运用变式题，巧设“潜在距离”

邓夏媛

变式教学是一种传统和典型的中国数学教学方式，意在通过变式展示知识的发生、发展、形成的过程，使学生抓住问题的本质，理解知识的来龙去脉，是对学生进行数学技能和思维训练的重要方式. 在教学实践中如何发挥变式题的功能，设置良好的问题情境让学生在变式中经历探究过程，如何把握一题多变的深度，一题多解的效度，有效发展学生深层次思维呢？本文结合教学实践作一探讨.

数学问题解决的一个基本思路是把没有解决的问题化归为已经解决的问题，复杂的问题化归为简单的问题.由于在未解决的问题（新知）和解决了的简单问题（旧知）之间没有清晰的联系，因此有必要为完成这种化归设置一系列台阶，即要设置合适的“潜在距离”.对同一问题来说，学生原有的认知水平及活动经验与所探究问题的潜在距离的大小，深刻影响着探究活动的难易程度和教学目标的达成，当两者的潜在距离较小（短距联结）时，属于近迁移，适宜于学生的理解和掌握；当两者的潜在距离较大（长距联结）时，属于远迁移，则有利于激发学生开展探究活动.下面是 “工程问题”的三种教法比较：

教法A：

教师出示准备题：1.一项工程，甲独做10天完成，乙独做15天完成，甲队每天完成这项工程的几分之几，乙队每天完成这项工程的几分之几？两队合做每天完成这项工程的几分之几？

2. 做一项工程，如果每天完成这项工程的，几天可以完成？

在学生完成上述各题后，教师出示例题：

一项工程，甲独做10天完成，乙独做15天完成，两队合做几天完成？

学生尝试解答.

教法B：

出示：某山坡欲绿化的面积有30公顷，甲工程队单独做要10天完成，乙工程队单独做要15天完成，两队合做几天完成？

学生尝试解决：30 ÷ （30 ÷ 10 + 30 ÷ 15） = 6天.

师：如果将“绿化的面积有30公顷”改换为60、90、120、180公顷，又会如何呢？

学生分组计算发现：得数相等.

师：为什么面积在不断变化，而两队合做的时间却不变？

学生观察，发现：总面积扩大几倍，两队的工作效率也相应扩大了相同的倍数.

师：那如果隐藏（或不用）绿化总面积这个条件，你还能解吗？

出示例题：一项工程，甲队独做10天完成，乙队独做15天完成，两队合做几天完成？

学生探究.

教法C：

出示：一项工程，甲队独做20天完成，乙队独做也要20天完成.两队合做几天完成？

学生：两队各完成一半，即每队各用20天的一半时间10天就可完成.

教师出示例题：一项工程，甲独做20天完成，乙独做30天完成，两队合做几天完成？

师设问：这时他们的合做时间还会是20天的一半吗？或者是30天的一半呢？

学生：两队合做的时间在10天与15天之间.

师：尝试猜一猜，并用你所喜欢的方法进行验证.

学生探究.

在本例中，教法A是我们常见的一种教学方法，即通过对例题进行分解，设置准备题，缩短了学生原有认知与例题之间的潜在距离（准备题与例题属于 “短距联结”）. 因此学生在教师的“牵”、“引”下总能拾级而上，较容易地理解与接受，实现从旧知到新知的跨越. 但这种跨越却是以压缩学生自主探究空间为代价，“为什么要将总工作量视为单位1？”“为什么要这样解答？”……学生存有疑惑.但对这些问题的探究却随着教师设置的“台阶”而一一“滑过”.

教法B则通过改编例题，在不改变原题结构的同时，增加一个具体量，引导学生借助整数的思考方法，获得了求“两队合做时间”的基本方法. 但整数的思考方法能否进一步抽象到分数上来呢？这时，教师巧妙地运用变式题，创设一种问题情境：通过改变具体量的数据，组织学生进行解答，进而发现具体量的更改并不妨碍结论的成立，由此将学生置于变与不变的困惑之中，学生迫切需要一个更一般性的解法来涵盖所有的类型. 这时学生原有经验（具体化的整数思考方法）与问题（抽象化的分数思考方法）构成了认知冲突，激活了学生思维的深层次参与，进而实现对数学知识本质内在联系的深刻理解，达到不仅知其然，而且知其所以然.

教法C则是通过改变影响结论的数据——即将两天独做的时间设置为相同（均为20天），学生基于生活经验，不难发现，两队的合做的工作时间应为20天的一半，即10天完成.在此基础上，教师出示原题，并设问：两队合做完成的时间会是多少呢？把学生思维聚焦在本题的关键要素（两队独做的时间）上，它与两队合做时间有着怎样的关联呢？由此组织学生进行猜测、交流、验证等一系列探究活动，呈现了多元的解决方法：有学生从10天～15天中选择数据进行尝试与调整，有学生则设置一个具体量（如20与30的公倍数）进行推算，有学生则先建立起等式，再求解……

教法B与教法C有着异曲同工之妙，两者都是对原题的重新加工，通过变式题，设置了适合学生进行自主探究的“潜在距离”，前一个关注于过程，从整数的思考方法迁移到抽象的分数思考，实现知识的“再创造”，引导学生从过程的变化中获得结论；后一个则直面结论，借助原题的一种特例（两队独做时间相同），来推及一般的结论，从对结论的获得来反推过程，建立问题中关键要素与结论的相互联系，并在这一过程中推进学生创新思维的发展.