2016年普通高等学校招生全国统一考试全国卷文科数学模拟试题

许少华

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合A={x | x2-x+6<0}，集合B={x∈N | y=}，则A∩B=（ ）

A. {3} B. {1， 3} C. {1， 2} D. {1， 2， 3}

2. 若z =1-2i，则复数z+在复平面上对应的点在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 如图1，ABCD是边长为4的正方形，若DE=EC且F为BC中点，则· =（ ）

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

4. 某单位春节联欢会中有一个抽奖环节，其中100名获奖者及其奖品价值的频率分布直方图如图2所示，则直方图中a的的值为（ ）

A. 0.003 B. 0.005

C. 0.05 D. 0.004

5. 若数列{ an }是等差数列，首项a1<0，a2015+a2016>0，a2015 Sn <0使前n项和的最大自然数n是（ ）

A. 2016 B. 2015 C. 4028 D. 4029

6. 若f（x+1）+1为R上奇函数，则f（4）-f（0）的值为（ ）

A. 0 B. 2016 C. 2015 D. 1

7. 过双曲线-=1（a>0， b>0） 的右焦点F2作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B， C.若=，则双曲线的离心率是（ ）

A. B. C. D.

8. 如图3程序框图输出的值是（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

9. 正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心与正面体一边的一个截面如图4，且图中三角形（正四面体的截面）的面积为，则球的体积是（ ）

A. ？仔 B. 2？仔

C. 2？仔 D. 2？仔

10. 若函数y=sin？棕x 在某个长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，且在区间[-，]上为增函数，则正整数？棕的值为（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

11. 一几何体的三视图如图5所示则该几何体的体积为

（ ）

A. B. C. D.

12. 若存在x∈（0， +∞）使不等式 ex（x2-x+1）（ax+3a-1）<1成立，则实数a的范围为（ ）

A. 0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 若cos（-x）=，则cos（+2x）= .

14. 设x，y满足不等式组y≤2x，2x+y≤2，x-y≤1，则z=3x+2y的最大值为 .

15. 已知点A是抛物线y2=2px上一点，F为其焦点，若以F为圆心，以 | FA| 为半径的圆交准线于B、 C且？驻FBC为正三角形，当？驻ABC的面积为时，抛物线的方程为 .

16.若数列{ an }中a1=1，且a1， a3，…， a2n-1是递增的数列，a2， a4，…， a2n是递减的数列，a1>a2，| an+1-an | =2n，则{ an }的前n 项和Sn= .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分12分）

？驻ABC的三边长a， b， c和面积S满足S =[c2-（a-b）2]，

（1）求cosC；

（2）若c=2，且2sinAcosC=sinB，求b边长.

18.（本题满分12分）

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2.

（1）求证：CE∥平面PAB；

（2）若F为PC的中点，求F到平面AEC的距离.

19.（本题满分12分）

在某红绿灯路口进行随机调查，发现正在等绿灯的有10人，另有8人直接闯红灯，等绿灯的10人，其年龄的茎叶图如下：

（1）求等绿灯人年龄的中位与方差

（2）若从40岁以上的等绿灯人中，随机抽取2人，求其中一定含有50岁以上的路人的概率.

（3）若闯红灯的8人中有2人40以上，其余均40以下，完成下列列联表：

根据上表的数据，判断是否有95%的把握认为“40岁以下与闯红灯有关”.

附：K2 =.

20.（本题满分12分）

已知+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，C是B1F2的中点，若·=2，且⊥.

（1）求椭圆的方程；

（2）点M，N是椭圆上的两个动点，过M，N两点的切线交于点P，若·=0时，求点P的轨迹方程；

（3）点Q是椭圆上任意一点，A1， A2分别是椭圆的左、右顶点，直线QA1， QA2与直线x=分别交于E， F两点，试证：以EF为直径的圆交x于定点，并求该定点的坐标.

21.（本题满分12分）

设函数f（x）=x3-（a-1）x2-2bx+1，其中a∈R，

（1）若f（x）的减区间为（-1， 2）， 求f（x）在区间[-3， 3]上的最大值与最小值；

（2）对小于1的任意a∈R，函数f（x）都有两个极值点x1、x2（x1≠x2），是否存在b使x1 3 + x2 3=1成立，若存在，求出b的值或范围；否则，说明理由.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.

