扑优化方法在桥梁找型中的应用，未来应在以下方面进行深入研究：

(1) 目前成熟的结构拓扑优化算法大多采用基于梯度信息的连续搜索方式，通过使结构逐渐进化从而最终达到最优.但是对于非凸优化问题，可行域内可能存在多个局部最优点，而梯度信息不足以辨别局部最优点和全局最优点.因此，未来需要尝试具有全局搜索能力的智能优化算法.

(2) 实际土木结构常常是钢筋和混凝土两种材料甚至是多种材料的组合.因此，需要研究包含多种材料的结构拓扑优化问题，并根据不同材料的特性制定结构优化的准则.

(3) 影响实际结构最终形态的因素不只是传力效率，还有可制造型、易维护性、美观性等.未来需要研究具有不同性能目标的结构拓扑优化方法，并需要构造包含多个优化目标的总目标函数来综合考量各个性能目标对结构的影响.

(4) 为推广结构拓扑优化技术，需要改进拓扑优化程序，使其具有灵活的模型定义方式，具有对网壳结构和索膜结构这样的空间曲面结构进行找型优化的能力.此外，还需进一步提高程序的计算效率，使其可以计算具有更小网格划分的精细化模型.

(5) 拓扑优化结果中存在的大量空间曲面，也正是这样的形态使得结构内部力流平稳顺畅.对于如此复杂的结构形态，传统的土木工程施工技术难以实现.因此，未来需要研究诸如可用于土木工程的三维打印技术等先进的施工制造技术以及便于加工为复杂形体的新型结构材料.

7结论

拓扑优化不仅是一种优化方法，更是一种找型技术，对于推动结构设计过程与方法的革新具有重要意义.

(1) 拓扑优化依据设定的优化目标与约束，通过优化算法迭代得出结果.结构的力学性能可得到有效保障.

(2) 拓扑优化可以用于结构设计初期的概念设计阶段，从而对最终设计方案的生成产生深远的影响.

(3) 拓扑优化设计不受传统设计经验的束缚，得出的方案可突破设计师的经验与想象.

(4) 未来结构必将向着多样化和轻量化发展.当已有的设计经验无法提供参考时，拓扑优化或将会成为结构设计中必不可少的一环.

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Structural Topology Optimization Theory and Its Application in Form Finding of Bridges

CHEN Airong1, CHANG Cheng1,2, MA Rujin1, REN Lisha3

(1. College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. Altair Engineering Software (Shanghai) Co.,Ltd., Shanghai 200436, China; 3. College of Design and Innovation, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract：First, the physical model, the mathematic model and the algorithm of structural topology optimization was stated. Next, the application of topology optimization in form finding of bridges is elaborated via some examples, and the evolution process and the final layout of structural topology optimization were presented. Finally, some issues of future research were suggested to improve the application of topology optimization in form finding of bridges. The result shows that structural topology optimization can derive a reasonable and heuristic layout in the conceptual design phase, and has a promising prospect in form finding of bridges.

Key words：bridge engineering; topology optimization; density method; form finding of structures

收稿日期：2015-05-27

基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金(20153793)；国家自然科学基金(51508388)

通讯作者：常成(1986—)，男，博士生，主要研究方向为结构优化理论.E-mail: 06chang@tongji.edu.cn

中图分类号：U442.5

文献标志码：A

第一作者： 陈艾荣(1963—)，男，教授，博士生导师，工学博士，主要研究方向为桥梁寿命周期设计理论与方法，桥梁抗风.

E-mail: a.chen@tongji.edu.cn