《对数的运算性质1》三个典错案例评析

万发芹

摘要：古语说“差之毫厘，谬以千里”，做任何事情都离不开严谨的精神，对于从事数学教学和研究的高中教师来说，尤其如此，离开了严谨的治学作风，我们的工作将毫无质量而言，甚至给学生带来深深的误导。去年10月中旬，笔者参加了市教研室组织的高中部视导，听了某校高一三节数学课，从教材处理的严谨角度衡量，三节课都应是失败的案例。《对数的运算性质1》（苏教版普通高中课程标准实验教科书p59）一课的难点是熟练掌握对数三个运算公式及灵活应用于解题，其中尤为重要的是第三个公式的处理技巧。三位教师对此难点的处理都不尽人意。现整理出来与同仁们分享，以期抛砖引玉。

关键词：对数教学;案例分析;技巧总结

中图分类号：G633.6文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2016）03-083-2

为了便于比较，我们不妨先熟悉该课要研究的对数的这三个公式：

1.loga（MN）=logaM+logaN;

2.logaMN=logaM-logaN;

其中a>0，a≠1，M>0，N>0。

3.logaMn=nlogaM，其中a>0，a≠1，M>0，n∈R。

案例1

该教师的上课流程简述如下：

流程（1）复习提问指数幂的三个性质：

am·an=am+n

aman=am-n

（am）n=amn

根据对数的定义，有

logNa=bab=N（a>0，a≠1，N>0）

流程（2）学生观察苏教版普通高中课程标准实验教科书p75表321中的数据，

师引导学生发现、推导以下两个公式：

logaM+logaN=logaMN①

logaM-logaN=logaMN②

（a>0，a≠1，M>0，N>0）

流程（3）师与生一起证明公式①

证明：设logaM=p，logaN=q

则ap=M，aq=N

所以MN=ap·aq=ap+q

loga（MN）=logaap+q=p+q=logaM+logaN

即logaMN=logaM+logaN

公式②让生类比证明。

流程（4）引出公式③

我们还可以得到：

当a>0，a≠1，M>0时，

loga（Mn）=nlogaM③

后面是例题讲评及练习等内容。

点评：该教师刚参加工作，也许学校的集体备课华而不实，从他的上课过程中看不出对教材的二次加工与处理过程，上课属照本宣科。对所教内容不熟，公式的表述与证明不严谨，不利于培养学生思维的严谨性。同时也体现不出教师的示范性。

如果认真分析上述案例，不难发现有以下几点不妥之处：

1.在流程（2）里，公式①中的真数MN丢掉括号，应改成loga（MN）;

2.在流程（2）里，公式①与②等于号左右内容颠倒，不符合常规;

3.在流程（4）里，公式③中的loga（Mn）应改为logaMn，此时真数加括号纯属画蛇添足;

4.在流程（4）里，公式③中没有标明该公式成立的另一个条件n∈R;

5.在流程（4）里还应再补充公式③的推论：logaan=n（其中a>0，a≠1，n∈R）;

6.在流程（3）里公式①的证明过程中，loga（MN）=logaap+q=p+q=logaM+logaN这一步是应用了公式③的推论，这显然是循环论证。这样复习提问过程中的对数的定义logNa=bab=N（a>0，a≠1，N>0）就显得多余的了，因为在证明时，MN=ap·aq=ap+q可由对数的定义而直接得到logaM+logaN=p+q=loga（MN）。这如同登宝山而空手归。尤其值得注意的是这位青年教师所用的典型错误证法流行甚广，用他自己的话说“当初我的老师也是这么教的”。这不能不引起我们反思。

7.在流程（4）里对于公式③没有给出证明过程，过于浮浅，照本宣科。

8.教师没有精心探究上述三个公式的正逆互用及易错点。事实上，教师应高屋建瓴，不仅要让学生明白三个公式可正逆互用，同时还要例举常见的真数没有意义以及误记公式等易错点。教学过程中教师不妨列举出学生常见的一些典错，如：log3（-3）（-5）=log3（-3）+log3（-5）、log10（-10）2=2lg（-10）、loga（M±N）=logaM±logaN、loga（MN）=logaM·logaN、logaMN=logaMlogaN。让学生自我纠错，进而在反思中掌握公式的特点并加深对公式的记忆与理解。