22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A.

（1）若BD⊥AE，AB=4， BC=2， AD=3， 求CE的长.

（2）若=，=，求的值.

23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线与椭圆的极坐标方程分别 为l：cos？兹+2sin？兹=0，C：ρ2=.

（1）求直线与椭圆的直角坐标方程；

（2）若P是l上的动点，Q是C上的动点，求| PQ| 的最小值.

24.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

不等式 | 2x-1| - | x+1| < 2的解集为{ x| a < x < b}，

（1）求a ， b的值；

（2）已知x > y > z，求证：存在实数k使恒成立-+≥，并求k的最大值.

2016年普通高等学校招生全国统一考试全国卷

文科数学模拟试题参考答案

一、选择题

1. C；由x2-x+6<0？圯（x - 3）（x + 2）<0，得-2< x <3，

则A={x | -2< x <3}.

又B={x∈N | y=}={x∈N | x≤3}={1， 2， 3， …}，

那么A∩B={1， 2}.

2. D；由z =1-2i，得1-2i+=1-2i+=-.

3. C；以AB， AD分别为x， y建立直角坐标系，

则E（1，2），F（4，2）.

那么=（-1，-4），=（3，-2），于是·=-1×3+（-2）×（-4）=5.

4. B；由50（0.001+0.002+0.003+a+0.009）=1？圯a=0.005，

即直方图中a的的值为a=0.005.

5. D；由a2015+a2016>0？圯a1+a4030>0？圯a4030>0.

又a1<0且a2015·a2016<0知数列{ an }的前2015项都是负数，

那么a2015+a2015<0？圯a1+a4029<0？圯S4029<0，于是，最大自然数n=4029.

6. A；由f（-x+1）+1=-[f（x+1）+1]？圯f（x+1）+f（-x+1）=-2.

令x=-1及x=3，得f（0）+f（-2）=-2，f（-2）+f（4）=-2？圯f（4）-f（0）=0.

7. D；对于F2（c， 0），则直线方程为y=-x+c，直线与两渐近线的交点为B，C，由y=-x+c，y=x？圯x=，y=，即B（， ），因为F2（c， 0）.

由 = 知B是F2C的中点，于是可得C （， ）.

由于在y=-x上，得=-·？圯b=3a？圯e=.

8. B；本题的程序框图所揭示的内容，其实是当和大于64时，输出最小的n值.

于是，由1+3+32+…+3n-1>64？圯（3n-1）>64，最小的n=5，

那么输出的值是5.

9. B；如图，由正四面体的特点及性质可知，该截面即为等腰？驻ABC.

设正四面体的边长为a，

由AC=BC==.

那么？驻ABC的面积为×a×=？圯a=2，

于是四面体的高h==.

再设外接球的半径为R，由（-R）2+（）2=R2？圯R=，

从而球的体积是V=？仔（）3=？仔.

10. B；由函数y=sin？棕x在某个长度为1的闭区间上最多获得一次最大值1，得≤1？圯？棕≥2？仔.

又在区间[-，]上为增函数，则-≤-，≤？圯？棕≤.

于是2？仔≤？棕≤，又？棕为正整数，因此，？棕=7.

11. B；本题三视图对应的几何体是以正方体的中截为底面的两个同底面的四棱锥，如图.

于是体积为V=×2×2×1×2=.

12. C；由ex（x2-x+1）（ax+3a-1）<1？圯ax+3a-1<.

（1）若a≤0，当x∈（0，+∞）时，ax+3a-1）<0，而>0，此时结论成立.

（2）若a>0，由于f（x）=？圯f′（x）=<0，所以 f（x） 在（0，+∞）是减函数，则0 < f（x） <1，又f（x）与y轴的交点为（0，1）.

由于g（x）= ax+3a-1与y轴的交点为（0， 3a-1）.

那么，如果存在x∈（0，+∞）使不等式ex（x2-x+1）（ax+3a-1）<1成立，

则3a-1<1，a>0？圯0 < a <，

由（1）（2）得实数a的范围为a <.

二、填空题

13. -；由于cos（-x） = sin[-（-x）] = sin（+x）即sin（+x）=，而cos（+2x） =cos2（+x） =1-2sin 2 （+x） =-.

