高考新亮点

王勇

纵观近几年高考试题，几何概型问题频频出现，这类问题新颖别致，构思精妙，极富思考性和挑战性. 几何概型的概率求解一般分三步：（1）判断试验是否为几何概型；（2）将试验构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量（如长度、面积、体积或角度）；（3）应用几何概型的概率公式求概率. 下面结合实例分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

与长度有关的几何概型

例1 在区间[0，5]上随机地选择一个数[p]，则方程[x2+2px+3p-2=0]有两个负根的概率为 .

解析 先根据方程有两个负根求得[p]的取值范围，然后利用几何概型的概率计算公式求出概率.

[∵方程x2+2px+3p-2=0]有两个负根[x1，x2，]

[∴Δ=4p2-43p-2≥0，x1+x2=-2p<0，x1x2=3p-2>0，]

又[0≤p≤5]，解得[23故由几何概型的概率计算公式得，

[P=1-23+5-25-0=23.]

点拨 本题考查一元二次方程根的分布和几何概型. 根据一元二次方程根的分布情况建立不等式组求[p]的取值范围，考查了逻辑思维能力与运算求解能力. 将一元二次方程根的分布与概率相结合，体现了化归意识在解题中的应用.

例2 平面上画了一组彼此平行且相距[2a]的平行线. 把一枚半径[r

解析 结合线性规划，利用几何概型求解. 设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为[x，y，x，y]可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为[D=x，y0≤x≤4，0≤y≤4，]如图所示，这是个正方形区域.

事件[A]表示“它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒”，所构成的区域为[d=][x，y0≤x≤4，0≤y≤4，x-y≤2，]即图中的阴影部分.

由几何概型的概率计算公式得，

[PA=SdSD=42-2×12×2×242=34.]

答案 C

点拨 本题考查简单的线性规划和几何概型的应用. 将实际问题转化为线性规划和几何概型问题求解，考查了转化与化归思想、创新应用意识.

与体积有关的几何概型

例7 如图，在长方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[E，H]分别是棱[A1B1，D1C1]上的点（点[E与B1]不重合），且[EH∥A1D1]，过[EH]的平面与棱[BB1，CC1]相交，交点分别为[F，G.]设[AB=2AA1=2a.]在长方体[ABCD-A1B1C1D1]内随机选取一点，记该点取自于几何体[A1ABFE-D1DCGH]内的概率为[P]，当点[E，F]分别在棱[A1B1，BB1]上运动且满足[EF=a]时，则[P]的最小值为（ ）

A.[1116] B.[34] C.[1316] D.[78]

解析 设[BC=b]，则长方体[ABCD-A1B1C1D1]的体积为[V=AB?AD?AA1=2a2b]，几何体[EB1F-HC1G]的体积为[V1=12EB1?B1F?B1C1=b2EB1?B1F.]

[∵EB21+B1F2=a2]，

[∴EB1?B1F≤EB21+B1F22=a22，]当且仅当[EB1=B1F][=22a]时等号成立，从而[V1≤a2b4.]

故[P=1-V1V≥1-a2b42a2b=78，]当且仅当[EB1=B1F=][22a]时等号成立.

所以[P]的最小值等于[78].

答案 D

点拨 本题由2010年福建省高考题改编而成，考查立体几何的有关知识、几何概型、基本不等式的应用等. 考查空间想象能力和“正难则反”的思想方法.

例8 已知正三棱锥[S-ABC]的底面边长为[a]，高为[h]，在正三棱锥内取点[M]，则点[M]到底面的距离小于[h2]的概率为 .

解析 如图，分别取[SA，SB，SC]的中点[A1，B1，C1]，分别连接[A1B1，B1C1，C1A1]，则当点[M]位于平面[ABC]和平面[A1B1C1]之间时，点[M]到底面的距离小于[h2].

设[△ABC]的面积为[S]，由[△A1B1C1～△ABC]且相似比为[12]得，[△A1B1C1]的面积为[S4.]

由题意易知，区域[D]（三棱锥[S-ABC]）的体积为[13Sh，]

区域[d]（三棱台[A1B1C1-ABC]）的体积为[13Sh-13?S4?h2=][724Sh.]

记“点[M]到底面的距离小于[h2]”为事件[A]，根据几何概型的概率计算公式得，[PA=VdVD=78.]

答案 [78]

点拨 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，那么就要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出构成事件[A]的区域体积及试验的全部结果构成的区域体积，再根据几何概型的概率计算公式计算即可.

与角度有关的几何概型

例9 在圆心角为[90°]的扇形中，以圆心[O]为起点作射线[OC]，则使得[∠AOC和∠BOC]都不小于[30°]的概率为 .

解析 如图所示，记事件[F]为“作射线[OC，]使[∠AOC和∠BOC]都不小于[30°]”，作射线[OD，OE，]使得[∠AOD=30°，∠AOE=60°.]当[OC在∠DOE]内（包括[OD，OE]）时，使得[∠AOC和∠BOC]都不小于[30°]，故[PF=∠DOE∠AOB=30°90°=13.]

点拨 当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段. 作射线[OD，OE]，使得[∠AOD=30°，∠AOE=60°]是求解本题的关键.