案例2

第二位教师整体构思与第一位教师是相同的，只是他增加了对于公式③的证明过程。简述如下：

证明：设logaM=p，则ap=M，

所以Mn=（ap）n=anp，

logaMn=logaanp=np=nlogaM。

案例3

第三位教师整体构思与第二位教师大致是相同的，只是他对于③的证明过程与第二位教师的方法不一样。简述如下：

由公式logaM+logaN=logaMN可得如下推论：

loga（M1M2…Mn）=logaM1+logaM2+…+logaMn

当M1=M2=…=Mn时，

得到nlogaM=logaMn。

点评：第二位与第三位教师刚带过高三又返回带高一，是有一定教学经验的，他们各自的证法有一定的诱惑性，以致在评课时，几个青年教师还很佩服地认为这两种证明方法是“神到之笔”。果真如此吗？请看下面的证法：

设logaM=p，由对数定义可得M=ap，

∴Mn=anp，

∴logaMn=np=nlogaM。（其中a>0，a≠1，M>0，n∈R）

这种证法与第一种很相似，但他处理的艺术主要体现在对对数定义公式logNa=bab=N（a>0，a≠1，N>0）的应用上。仔细体会不难看出后二位老师的错误之处：第二位教师利用待证公式的特例反过来证明该公式，犯了循环论证的错误;第三位教师把公式中的n想当然地认为是自然数，实际上n∈R，该教师犯了以偏概全的错误。两种错误的证法具有极大的迷惑性，笔者听了两所学校共八节同样的课例，八位教师全部讲错。

反思：

首先是教师的专业知识不精，备课不充分，工作态度不严谨。

教师备课时要做到：内容选择要合理，目标制定要准确，重点难点要把握，学生水平要了解，学习方法要恰当，教学方法要精选，问题设计要精当，教具和课件准备要充分，练习设计要精当。这些都是我们耳熟能详的一些备课要求。但我们往往会漏掉一个重要的方面，就是备课过程中细节问题要关注。课堂教学中的细节问题虽然是一些细小的问题，但是也能影响一堂课的教学效果，细小的问题也能酿成大的失误，因此教师在备课时不要轻易放过每一个细节问题。本文中三位老师对诸多细节处理的失误应引起我们各位数学同仁充分的重视。

其次，教材在对这部分内容的处理上，笔者认为也有值得商榷之处。

在案例1流程（2）中，利用电子表格处理数据，让学生归纳公式是一种创新，但如果能在原表的基础上再增加两列logM3+logN3和logM3-logN3的值，这样学生在观察数据时更易发现规律，当然，如果老师在课堂教学时，能灵活处理教材，上课时在电脑中一边操作一边增加相应的两列数据的产生过程，也能弥补教材的不足。另外，对于教学硬件不具备的学校，教师不能使用电脑演示数据的处理过程，那么教材中给出的电子表格也只能是空中楼阁，倒不如用传统的处理方法也能达到殊途同归的效果，比如让学生先求log22、log24log28、log2（2×4）、log2（82）等对数的值，引导学生发现规律。

教材对于公式logaMn=nlogaM，其中a>0，a≠1，M>0，n∈R的处理对学生的估计过高，只给出公式本身，没有一点提示，本意是培养学生类比联想、观察验证、推理证明的能力。而那么多的老师有的避而不谈，有的谈而出错，学生更难达到预期的效果，倒不如在课本旁边增加相关的探究提示，效果是不是要更好一些呢？

三个公式的证明是本节课的难点，但三个公式的证明有一个共同特点：先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数定义将指数式化成对数式。对数定义在证明过程中发挥着关键的作用。

教学是门艺术，艺术需要雕刻，三个案例中诸多问题的发生，本来是完全可以避免的，只要细心推敲就能发觉其不妥或有误，就能避免因粗糙、粗略、粗心所造成的一个个不能不说的遗憾。古人说：天下难事，必做于易;天下大事，必做于细。对于我们数学教师而言，能否打磨数学课中的细节不仅反映教师的备课过程是否精细，更能反映出教师的治学态度是否严谨，它直接决定了一节数学课的成败。