14. ；分别作出三直线y=2x，2x+y=2，x-y≤1，得如图所示的可行域.

由z=3x+2y？圯y=-x+.

显然，当直线y=-x+经过点A时，纵截距最大.

由y=2x，2x+y=2？圯x=，y=1.

此时，z=3x+2y=.

15. 由题意，如图可得=cos30°及DF=2p？圯BF=，从而AF=，由抛物线的定义知点A.

到准线的距离也为，因为△ABC的面积为，即××=？圯P=4，故抛物线的方程为y2=8x.

16. ；由a1>a2，a2-a1=-2.

由于a3>a1又a1>a2？圯a3>a2？圯a3-a2=22，

类似地：a4-a3=-23，a5-a4=24，…，an-an-1=（-2）n-1.

那么an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）==.

从而Sn=++…+=+·=-=.

三、解答题

17.（1）由S=[c2-（a-b）2]=[-（a2+b2-c2）+2ab]

=-abcosC+ab……………3分

又S=absinC，于是absinC=-abcosC+ab即sinC=2（1-cosC）.

结合sin2C+cos2C=1得cosC=或cosC=1（舍去）.

故cosC=……………6分

（2）又由2sinAcosC=sinB，得2··=？圯a=c………9分

结合条件，可得a=c=2.

由c2=a2+b2-2abcosC，

得4=4+b2-4×b？圯b=……………12分

18.（1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴BC=，AC=2.

取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA.

∵ EM ？埭平面PAB，PA？奂平面PAB，∴EM∥平面PAB.

在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，

∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°，∴MC∥AB.

∵MC ？埭平面PAB，AB

？奂平面PAB，∴ MC∥平面PAB .

∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB.

∵EC？奂平面EMC，∴EC∥平面PAB.

（2）∵PA=CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC .

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.

∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC.

又EF//CD，∴EF⊥平面PAC.即EF为三棱锥E-AFC的高.

因为CD=2，得EF=.

从而VE-FAC=×（AC·AP）·EF=×（×2×2）×=.

在Rt△PAD中，AE=CE=PD=×2=.

于是S△ACE=AC·=2，设F到平面AEC的距离为h.

由VE-FAC=VF-AEC即×2h=？圯h=.

故F到平面AEC的距离为.

19.（1）由茎叶图可得15个数据为：22，34，34，42，

43，45，45，51，52，52，显然，路人年龄的中位数为（43+45）=44.

由于x==42……2分

那么s===.

即路人年龄的方差为……………4分

（2）设40岁以上，50岁以下的四人分别为A1，A2，A3，A4，50岁以上的三人分别为B1，B2，B3，那么从这七人中任取两人的所有基本事件如下：

A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2B3，A3A4，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3共21个.……………6分

其中含有50岁以上的路人的基本事件如下：A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3共15个.……………7分

于是，从40岁以上的路人中，随机抽取2人，其中一定含有50岁以上的路人的概率为P==……………8分

（3）若闯红灯的8人中有2人40以上，其余均40以下，完成下列列联表：

…

…………10分

由K2==2.5<3.841.

故没有95%的把握认为“40岁以下与闯红灯有关”. ……………12分

20.（1）设F1（-c，0），F2（c，0），B1（0，b），则C（，）.

由题意得·=2，⊥？圯（-c，-b）·（c，-b）=2，（-，-）·（c，-b）=0？圯b2-c2=2，b2=3c2？圯b2=3，c2=1，从而a2=4，

故所求椭圆方程为+=1 ………3分

（2）设P（x0，y0），

①当PM⊥x轴或PM∥x轴时，对应PN∥x轴或PN⊥x轴，

可知P（±2，±）………4分

②当PM与x轴不垂直且不平行时， PM的斜率为k，则k≠0，PN的斜率为-，

PM的方程为y-y0=k（x-x0），与+=1联立，

得y-y0=k（x-x0），+=1？圯（3+4k2）x2+8k（y0-kx0）x+4（y0-kx0）2-12=0）……5分

因为直线与椭圆相切，所以△=0即4k2（y0-kx0）2-（3+4k2）[（y0-kx0）2-3]=0，

即（x20-4）2k2-2x0y0k+y20-3=0.

