随机事件的概率

程玲

随机事件的频率与概率

例1 某企业生产的乒乓球被下届奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：

（1）计算表中乒乓球优等品的频率；

（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少（结果保留到小数点后三位）？

解析 （1）依据公式[f=mn]，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.

（2）由（1）知，抽取的球数[n]不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.

变式1 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

（2）在样本车辆中，车主是新司机的占[10%]，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占[20%]，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.

解析 （1）设[A]表示事件“赔付金额为3000”元，[B]表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得：[P（A）=1501000=0.15]，[P（B）=1201000=0.12]. 由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以概率为[P（A）+P（B）=0.27].

（2）设[C]表示事件“投保车辆新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为0.24，由频率估计概率得，[P（C）=0.24].

点拨 频率是个不确定的数，可以在一定程度上反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小. 但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率.

随机事件的关系

例2 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6. 将这个玩具向上抛掷1次，设事件[A]表示向上的一面出现奇数点，事件[B]表示向上的一面出现的点数不超过3，事件[C]表示向上的一面出现的点数不小于4，则（ ）

A. [A]与[B]是互斥而非对立事件

B. [A]与[B]是对立事件

C. [B]与[C]是互斥而非对立事件

D. [B]与[C]是对立事件

解析 根据互斥与对立的定义作答，[A?B=][出现点数1或3，]事件[A，B]不互斥更不对立. [B?C][=?，][B?C=Ω]（[Ω]为必然事件），故事件[B，C]是对立事件.

答案 D

变式2 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹. 设[A={两次都击中飞机}，][B={两次都没击中飞机}，][C={恰有一次击中飞机}，][D={至少有一次击中飞机}，]其中彼此互斥的事件是 ，互为对立事件的是 .

答案 [A与B，A与C，B与C，B与D B与D]

点拨 对于互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件. 这些可以类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而判定所给事件的关系.

互斥事件、对立事件的概率

例3 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：

求：（1）至多2人排队等候的概率是多少？

（2）至少3人排队等候的概率是多少？

解析 记“无人排队等候”为事件[A，]“1人排队等候”为事件[B，]“2人排队等候”为事件[C，]“3人排队等候”为事件[D，]“4人排队等候”为事件[E，]“5人及5人以上排队等候”为事件[F，]则事件[A，B，C，D，E，F]彼此互斥.

（1）记“至多2人排队等候”为事件[G，]

则[G=A+B][+C，]

所以[P（G）=P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）]

[=0.1+0.16+0.3=0.56].

（2）法一：记“至多3人排队等候”为事件[H，]

则[H=D+E+F，]

所以[P（H）=P（D+E+F）=P（D）+P（E）+P（F）=0.44.]

法二：记“至多3人排队等候”为事件[H，]则其对立事件是[G，]

所以[P（H）=1-P（G）=0.44].

变式3 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门. 首次到达此门，系统会随机为你打开一个通道. 1号通道需要1小时走出迷宫，2，3号则分别需要2，3个小时返回智能门. 再次来到智能门时，系统会随机打开一个未到过的通道，直至走出迷宫为止.

求：（1）求走出迷宫时恰好用了1小时的概率；

（2）求走出迷宫的时间超过了3小时的概率.

解析 记“选择1号通道”为事件[A；]

“先选择2号通道，再选择1号通道”为事件[B；]

“先选择2号通道，再选择3号通道，再选择1号通道”为事件[C；]

“先选择3号通道，再选择1号通道”为事件[D；]

“先选择3号通道，再选择2号通道，再选择1号通道”为事件[E.]

易知，[A，B，C，D，E]互为互斥事件，且[P（A）=13，P（B）][=P（C）=P（D）][=P（E）=16].

（1）[P=P（A）=13.]

（2）法一：[P=P（C+D+E）=P（C）+P（D）+P（E）=12.]

法二：[P=1-P（A+B）=12.]

点拨 （1）解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算. （2）求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：①直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；②间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式[P（A）=1-P（A）]求解，即用正难则反的数学思想，特别是“至多”“至少”型问题，用间接法更为简便.

概率是反映自然规律的基本模型，当今社会，概率已经成为一个常用词汇，为人们的决策提供依据，与我们的生活息息相关. 研究概率还涉及了必然与或然的辩证关系，是培养大家应用意识和思维能力的良好载体. 新课标下的当今教育更注重培养学生的应用意识和应用能力，学而时习之，学以致用才是学习的最终目的.