高考数学试题中的竞赛数学背景探索

赵华卿

【摘要】 本文首先对数学竞赛和高考数学分别进行了简单的介绍，然后对这两者之间的契合点进行分析，最后探讨在竞赛数学背景下高考数学试题的命题方法，希望能为广大教师和学子提供帮助.

【关键词】 高考数学；竞赛数学；命题方法

一、高考数学命题的概述

高考的命题主要是用来提高高等学校进行人才选拔，对教育具有促进作用，高考是一种选拔性的考试，将基础教育和高等教育衔接了起来，最终目的是将那些具有较高综合素质、扎实基础并且有较强能力的学生选择出来，送进高校接受下一步的深造.

高考数学命题的依据是高中数学课程标准中提出的关于教学目标和教学要求方面的规定，以及考试大纲中对于题型以及题目难度的规定，命题可以分为两个步骤，一是单题命制二是试卷组拼，在命题过程中需要考虑到考查的内容和能力定位、选择什么样的材料和题型，并且需要把控住难度和整体布局.

二、高考数学和竞赛数学的区别与联系

（一）客观区别

高考数学是一种选拔性考试，面向全体高中毕业生选择出优秀的一部分，来供高等院校录取，而竞赛数学面对的群体则是少部分学有余力的学生，只是对学生的数学特长发展水平进行衡量，在教育教学中的作用主要是实验和尝试. 二者具有不同的目的、性质并且对中学数学发挥的作用也不同，具体表现就是它们的难易程度有差异，形式方面有差异.

（二）必然联系

虽然高考和竞赛拥有不同深度和广度的考试内容，但是都不能超出教学大纲所规定的范围，而且同样作为中学数学，具有一样的数学内容、思想以及方法. 同时因为高考和竞赛的目的都是选拔，所以对优秀试题也会产生类似的追求，要保证其新颖程度、深度和广度，并且考查学生的创新意识，注重思维的发散性.

三、竞赛数学背景下的高考数学试题命题方法

数学竞赛是对学生数学知识运用的能力以及智力水平的考查，看学生能否顺利将数学问题解决，虽然高考和竞赛不相同，但是二者都有人才选拔的功能. 数学竞赛中的题目都是比较典型且具有考察性的，我们将其陈述方式略加改变并且进行变形，就可以得到相应的数学试题，如今的高考数学试题中应用竞赛数学的思想和方法，已经成为了其一个特征. 具体来说高考数学试题中对竞赛数学题目的应用有以下几种.

（一）直接将数学竞赛试题移用

因为数学竞赛中使用的试题具有很强的综合性，并且比较新颖，所以很多学生都没有对其进行关注，高考试题中就会直接将其引用进来. 一般来说那些直接引用的试题只是简单修改了一下语言的表述和结论设计，不会改动试题的类型以及解题的方法.

例如第27届美国中学生数学竞赛中有这样一道题目：

如果x是实数，那么（1 + x）（1 - |x|）是正数的充分必要条件是什么？

A. |x| < 1 B. x < 1 C. |x| > 1

D. x < -1 E. x < -1或-1 < x < 1

以这道题为原型的题目出现在2002年的全国卷中，题目是这样的：

不等式（1 + x）（1 - |x|） > 0的解集是 （ ）.

A. {x|0 ≤ x < 1} B. {x|x < 0且x ≠ -1}

C. {x| - 1 < x < 1} D. {x|x < 1且x ≠ -1}

这两道题修改的只是试题的备选答案，并且只是换了一种表述，并没有修改试题的主干部分，近年来高考试题中有一个命题特点就是从国外的数学竞赛中进行取材.

（二）变形改造数学竞赛试题

数学竞赛试题往往都具有一个特点，就是解题方法比较独特并且形式方面比较新颖，很多高考试题都会对其进行借鉴.

（三）推广数学竞赛的试题

因为数学竞赛试题可以将高中数学知识一些方面的应用领域反映出来，所以高考试题中很多题目会以竞赛试题作为主干，在解题思路方面也和竞赛试题完全相似，有的时候相比起原本的竞赛试题来说，这种高考试题难度更高.

例如2007年高考数学辽宁卷中理科版中有一道题目是这样的：

若θ∈π，π，那么复数（cosθ + sin θ） + （sin θ - cos θ）在复平面内对应的点位于一、二、三、四哪个象限？

这道题目是一道综合题，其中包括了复数和三角函数两方面的知识，而其原型来自于1989年全国高中数学联赛中的一道题目：若A，B是锐角三角形△ABC的两个内角，那么复数z = （cos B - sin A） + （sin B - cos A）在复平面内所对应的点，位于一、二、三、四哪个象限？

（四）演绎深化数学竞赛试题

高考数学试题不仅和数学竞赛的试题拥有很相似的试题形式，涉及的数学知识领域以及数学思想方法也很多都是相似的，一般来说这种类型的高考数学试题是选择了数学竞赛试题中的一些条件引申，或者是研究得出的性质和结论作为题目来使用的.

例如2006年辽宁省的高考数学试题中有一道是：若一条直线和一个正四棱柱各个面所成的角都为α，那么cos α为多少？

这道填空题还是比较具有难度的，而它的原型则来自于1990年广西高中所使用的一道数学竞赛题，题目为：已知一个平面和正方体的12条棱产生的夹角均为θ，那么cos θ是多少？这两道题目虽然略有不同，不过答案都是一样的.

【参考文献】

[1]赵兴杰，蒋路琴. 从近三年高考理科数学试题谈高中统计与概率的教学[J]. 遵义师范学院学报，2013，03：106-109.

[2]晨旭. 体现数学文化 突出实践能力──2015年高考数学试题评析[J]. 中国考试，2015，11：11-15.