所以k是方程（x20-4）2k2-2x0y0k+y20-3=0的一个根，

同理-是方程（x20-4）2k2-2x0y0k+y20-3=0的另一个根，………6分

k·（-）=？圯x20+y20=7，其中x0≠±2，

所以点P的轨迹方程为x2+y2=7（x≠±2）.

因为P（±2，±）满足上式，综上知：点P的轨迹方程为x2+y2=7………7分

（3）由（1）得A1（-2，0），A2（2，0），

设Q（x0，y0），则直线QA1的方程为y=（x+2），与直线x=的交点E的坐标为E（，（+2））………8分

则直线QA2的方程为y=（x-2），与直线x=的交点F的坐标为F（，（-2））………9分

再设以EF为直径的圆交x于点H（m，0），则HE⊥HF，从而kHE·kHF=-1，即·=-1？圯=-（-m）2 ………11分

由+=1得y20=，∴ m=±1.故以EF为直径的圆交x于定点，该定点的坐标为（+1，0）或（-1，0）………12分

21. 由f ′（x）=3x2-2（a-1）x-2b………1分

（1）由题意知f ′（x）<0的解集为（-1，2），即不等式3x2-2（a-1）x-2b<0的解集为（-1，2），于是，方程3x2-2（a-1）x-2b=0的两根分别为-1与2.

由-1+2=，-1×2=-？圯a=，b=3，此时，f （x）=x3-x2-6x+1………3分

由f ′（x）=3x2-3x-6=3（x+1）（x-2），

易得x∈[-3，-1）时，f ′（x）>0，此时函数递增；x∈（-1，2）时，f ′（x）<0，此时函数递减；x∈（2，3]时，f ′（x）>0，此时函数递增.

于是，fmax（x）=max{f（-1），f（3）}=max{，}=，

fmin（x）=min{f（-3），f（2）}=max{-，-9}=-.

故f （x）在区间[-3，3]上的最大值与最小值分别为与-………6分

（2）对任意的a∈R，函数f （x）都有两个极值点x1，x2，即为对任意的a方程f ′（x）=0有两个不等的实数根x1，x2，即方程3x2-2（a-1）x-2b=0有两个不等的实数根x1，x2，于是[2（a-1）]2-4×3×（-2b）>0对任意的a∈R恒成立，即6b>-（a-1）2对任意的a∈R恒成立，从而b>0………………①………7分

若存在b使x31+x32=1成立，由于x1+x2=，x1·x2=-.

那么x31+x32=（x1+x2）[（x1+x2）2-3x1·x2]={[]2-3×（-）}=1.

得b=-=………10分

由b′=-，令b′=0即-=0？圯a=1-.

当a<1-时，b′>0，此时，关于a的函数递增；当1-那么，当a=1-时，b有最大值，其值为b=<0.

由①知不存在b使x31+x32=1成立………12分

22.（1）由圆的割线定理知AB·AC=AD·AE，

∴ AE=8，DE=5.连接EB，∵∠EDB=90°，

∴ EB为直径，∴∠ECB=90°.

由勾股定理，得EB2=DB2+ED2=AB2-AD2+ED2=16-9+25=32.

在直角△ECB中，EB2=BC2+EC2=4+EC2，

EC2=28？圯EC=2.

（2）因为四边形ECBD是圆O的内接四边形，

所以∠ADB=∠C，∠ABD=∠E，所以△ADB∽△ACE.

于是==.

因为=，=，所以（）2=·=·=.

从而=.

23.（1）由cos？兹+2sin？兹=0？圯？籽cos？兹+2？籽sin？兹=0？圯x+2y=0，

即直线l的直角坐标方程为x+2y=0.

又由？籽2=？圯？籽2cos2？兹+4？籽2sin2？兹=4？圯x2+4y2=4.

即椭圆C的直角坐标方程为x2+4y2=4.

（2）因为椭圆+y2=1的参数方程为x=2cos？兹，y=sin？兹，

由题意可设Q（2cos？兹，sin？兹），

因此点Q到直线l的距离是d==.

所以当？兹=k？仔+，k∈Z时，d取得最大值.

24.（1）（i）当x<-1时，不等式可转化为-（2x-1）-[-（x+1）]<2，得x>0，此时无解.

（ii）当-1≤x≤时，不等式可转化为-（2x-1）-（x+1）<2，得x>-，此时，不等式的解为-