数学中“1”的巧用

叶剑飞 李剑峰

【摘要】 本文介绍了“1”在数学问题求解中的一些实例，归纳总结了数字 “1”在数学学习中的巧用.从下面三大方面展开，分别是“1”在三角函数、不等式中的巧用，“1”在不定积分方面的巧用，以及“1”在高等代数中的巧用.对“1”在矩阵运算、不等式、最值、积分、三角函数等问题中的巧妙应用进行较为全面的分类研究，从而达到巧用“1”，化繁为简的效果.

【关键词】 “1”，巧用，不等式，三角函数，矩阵运算，不定积分

数学在很多数情况下都要和数字打交道，而数字“1”正是人类最早认识的数之一，在数学中具有非常重要的地位.“1”有千千万万的形式和内容，可以生成任一自然数，也可以生成“单位圆”，以及“单位矩阵”等等.而这些在进行化简、计算、证明中都扮演着举足轻重的地位，是解题中不可缺少的元素之一.下面主要结合自己多年的解题经验，谈谈“1”在各方面的活用.

1. “1”在三角函数、不等式以及最值问题中的巧用

三角函数、不等式是数学的重要内容，与数列、定积分、平面向量等都有着密切的联系.在三角函数问题的解决时，常引入数“1”参与运算，使问题得以简化.常见的代换有：1 = sin2α + cos2α，1 = sec2α - tan2α，1 = csc2α - cot2α，1 = tan，这一系列问题在许多问题的求值、化简中经常用到，下面进行举.

同时，在证明不等式，求最值时，若恰当、灵活地使用“1”，可以为证明创造条件，达到化难为易的效果.同时，利用公式a1 + a2 + … + a ≥ n解题时，有时若能巧妙利用“1”的代换，常常能使问题得以巧妙地解决.

3. “1”在积分中的巧用

不定积分中的常用计算方法有：直接积分法、换元积分法和分部积分法，计算不定积分，一般都是根据被积函数的特点来选择具体的方法.但有时候，微积分的教学方法有时流于机械，不能体现出这门学科的精髓.本节主要探讨的是在不定积分的计算中如何巧妙地运用“l”，而“1”包括利用三角替换，“加一项，减一项”等，而利用这些运算将被积函数进行适当地变形，从而达到简化积分的目的.

4. “1”在高等代数中的巧用

在高等代数中，在求解相应的问题时，如果通过添加“1”，而这里的“1”是指单位矩阵，然后通过一系列运算，可以使得问题变得简单.下面主要介绍下，高等代数中求标准型、矩阵求逆以及求特征值的问题.

5. 总 结

本文归纳并给出了“1”在数学学习中巧用例题，而对数字“1”的理解程度是随着数学学习程度单调上升的，而它的变形方式在不同方面也各不相同，而这正是它之所以被广泛运用的原因之一.巧妙地转化并灵活运用这些等价关系，达到解决问题，优化问题的目的，是研究“1”在数学中的妙用的根本目的.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社.

[2]王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社.