积分上限函数的求导及应用

摘 要：本文介绍了积分上限函数的概念、性质，求导数的方法。

关键词：积分上限函数;连续函数;可导

课堂教学是教学各个环节中最重要的一环，它是给学生传授知识的重要手段之一。课堂教学的目的，不仅在于给学生讲清书本上的内容，更重要的是培养学生分析问题、解决问题的能力。因此，我们必须在深刻理解、钻研教材的基础上，全局考虑，根据认识规律去组织教材，提出问题，逐步分析和解决问题，从而培养提高学生的思维能力。下面就自己在积分上限函数教学中的一点体会作一介绍。

积分上限函数的概念、性质，不仅是微积分学基本理论（Newten—Leibniz公式）的证明工具，也是学习概率数理统计的基础。然而，学生对这一部分内容却感到十分棘手，难以理解和掌握。为了使这一较难的问题能轻松愉快地解决，在讲授这部分内容时，首先自己讲授书本内容，然后引导学生思考，从而将问题转化，最后总结出易理解和掌握的结果。

积分上限的函数，我们主要讲清其概念及性质。x∈[a，b]

定义：设函数f（x）在区间[a，b]上连续，对于任意的，f（x）在区间[a，x]上也连续。所以函数f（x）在[a，x]上也可积。定积分f（t）dt的值依赖上限x，因此它是定义在[a，b]上的x的函数，记

φ（x）=f（t）dt，  x∈[a，b]

则φ（x）=f（t）dt称为积分上限的函数。

由上述定义知x∈[a，b]，且对于任意一个x，都有一个确定的

f（t）dt与之对应，故f（t）dt是上限的一个函数，记作φ（x），即

φ（x）=f（t）dt    x∈[a，b]

对于函数φ（x），学生们往往弄不清t的变化范围，课堂上借助几何图形（图1）说明并标明变量x、t的取值范围（图2），这样就较易了解掌握了。

图1

图2

函数φ（x）具有下列重要性质：

定理1：设函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限的函数

φ（x）=f（t）dt

在区间[a，b]上可导，并且它对上限的导数就等于被积函数在上限处的值，即

φ′（x）=f（t）dt=f（x）

或dφ（x）=f（x）dx

为给出此定理的证明，首先应引导学生将问题转化，即=f（x），实际上原问题有两部分，一是“存在性”;二是“导数值”。同时应当复习“导数定义”，“积分中值定理”等，做完这些准备工作之后再给予证明。

证明：易知φ（x+Δx）=f（t）dt于是根据导数的定义

φ′（x）=

而：=[f（t）dt-f（t）dt]

=f（t）dt

由积分中值定理知道，在x与x+Δx之间必存在一点，使

f（t）dt=f（ξ）Δx

于是 =f（ξ）

对上式两端取极限Δx→0，于是x+Δx→x，由于ξ在x与x+Δx之间所以这时必定ξ→x，再由f（x）是连续的，从而有

=f（ξ）=f（ξ）=f（x）

由导数的定义便有φ′（x）=f（t）dt=f（x）

这一定理建立了导数与积分之间的联系。同时也告诉我们“任何连续函数都有原函数”。

定理的证明过程学生是容易理解的。然而在定理的应用上，学生却感到困难。如学生对dt能求出dt=，而对x>0时φ（x）=dt就不是那么容易求出

φ′（x）来。课堂上，引导学生认真研读定理1的条件与结论，特别注意理解“对上限的导数就等于被积函数在上限处的值”。于是学生受到启发把φ′（x）dt中的dx换成d，要使等式成立，则必须乘以，于是由定理1得

φ′（x）=·dt=  （x>0）

积分上限的函数的求导能求出了，那么如果函数出现在下限时应该如何处理呢？运用定积分的性质交换定积分的上下限时，定积分的绝对值不变而符号相反，即φ（x）=f（t）dt=-f（t）dt，然后再运用定理即可求出导数。

通过上面的求解，继续提问学生：“能否将定理1的结论更一般化地推广？”经过启发和引导，学生回答说“能”，这时抽问学生，说出他们各自的推广想法，最后总结得：

定理2：設f（x）在区间[a，b]上连续，函数u（x），v（x）是区间[a，b]上的可导函数;则φ（x）=f（t）dt在区间[a，b]上可导，并且

φ′（x）=f（x）dx=f（t）dt-f（t）dt

=u′（x）f（t）dt-v′（x）f（t）dt

=u′（x）·f [u（x）]-v′（x）f [v（x）]

可以看出定理1是定理2的u（x）=x、v（x）=a的特殊情形，了解掌握了定理2，对于较复杂的积分上限的函数的求导问题就能非常方便地解决。下面举几个应用定理的例子：

例1 求cos（π·t2）dt

解：由定理2有

cos（π·t2）dt=cos（πcos2x）（cosx）′-cos（πsin2x）（sinx）′

=-sinx·cos[π（1-sin2x）]-cosx·cos（πsin2x）

=sinx·cos（πsin2x）-cosx·cos（πsin2x）

=（sinx-cosx）·cos（πsin2x）

例2 在区域x>0求函数y=dt的极值点

解：由定理2知y′=·2x=2sinx

设y′=0?x=nπ   （n=1，2…）

故所求极值点为xi=iπ  （i=1，2，3…）。

例3 求极限

解：易知这是一个“”型的未定型，我们利用洛必达法则来计算，分子可写成-e-t2dt。

它是以cosx为上限的积分，作为x的函数可看成是以u=cosx为中间变量的复合函数，故由公式有

e-t2dt=-e-t2dt=-e-t2dt|u=cosx·（cosx）′

=-e-cos2x·（-sinx）

=sinx·e-cos2x

因此==

布置三个作业题练习一下，掌握解题方法：

1.φ（x）=e2tsintdt。

2.φ（x）=tedt。

3.φ（x）=（1-t2）dt。

4.求极限。

参考文献：

[1]顾静相主编.经济数学基础[M].高等教育出版社.

[2]同济大学数学系编.高等数学[M].高等教育出版社.

作者简介：

贺建平（1964-），女，副教授，研究方向：数学教育。