营造“动感地带”，激活学生发散性思维<br/>——一道九年级数学竞赛题的解题教学与反思

营造“动感地带”，激活学生发散性思维
——一道九年级数学竞赛题的解题教学与反思

2016-06-16浙江省宁波市鄞州区集士港镇中学许科挺

新教育 2016年6期

□浙江省宁波市鄞州区集士港镇中学　许科挺

营造“动感地带”，激活学生发散性思维
——一道九年级数学竞赛题的解题教学与反思

□浙江省宁波市鄞州区集士港镇中学许科挺

现在的解题教学，大多数还是以教师讲解为主，以总结概念、精讲例题来完成，这样的演绎体系存在种种弊端，如：（1）缺少调动学生情绪及进入学习角色的兴奋点，不利于学生学习兴趣的激发和求知欲望的发生和发展；（2）限制了部分学生的表现欲和成就感，不利于学生的人格发展和个性发展；（3）缺少小组合作，不利于全班团结合作能力的培养和智能水平的发展。那么，如何克服上述弊端呢？

教育家叶圣陶先生曾经说过：“教材只能作为教课的依据，而教得好，使学生得益，还得靠老师的善于运用。”这句话告诉我们，教学材料仅仅只是提供了最基本的教育资源，但并不是唯一的资源。数学教学应该是数学“思维活动”的教学，必须作为“思维过程”来进行。

下面就一道九年级竞赛题的解决，在探索与实践中让学生发散思维，从中积累数学经验，感悟数学思想方法。

一、案例呈现（发现问题，由“点”到“线”）

问题：如图1，已知五边形ABCDE中，AB∥ED，∠A= ∠B=900，则可以将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线有_____条，满足条件的直线可以怎样去确定：_____

让学生独立尝试几分钟后，我们就可以从学生的角度开始分析——

生1：可以将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线有1条，满足条件的直线可以这样去确定：如图2，延长BC、ED交于点F，将原五边形补成一个矩形，取该矩形的重心G，记△CDF的重心为H，直线GH即为所求。

复习基本图形的重心，提问：你知道哪些基本图形的重心？（学生开始讨论……）

生：线段的重心是该线段的中点，三角形的重心是该三角形三条中线的交点，平行四边形的重心是该平行四边形两条对角线的交点，梯形的重心是上下底中点连线与中位线的交点。

师反问：如图3，点G是△ABC的重心，过点G的任意一条直线都能将△ABC的面积平分吗？

（学生开始思考……过了一会儿）生2举手回答：不一定，如图4，过点G作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，∵点G是△ABC的重心

∴直线MN过点G，但不能将△ABC的面积平分。

师小结：同学们，对于有些结论，我们可以用特例来检验一下，比较直观。

师：同学们也可以发现，生1找到的直线GH是不一定能将五边形面积平分的。

我的意图是，给出生1的解答，让其他学生通过熟悉的知识找到生1解答中的问题所在，便于调动学生的积极性，同时也为后面的知识应用做铺垫。

师：同学们，我们发现：过三角形的重心，画一直线未必将三角形面积平分。那么，特殊四边形当中，是否也是如此呢？

生2马上有了答案：过矩形、菱形、正方形、梯形的重心，画一直线必将三角形面积平分。

老师投去了赞许的目光，其他学生也纷纷表示赞同。

师（趁热打铁）：接下来，同学们对于原问题的解决有没有其他的点子呢？

生3（带着疑问）：老师，能不能将五边形分割成一个矩形和一个直角梯形？

如图5，过C作AB的平行线CF，交AE于F，该五边形分割成一个矩形和一个直角梯形。

师：你讲得很好，请继续。

生3：我先画一条直线将直角梯形CDEF的面积平分。如图6，①取直角梯形CDEF的中位线GH，②取中位线GH的中点P，③过中点作一条直线与直角梯形两底边ED、FC分别交与M、N，直线MN即为所求。

师（追问）：将直角梯形CDEF面积平分的直线有_____条呢？

生3：噢（好像突然有了灵感），可以将直角梯形CDEF面积平分的直线有无数条（非常高兴的）。

师：那么可以将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线有_____条，满足条件的直线可以怎这样去确定呢？

生3（有点请教老师的意思）：可以将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线……（停顿了一下）好像只有1条，满足条件的直线可以这样去确定：如图7，过C作AB的平行线CF，该五边形分割成一个矩形和一个直角梯形，记矩形的重心为K，取直角梯形中位线GH，线段GH中点为J，直线JK即为所求。

师：生4好像有话要说，请（加了语气）。

生4迫不及待地说：可以将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线有无数条，满足条件的直线可以这样去确定：如图8，过C作AB的平行线CF，该五边形分割成一个矩形和一个直角梯形，记矩形的重心为K，取直角梯形中位线GH，线段GH中点为J，直线JK即为所求直线之一。设直线JK 与DE、AB分别交于M、N，取线段MN中点O，过点O且与DE，AB分别相交的直线均可将五边形面积平分。

笔者惊叹于生4的完美解答。我的想法是，没有预设，就没有教学；没有生成，就没有精彩！在解决问题中，我们既要让学生学会，更要让学生会学、乐学，一些解题的方法与策略需要教师在平时的教学中逐步渗透。一位好的教师会不断探索与实践，博采众长，独辟蹊径，运用全新的数学观念、创造性的思维方式、风趣幽默的教学语言，让学生在尽情领略数学“大自然”的美妙风光、亲身经历探求数学宝藏的发现活动中，思维能力悄然快速地提高。

而后，笔者让生5自行归纳解决本题过程中用到的知识点，重点强调了“等积变形”在此题的运用。

二、问题延伸（基于学生“最近发展区”的问题解决，由“线”牵动“面”）

心理学研究表明：学生对处于自己“最近发展区”的知识最感兴趣，对掌握主动权的学习最有积极性。于是在解决问题后，笔者将学生分成四大组，以组为单位让学生自行查阅资料，找到了相关的几道题。笔者摘录了其中三道题目。

⒈如图9所示，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图10所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图10中折线CDE）还保留着。张大爷想过点E修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多。请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路和直路的占地面积），要求说明方案设计理由，并画出相应的图形。