2015年上海一道高考题的解法赏析与拓展应用

湖北省黄石市第一中学　　黄旭东　　(邮编：435000)



2015年上海一道高考题的解法赏析与拓展应用

湖北省黄石市第一中学黄旭东(邮编：435000)

摘要在历年高考的圆锥曲线高考题中，常涉及到三角形面积，本文试着由2015年上海一道高考题，利用向量坐标推导出一个坐标形式的三角形面积公式，并谈谈其应用.

关键词三角形；面积；坐标；圆锥曲线

1试题

图1-1

(2015上海理)已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于Α、Β和C、D,记得到的平行四边形ΑΒCD的面积为S.

法二由三角形面积公式得

=2|x1y2-x2y1|,

四边形面积S同法一，此处略.

2拓展延伸

解答完此题后，笔者发现此题中求三角形AOC面积时，涉及到三角形的顶点的坐标形式，此形式结构对称而优美，考虑到三角形的一般情况，而是利用向量工具得到一个关于三角形向量坐标形式的面积公式.

证明过程同上述解答中的法二相同，此处略.

利用向量运算，代入定理中面积公式易知成立.

3链接高考

得出这个三角形向量坐标形式的面积公式后，仔细研究各年间各地的高考题，发现涉及到三角形的面积时其有着广泛的应用.且解答计算量小，过程简洁而流畅.非常巧合的是，2015年湖北、山东、浙江都有相同的题源背景.

图2-1

图2-2

例1(2015湖北理)一种作图工具如图2-1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2-2所示的平面直角坐标系．

(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P、Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.

①

②

将①代入②，得

当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时，SΔOPQ的最小值为8.

综合上可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

由Δ>0⟹m2<4+16k2

①

②

圆锥曲线题目中常涉及到三角形面积问题，在处理此问题时常利用弦长公式与点到线的距离公式再结合面积公式来操作，计算量大，过程繁琐.作为三角形面积公式的补充，若能灵活利用坐标形式的面积公式有时可起到直达目标，简化运算，优化解题的效用.当然在解斜三角形求面积时有时也收到奇效，此处不作讨论，有兴趣的读者可以研究一下.

一道高考题所涉及的题源背景，在同一年竟有四个不同省市同时撞车，可谓殊途同归，异曲同工.这不是简单的巧合，也同时给我们数学老师提出一些启示.在平时教学中，应多角度进行变式教学，引导学生重视课本与高考题源的研究，揭示题源与本质，从而使学生达到巩固所学知识、提升能力的要求.进而引领学生跳出题海，真正做到触类旁通、举一反三，达到以不变应万变的能力要求.

(收稿日期：2016-02-14)