活用二项式定理妙解题

华瑞芬

二项式定理表达式为：[（a+b）n=C0nan+C1nan-1b+C2n][an-2b2+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn（n∈N）.] 要深入理解二项式定理，应注意以下几点：（1）二项式中，[a]是第一项，[b]是第二项，顺序不能改变；（2）展开式中有[n+1]项（比指数多1）；（3）[C0n]，[C1n]，[C2n]，…，[Crn]，…，[Cnn]是二项式系数；（4）[a]的指数是降幂，[b]的指数是升幂，两者指数和为[n]；（5）二项式[（a-b）n]化为[[a+（-b）]n]展开时，一定要注意各项的符号规律；（6）二项式定理具有可逆性.

求特定项

例1 已知[（1+3x）n]的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.

解析 依题意有[Cn-2n+Cn-1n+Cnn=121，]整理得，[n2+n-240=0]，则[n=15].

[Tr+1=Cr15（3x）r=Cr153rxr].

设[Tr+1]与[Tr]项的系数分别为[tr+1]与[tr]，[tr+1=Cr153r，][tr=Cr-1153r-1.]

令[tr+1tr>1]，即[Cr153rCr-1153r-1=3r（15-r+1）>1]，解之得，[r<12.] 即当[r]取小于12的自然数时，都有[tr又当[r=12]时，[tr=tr+1，]即[t12=t13，]则展开式中系数最大的项是：[T12=C1115311x11，][T12=C1215312x12.]

[∵n=15，]所以二项式系数最大的项是第8项和第9项，即[T8=C71537x7，][T9=C81538x8.]

点拨 （1）二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，[n]为奇数时，中间两项的二项式系数最大；[n]为偶数时，中间一项的二项式系数最大. （2）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况判断，一般采用列不等式、解不等式的方法求解.

进行近似计算

例2 求1.056的近似值，使结果精确到0.01.

解析 1.056=（1+0.05）6=1+6×0.05+15×0.052+20×0.052+…=1+0.3+0.0375+0.0025+…，

其中[T4=0.0025<0.01，]可不必取了.

∴1.056≈1+0.3+0.0375≈1.34.

点拨 将看上去很复杂的求值问题巧妙地转化为二项式定理问题，简单、快捷地求出结果.

证明整除和求余数问题

例3 求9192除以100的所得是余数.

解析 ∵9192=（100-9）92 =10092 -[C192]10091×9+[C292]10090×92 - … -[C9192]×100×991+992，

∴要求9192被100除所得的余数，只要求992被100除所得余数即可.

∵992=（10-1）92=1092 -[C192]×1091+[C292]×1090 -…+ [C9092]×102 -[C9192]×10+（-1）92.

由于1092 -[C192]×1091 +[C292]×1090 -…+[C9092]×102 能被100整除，

∴只要求-[C9192]×10+（-1）92 =-920+1=-919=-1000+ 81被100整除所得的余数即可，显而易见所得余数为81.

例4 证明[2n+2?3n+5n-4]能被25整除.

证明 [2n+2?3n+5n-4=4（1+5）n+5n-4]

[=4（1+C1n?5+C2n?52+…+5n）+5n-4]

[=4（C2n?52+C3n?53+…+5n）+4C1n?5][+5n]

[=4（C2n?52+C3n?53+…+5n）+25n].

以上各项均为25的整数倍，故原命题成立.

点拨 用二项式定理证明整除及求余数问题时，一般采用“配凑法”“消去法”将被除式变为有关除式的二项式形式来展开，再结合整除的有关知识来解决. 求余数时，剩余部分是负数时要进行转换.

求系数和

例5 [（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n]的展开式中各项系数的和是（ ）

A. [2n+1-2] B. [2n+1-1]

C. [2n+1] D. [2n+1+1]

解析 令[x=1，]得[2+22+…+2n=2n+1-2.]

答案 A

例6 若[（1+x+x2）6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12，]则[a0+a2+a4+…+a12=] .

解析 令[x=1，]得[a0+a1+a2+…+a12=36].

令[x=-1，]得[a0-a1+a2-…+a12=1.]

两式相加，得[a0+a2+a4++…+a12=][12（36+1）=365.]

答案 365

例7 如果1+2[C1n]+22[C2n]+…+[2nCnn]=2187，求[C1n]+[C2n]+[C3n]+…+[Cnn]的值.

解析 要求式子的值，需先求[n]的值，运用二项式定理，考虑已知等式左端可化简，得关于[n]的式子，可求[n].

∵1+2[C1n]+22[C2n]+…+[2nCnn]=[C0n?20+][C1n?]2+[C2n?]22+…+[Cnn?2n=（1+2）n=3n]，

∴[3n=2187.]

∴[n=7.]

∴[C1n]+[C2n]+[C3n]+…+[Cnn]

=（[C0n]+[C1n]+[C2n]+[C3n]+…+[Cnn）-C0n]

[=2n-C0n=2n-1=27-1=128-1=127.]

证明组合数恒等式

例8 求证：[（C0n）2+（C1n）2+（C2n）2+…+（Cnn）2=（2n ） ！n ！n ！].

证明 设[f（x）=（1+x）2n]，则[（1+x）2n=（1+x）n（1+x）n].

左边含[xn]项的系数为[Cn2n=（2n）！n ！n ！]，

右边=[（C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn）（C0n+C1nx+C2nx2+][…+Cnnxn），]展开式中含[xn]的项系数为：

[C0nCnn+C1nCn-1n+C2nCn-2n+…+CnnC0n]

[=（C0n）2+（C1n）2+（C2n）2+…+（Cnn）2].

∴[（C0n）2+（C1n）2+（C2n）2+…+（Cnn）2=（2n） ！n ！n ！].

例9 求证：[C0n-][C2n]+[C4n-][C6n]+…=[2ncosnπ4]；[C1n-][C3n]+[C5n-][C7n]+…=[2n]sin[nπ4].

证明 在二项式定理[（a+b）n=][C0nan+][C1nan-1b+…+] [Crnan-rbr]+…+[Cnnbn]中，令[a=1，b=i，]则有[（1+i）n=][（C0n-C2n+C4n-C6n+…）+i（C1n-C3n+C5n-C7n+…）]①.

另外，把[1+i]化为三角式，应用棣莫弗定理有，[（1+i）n=[2（cosπ4+isinπ4）]n=2n（cosnπ4+isinnπ4）]②.

由①②得，根据复数相等的定义可得，[C0n-][C2n]+[C4n-][C6n]+…=[2ncosnπ4；][C1n-][C3n]+[C5n-][C7n]+…=[2n]sin[nπ4.]

点拨 组合数恒等式这类命题，都与二项式展开式有关. 因此二项式定理是证明组合数恒等式的重要方法.

证明不等式

例10 设[a，b]是两个不相等的正数，[m]是大于1的自然数，求证：[am+bm2>（a+b2）m].

证明 设[a+b=2S，a-b=2d，]

则[a=S+d，b=S-d.]

故[am=（S+d）m=Sm+][C1mSm-1d+C2mSm-2d2+…+Cmmdm，]

[bm=（S-d）m=Sm-C1mSm-1d+C2mSm-2d2+…+（-1）mCmmdm.]

故[am+bm=2（Sm+C2mSm-2d2+C4mdm-4d4+…）>2Sm，]

即[am+bm2>（a+b2）m].

点拨 证明不等式的方法是多种多样的，灵活地运用二项式定理，使得不等式的证明既简捷又快速，不失为一种证明不等式的好方法.