关于无穷小量的几个问题的解析

2016-05-30李丽芳杜娟宋庆凤

教育教学论坛 2016年34期

关键词：大学数学

李丽芳　杜娟　宋庆凤

摘要：本文以无穷小量的历史起源（即第二次数学危机）为载体，旨在介绍要用“运动”观点和极限思想学习无穷小理论，并给出了教学实践中常遇到的几个关于无穷小量问题的解析。

关键词：无穷小；数学危机；大学数学

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）34-0178-02

一、无穷小量的起源

无穷小量是高等数学体系中的一个极其重要的概念。历史上的第二次数学危机[1]就是由于对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。牛顿创立的微积分基础就是无穷小量，这是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我们以一个浅显的例子来看牛顿的思考。

例：自由落体在时间t下落的距离为S（t）= gt ，求物体在的瞬时速度。这可以先求平均速度，即用下落距离的改变量除以时间的改变量，易求 =

gt + g·Δt，当Δt越小时，该平均速度就越接近物体在t 的瞬时速度；当Δt变成无穷小时，上式右端的

g·Δt也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是

gt ，牛顿认为这就是物体在t 的瞬时速度。由于当Δt变成无穷小时，ΔS也是无穷小，因此牛顿认为，瞬时速度是两个无穷小的比。

尽管当时对于什么是无穷小并没有公认的一个精确定义，但牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题，所以由牛顿创立的微积分就被科技界广泛接受，并得以迅速发展。但是，从上述例子中也可以看出，当时的微积分在推导上并不严谨，因此在当时遭到了以英国大主教贝克莱为代表的许多人的责难。贝克莱的责难相当直接：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？

具体说，上述例子中，牛顿从平均速度的表达式中，让Δt变成无穷小，得到物体的瞬时速度gt ，这在推导中有逻辑上的毛病。贝克莱认为，式子

=gt + g·Δt成立是以Δt≠0为前提的，那么，为什么又可以让Δt=0而求得瞬时速度呢？贝克莱还讽刺挖苦说：既然ΔS和Δt都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的灵魂”了！这就是著名的“贝克莱悖论”。由此引发了历史上第二次数学危机。

数学家在接下来的将近200年的时间里，都不能彻底反驳贝克莱的责难。直至后来的魏尔斯特拉斯创立“ε-δ”语言，才彻底反驳了贝克莱的责难，由“无穷小”引发的第二次数学危机才得以彻底解除。如今由极限理论，我们知道，无穷小反映的是函数的一种变化状态，而非指一个数。

定义：如果函数f（x）当x→x （或x→∞）时的极限为零，那么称函数f（x）为当x→x （或x→∞）时的无穷小。

二、关于无穷小运算的几个主要结论[2]

定理1：有限个无穷小之和也是无穷小。

定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论：有限个无穷小的乘积也是无穷小。

按照极限定义，这几个结论很容易得到证明。但在理解这几个结论的同时，一定会伴随产生新的疑问。比如，将定理条件有限改为无限，那么结论还会成立吗？也就是说无限个无穷小之和仍然是无穷小吗，无限个无穷小的乘积仍然是无穷小吗？下面我们通过命题的形式提出在学习无穷小过程中常见的几个问题，并通过辨别命题真假的方式解决这些问题。

三、问题的提出与解决

命题1：无限个无穷小之和也是无穷小。

命题2：已知两变量的乘积是无穷小，若其中一个为有界变量，则另一个变量必为无穷小。

命题3：已知两变量的乘积是无穷小，若其中一个为无界变量，则另一个变量必有界。

命题4：无限个无穷小的乘积也是无穷小。

首先指出，上述四个命题均是假命题，即命题所阐述均是错误结论。下面，分别找一个反例说明之。

反例1：（ + +…+ ）= = .

此例说明无限个无穷小之和未必是无穷小。

反例2：设x = ，y =sinn，则显然 x y = ·sinn=0，但是易知x = 有界，而y =sinn并不是无穷小。这说明命题2是一个假命题。

反例3：设x =[1-（-1） ] ，y =[1+（-1） ] ，{x }与{y }均是无界数列，但 x y = [1-（-1） ][1+（-1） ]n=0。此例表明命題3中的结论是错误的。

反例4：设f （x）=1，x∈[1，2），x∈[2，+∞），

f （x）=1，x∈[1，n）x ，x∈[n，n+1），x∈[n+1，+∞）（n>1），