中职数学概念教学的“生动”课堂因生而“动”——“任意角的概念”教学案例与分析

□浙江省宁波市鄞州区古林职业高级中学　王炳炳



中职数学概念教学的“生动”课堂因生而“动”
——“任意角的概念”教学案例与分析

□浙江省宁波市鄞州区古林职业高级中学王炳炳

【摘要】数学概念教学的引入要注重学生的生活经验与已有知识的联系，教学环节的设计应符合学生的心理需求、认知特征和学习水平，让学生在自然状态下体验、感悟概念学习的概括、抽象过程，从而有效地促进学生学习能力的提升。

【关键词】概念教学任意角三角函数

高教版《数学（基础模块）上册》第五章第一节第一课时是“任意角的概念”。这是对初中所学角的概念的推广，是一节概念课。按传统的教法往往是老师将所有的概念直接呈现出来，让学生记忆，并不关注这节概念课在后续的“三角函数”这一章中的重要作用。过去讲这节课，直接给出任意角的概念，再给出象限角、界限角、终边相同角等概念，让学生记住这些概念，再讲例题和习题加以应用。在课堂上常常是老师一讲到底，学生如同木偶一般任老师摆布，课堂上昏昏欲睡，只把这节课的内容当作任务来完成。笔者对这一节概念课的引入作了认真研究，首先通过生活实例和专业情境的展示，引发学生的认知冲突，然后通过具体的例子，将初中角的概念推广到任意角，在此基础上启发学生终边相同角的集合表示，为第二课时的学习作铺垫，让学生体会到把角推广到任意角的必要性，引出角的概念推广问题。笔者借助于这节课题，对概念教学作了如下探讨，以求教于同行。

一、概念的引入，源于生活情境

师：请同学们回忆初中是如何定义角的？

生1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角。（静态定义）

师：我们以前所学的角中，锐角、直角、钝角、平角、周角，它们的大小分别在什么范围？

生2：锐角是大于0°小于90°；直角是等于90°；钝角是大于90°小于180°；平角是等于180°；周角是等于360°。

师：我们以前所学的角都是在［0°，360°］范围里，那么生活中的角是不是都在这个范围呢？（教师出示钟作为教具）现在是北京时间8点40分，老师手里的时钟才6点40分，请拨动分针调整到正确时间。请思考两个问题：（1）分针在运动过程中是否形成角；（2）若形成角，在旋转过程中转了几度？（请学生通过教具演示后回答）

生3：根据已学的知识，成角的过程是运动的，无法找到两条静止的射线，所成角超过了初中的认知范围［0°，360°］。

师：鉴于初中角的狭隘性，那么有必要将角的概念推广到任意角的范围了。（板书课题）

【评析】这个过程主要通过让学生动手演示观察，激发学生发现问题、解决问题的能力。这样既引出了本课的新知识，又培养了学生探究新知的能力，让每个学生懂得如何去发现问题。

二、概念的形成，体现探究历程

师：角的定义：一条射线由位置OA绕端点O按顺时针（或逆时针）旋转到另一个位置OB的图形。旋转开始位置的射线OA叫做始边；终止位置的射线OB叫做终边；端点O叫做顶点。现在是北京时间8点55分，再次调整时间，观察旋转成角的方向。（请学生通过教具演示，分针按顺时针旋转，不小心将分针拨过了头，抓住错误时机，请问将分针拨回来所成角的方向）

生4：分针拨回来所成角是按逆时针方向旋转而成的。

师：好！同学们观察得非常仔细。那么，这样的区别在我们的身边是否还存在呢？

（搬出事先准备好的仪器，邀请两个学生动手演示，分别拧紧和拧松螺丝，并要求其他学生观察）

【评析】此过程与学生专业实践紧密结合，不但操作学生可以非常轻松地完成拧螺丝的任务，而且台下学生也能很快理解该过程，达到预定效果，使学生亲身体验正负角的差异性，同时有效地调动了课堂气氛。

师：不同的旋转方向，大小相同的角是否相同呢？

生5：因为方向不同，所以角也不相同。

师生共同讨论，得出正、负、零角的定义：按逆时针方向旋转所成的角，叫做正角；按顺时针方向旋转所成的角，叫做负角；当射线没作任何旋转所成的角，叫做零角。用角的顶点或顶点与边的字母表示角，记作“∠O”或“∠AOB”，也用小写希腊字母α、β、γ…来表示角。

师：我们知道了任意角的概念，理解了正、负、零角，那么该如何来研究它呢？

生6：通过平面直角坐标系。

师：非常好！上一章我们学习了函数，知道函数的图象都是通过平面直角坐标系来研究的，那么角也将利用这个工具来研究。

师生共同讨论，得出象限角的概念：将角的顶点和坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或说这个角在第几象限）。（教师强调判断象限角中需注意两重一看）

师：下面做一道习题，考察同学们掌握的情况。如图，判断角的正负及第几象限角？

【评析】前面一气呵成完成了三个知识点，学生容易产生一定的疲劳。所以，界限角的推出是通过一道例题来完成。这样的目的是在检验学生前面知识点的同时，让学生在例题中发现问题、解决问题，从而自然过渡到界限角，整个过程强调了学生的主动积极性，流畅有效。

三、概念的理解，引发课堂竞技

把班级学生分成A、B两队，设置队长，进行课堂竞技，并评选出本节课的最佳团队。

师：同学们一定都看过东方卫视的《头脑风暴》节目，老师也为大家设计了知识竞技场，共分3个环节。第一环节，基础知识必答，每组派3人参加，回答3道基础题；第二环节，限时知识抢答，具有一定的难度，检验学生应变能力及思维的灵活性；第三环节，动态创新课堂，请每队派一个代表来完成一项任务，先小组讨论，然后用肢体语言（可借助其他工具）表达给出的各角。

