剖析数学归纳法

鲁娟

数学归纳法是一种比较特别的直接证明的方法，在证明与自然数[n]（[n]取无限多个值）有关的命题时数学归纳法是一种很有效的方法；同时在高等数学中有着很重要的用途，因而成为高考的热点和难点之一.

分析各地高考试卷可以看出，高考理科数学主要从等式（探求数列通项公式）与不等式（数列的增减性与有界性以及以自然数[n]为变量的不等式）的证明两方面来考查数学归纳法. 现结合典型考题来总结解题技巧和方法，供大家参考.

当不能用一般方法求数列通项公式时，我们可以由数列前几项的值猜想出数列的通项公式，然后用数学归纳法证明我们的猜想是正确的.

例1 设数列[an]的前[n]项和为[Sn，]满足[Sn=2nan+1][-3n2-4n，n∈N?，]且[S3=15].

（1）求[a1，a2，a3]的最值；

（2）求数列[an]的通项公式.

解析 （1）[a1=3，a2=5，a3=7].

（2）[Sn=2nan+1-3n2-4n，] ①

当[n≥2]时，[Sn-1=2n-1an-3n-12-4n-1，] ②

①[-]②得，[an=2nan+1-2n-2an-6n-1].

整理得，[2nan+1=2n-1an+6n+1，]

即[an+1=2n-12nan][+6n+12n.]

[∵a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1，]

猜想[an=2n+1，][n∈N?]. 以下用数学归纳法证明：

当[n=1]时，[a1=3]，猜想成立.

假设当[n=k]时，[ak=2k+1，]

则当[n=k+1]时，

[ak+1=2k-12kak+6k+12k=2k-12k2k+1+6k+12k]

[=4k2-1+6k+12k=2k+3=2k+1+1.]

猜想也成立，所以数列[an]的通项公式为[an=2n+1，][n∈N?].

点拨 用数学归纳法证明的关键是需要知道递推关系，这样才能将[ak]与[ak+1]联系起来，所以当已知中未给明递推关系时，我们需要进行转化. 如上例中由[Sn-Sn-1]这一步骤转化出递推关系，然后利用假设凑出“目标结论”，即证.

不等式证明

数列的增减性与有界性可以归于不等式证明这一类，但又有其特殊之处. 直接的不等式证明相当于已知通项公式的数列不等式的证明，而数列的增减性与有界性的题目往往无法求出通项公式，只能利用递推关系式来证明，这样使得难度加大.

例2 设实数[c>0]，整数[p>1]，[n∈N?].

（1）证明：当[x>-1]且[x≠0]时，[1+xp>1+px]；

（2）数列[an]满足[a1>c1p]，[an+1=p-1pan+cpan1-p，]证明：[an>an+1>c1p.]

解析 （1）用数学归纳法证明.

①当[p=2]时，[1+x2=1+2x+x2>1+2x]，原不等式成立.

②假设[p=kk≥2，k∈N?]时，不等式[1+xk>1+kx]成立.

当[p=k+1]时，

[1+xk+1=1+x1+xk>1+x1+kx]

[=1+k+1x+kx2>1+k+1x].

所以[p=k+1]时，原不等式成立.

综合①②可得，当[x>-1]且[x≠0]时，对一切整数[p>1]，不等式[1+xp>1+px]均成立.

（2）法1：先用数学归纳法证明[an>c1p].

①当[n=1]时，由假设[a1>c1p]知，[an>c1p]成立.

②假设[n=kk≥1，k∈N?]时，不等式[ak>c1p]成立.

由[an+1=p-1pan+cpan1-p]易知，[an>0，n∈N?].

当[n=k+1]时，[ak+1ak=p-1p+cpak-p=1+1pcakp-1].

由[ak>c1p>0]得，[-1<-1p<1pcakp-1<0].

由（1）中的结论得，

[ak+1akp=1+1pcakp-1p>1+p?1pcakp-1=cakp].

因此[ak+1p>c]，即[ak+1>c1p].

所以当[n=k+1]时，不等式[an>c1p]也成立.

综合①②可得，对一切正整数[n]，不等式[an>c1p]均成立.

再由[an+1an=1+1pcanp-1]得，[an+1an<1]，即[an+1综上所述，[an>an+1>c1p，n∈N?].

法2：设[fx=p-1px+cpx1-p，x≥c1p]，则[xp≥c]，并且[fx=p-1p+cp1-px-p=p-1p1-cxp>0，x>c1p].

由此可见，[fx]在[c1p，+∞]上单调递增，

因而当[x>c1p]时，[fx>f（c1p）=c1p].

①当[n=1]时，由[a1>c1p>0]，即[a1p>c]可知，

[a2=p-1pa1+cpa11-p=a11+1pca1p-1