浅析“定积分的概念”教学设计

王兵兵 沈艳平

摘 要：定积分是微积分的重要内容之一，在经济、管理、工程等自然学科中有重要的应用。基于高等数学“必须够用”的原则，对定积分概念进行教学设计时应重视教学背景的引入，运用实例讲授新课并重视数学建模思想的融入，利用现代信息技术呈现动态化的教学过程。

关键词：定积分；教学设计；数学思想

微积分是高等数学的一个重要分支，而定积分是微积分中的重要内容。我校对理工科专业开设的高等数学课程采用的是由中国轻工业出版社出版的、由我校教师主编的《高等数学》，“定积分的概念”是该教材第五章第一节的内容。职业院校以培养技能型人才为主要教学目标，因此，我校对高等数学的教学坚持“必须够用”原则，在对“定积分的概念”进行教学设计时，注重学生定积分概念的形成思想和对问题分析方法的应用。

一、“定积分的概念”教学设计的几点体会

1.背景介绍。微积分学是微分学和积分学的统称。魏晋时期刘徽的“割圆术”，祖冲之对圆周率、球体积和球表面积的研究以及古希腊数学家阿基米德对不可约量及面积和体积的研究等是古代的极限、微分思想，是微积分发展的萌芽阶段。十六世纪，由于航海、机械制造和军事的需要，科学家开始研究变量间的依赖关系，而变量的引进，成为数学研究的转折点。十七世纪后半叶，英国数学家、物理学家牛顿和德国数学家、哲学家莱布尼兹创建了微积分。两人都是用几何方法得出的微积分，但牛顿侧重力学研究，为求变速运动的瞬时速度建立了微积分的计算方法。莱布尼兹侧重几何研究，突出了切线的概念。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，对一些用初等数学无法解决的问题能找到有效的解决办法。

设计意图：高职学生的数学基础薄弱，对高等数学兴趣低，影响了高等数学课堂的效率。为了丰富教学内容，降低高等数学的难度，引入微积分的知识介绍，来激发学生学习的兴趣。

2.用实际问题引入新课。引例1：（收益问题/曲边梯形的面积）设某商品的销售量为x，商品价格P是销售量的函数P=P（x），求商品的销售量从a变到b的过程中的总收入R。引例2：（变速运动的路程问题）火车在进站时会减速，求火车从开始减速到进站停止的总路程。

设计意图：以现实生活中的常见问题为引入，不仅可以激发学生的学习兴趣，还可以使学生形成较为形象、具体的问题解决思路，改变数学较为枯燥的缺点。

3.授课过程融入数学建模思想。按照利用数学建模解决问题的步骤：模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用，授课过程设计（以引例1为例）如下：

（1）模型准备：问题的实质实际为求一曲边梯形的面积。（2）模型假设：问题中的变量都做好假设。（3）模型建立：明确该模型建立的思想是“化曲为直”，将曲边梯形划分为若干个矩形，利用矩形的面积和近似代替曲边梯形的面积。（4）模型求解：将已知量带入矩形的面积和公式，求得曲边梯形面积的近似值。（5）模型分析：通过观察矩形面积和与曲边梯形面积的关系，发现对自变量取值区间划分越细，两者之间的差距越小，当自变量划分成的区间长度趋于0时，矩形面积和趋于曲边梯形面积的真实值。因此，销售总收入为销售量与销售价格的乘积当销售量划分区间的长度趋于0时的极限值。（6）模型检验：该引例中的推导过程均为数学计算问题，模型通过检验。（7）模型应用：对于引例2及类似的能化为求解曲边梯形的面积和变速运动路程的问题，均可使用该模型解决。

最后，教师归纳总结定积分的概念及解决问题过程中所使用的解决步骤。也可归纳为“分割、取近似值、作和式、求极限”，并向学生介绍极限思想的应用。

设计意图：引导学生独立解决问题，使学生在解决问题的过程中养成自我总结的良好习惯，也使学生更具体地了解定义的形成过程。此外，将建模的思想融入授课过程，使学生了解运用数学思想解决实际问题的步骤，以便更好地运用所学知识解决问题，还可为学生日后参加全国大学生数学建模竞赛打下基础。

4.利用现代信息技术呈现动态化教学过程。在求曲边梯形面积过程中，充分利用多媒体的可视性优势，利用其演示当分割加细时矩形面积与曲边梯形面积的关系。

设计意图：使学生通过自己的观察得出分割越细、矩形面积与曲边梯形面积之差越小，当分割无限加细时，矩形面积近似等于曲边梯形的面积。

二、教学设計反思

对于高等数学来说，运用多样化的教学手段，不仅可以提高学生的学习兴趣，还可以激发学生的潜能、开阔学生的思路，使学生在生活中广泛应用数学知识解决实际问题。

参考文献：

[1]曹帅雷.以问题为载体、以解决问题为驱动的信息化教学设计——以高职高等数学定积分的概念及其计算为例[J].中国信息技术教育，2014（10）：32-34.

[2]唐琦林.浅谈定积分概念的教学设计[J].读与写，2013，10（1）：35-36.