【评析】课堂竞技是本节课强调的一个核心环节，这里引入了东方卫视的《头脑风暴》栏目，目的有三：（1）激发学生兴趣，使学生能有效融入课堂；（2）突出学生的动手能力，强化数学与实践的有机结合，改变教条的数学学习模式；（3）培养学生团队精神与合作意识，加强职业素养。

四、概念的应用，回归习题演练

师：子曰：学而时习之，不亦说乎。通过前面的学习和训练，同学们已经掌握了本堂课的核心知识点，下面将通过习题来巩固本节课所学。（习题分为选择、填空和黑板演示题，学生独立完成练习，教师巡视指导，具体过程略）

【评析】习题巩固的目的非常明确，分两个层次：（1）让学生自我检查，查漏补缺；（2）通过教师巡查和学生黑板演示，使教师了解本节课教学效果。

五、概念的延伸，凸显思维拓展

师：子曰：学而不思则罔，思而不学则殆。如图，红色线为某角的终边，请问是第几象限角，若为第一象限角平分线，再问该角几度？（请学生小组讨论）

生7：（1）第一象限的角；（2）虽然可知终边是第一象限的角平分线，但以旋转成角的性质，无法确定是逆或顺时针，也无法确定旋转了几圈，所以该角无法确定。

师：非常好，这就是我们下节课要学习的“终边相同的角”，请同学做好课后的预习。

【评析】本环节思维拓展主要是以学生讨论的形式初步了解终边相同的角。此过程可以总结本堂课的基础知识点，也能够拓宽学生思维，为下节课的学习埋下伏笔。

六、概念教学反思，感悟课堂真谛

1.让学生感觉概念引入，起点自然。概念不是凭空产生的想象物，数学基础性的概念一般都具有丰富的现实原型，这些现实原型需要用数学概念来描述与刻画。而准确形象的刻画，不仅是数学本身的需要，也是学生学习数学的心理需求。在概念引入的教学中，学生的心理需求越迫切，概念引入的效果就越好。在本案例中，以时钟为教具，从调整时间的生活情境引入，让学生马上发现角的大小有超过360°的及旋转方向的不同，自然引发出角的概念推广的必要性。这样的探究显得朴素自然，让学生在直观的动手演示中，体现了生活现象与数学知识结合的自然，获取的是学生心理逻辑的自然，为学生的学习创设了欲知不得、欲罢不忍的学习情境，激发了学生的探究积极性。

2.让学生感知概念形成，过程自然。概括是数学概念形成的重要过程。在这个过程中，要从现有情境问题中概括出本质特征，并把本质特征用精确的数学语言加以描述，教学设计必须为学生概括数学概念做好铺垫。如从螺丝拧紧和拧松的过程中，概括出正、负、零角的定义，又借助平面直角坐标系这一工具，研究概括了象限角和界限角的概念。在这些概念的形成过程中，由于教者为学生精心设计台阶，搭建思维的脚手架，使得学生结合专业实际参与概括才有可能。当然，学生的概括或许不到位、不精确。此时，师生可以一起讨论，共同修正。在概括过程中，教师不能急于求成，更不能成为学生的代劳者，要倾听学生的心声。教师的引导不能过于直白，要留一点机会给学生，以求概括过程的真实自然。这样的形成过程，体现了认知逻辑的顺序自然。在这个过程中，学生获取的是循序渐进概括的机会，实实在在经历着任意角概念的形成过程，感受着“上坡不见坡”的心理愉悦，提升了概括水平和归纳能力。

3.让学生感受概念理解，生动自然。概念表述的严谨是数学学科的特点之一。为了让学生充分动起来，理解任意角的概念，设置了课堂竞技和练习巩固，让学生在动口、动手、动脑的课堂氛围中正确理解数学概念，这既需要正例的巩固，也需要反例的净化。在概念理解的过程中运用恰当的正例可以让学生剔除概念的非本质属性，把握其本质属性，概括形成概念；同时，通过反例可以让学生换一个角度剔除概念的非本质属性，不仅可以弥补正例教学的不足，而且可以提升学生的思辨能力，从而获取对数学概念的本质理解。

4.让学生感悟概念学习，朴素自然。朴素的才是自然的，真实的才是永恒的。满足学生心理需求和符合学生认知规律与思想水平的教学，才是合情合理的，有生命力的。设计这样的教学过程，才是真情的数学活动过程。心理学研究表明：知识不是老师教会的，而是学生通过接受老师传递的信息自己领悟的。由此可见，教会学生学习比单纯传授知识更重要。因此，在概念教学的设计过程中要把实验与观察、类比与比较、分析与综合、具体与抽象、一般与特殊、猜想与辨析等思维活动真切地还给学生，让学生体验概念学习就是把一些特定的数学对象通过去粗取精、去伪存真的思维加工，通过“朴素直观”到“精致抽象”的过程，让学生感悟到概念学习的理解过程自然，方法成于自然，应用回归自然，思路来得自然。只有这样，概念教学活动的过程才会因学生的主动参与和勇于探索而显得真实自然。

总之，在概念课的教学中，要合理有效地选择教学手段和教学方法，要实现课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变，以教师提出问题、学生探究解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。这也体现了当今职业教育所倡导的“为学生的专业发展和终身发展服务”的教育理念。

【参考文献】

［1］涂荣豹.数学教学认识论［M］.南京：南京师范大学出版社，2003.

［2］程新展.数学概念教学的十种常用策略［J］.中国数学教育（高中版），2010（4）：13-14.