2016年数学高考模拟卷(文科)
2016-05-19骆永明
2016年数学高考模拟卷(文科)
一、选择题:本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求的．
1．已知集合M={1，2，3，5，7}，N={x|x=2k－1，k∈M}，则M∩N=()
A．{1，2，3}B．{1，3，5}C．{2，3，5}D．{1，3，5，7}
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A．3B．4C．6D．7
4．某几何体的三视图如图1所示，其中俯视图中的曲线为半径为2的圆弧，则该几何体的体积为()
图1
A．6－πB．8－πC．6－2πD．8－2π
6．如图2所示，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是()
图3
图2
A．只与⊙C的半径有关
B．既与⊙C的半径有关，又与弦AB的长度有关
C．只与弦AB的长度有关
D．是与⊙C的半径和弦AB的长度均无关的定值
8．定义f(x)={x}(其中{x}表示不小于x的最小整数)为“取上整函数”，例如{1．2}=2，{4}=4．“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费、出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是()
①f(2x)=2f(x);②若f(x)=f(y)，则x－y＜1;
A．①②B．①③C．②③D．②④
二、填空题:本大题共7小题，第9～12题每空3分，第13～15题每空4分，共36分．
9．双曲线x2－y2=1的离心率为______，渐近线方程是______．
10．设函数f(x)=sinx+cosx，且f(x0)=1，则f(x)的最小正周期为______，sin2x0=______．
12．一个四面体中如果有3条棱两两互相垂直，且垂足不是同一点，这3条棱就象中国武术中的兵器——三节棍，我们把这样的四面体称为三节棍体．若三节棍体ABCD的4个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(4，2，0)，D(0，0，2)，则|BD |=______，此三节棍体外接球的表面积为______．
13．若正项等比数列{an}满足:a3+a4－a2－a1=5，则a5+a6的最小值为______．
14．当实数x，y满足x2+y2≤1时，|x+3y+a|+|6－x－3y|的取值与x，y均无关，则实数a 的取值范围是______．
15．在给定的直线y=x+t上任取一点P，从点P向圆x2+(y－2)2=8引一条切线，切点为Q．若存在定点M，恒有PM=PQ，则t 的取值范围是______．
三、解答题:本大题共5个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足
1)求角C;
17．(15分)已知无穷数列{an}分别满足|an+1－an|=2，且a1=1．
1)若数列{an}都为递增数列，求数列{an}的通项公式．
2)若数列{cn}满足:存在唯一的正整数r(其中r∈N*)，使得cr+1＜cr，称数列{cn}为“梦r数列”．若数列{an}为“梦5数列”，求数列{an}的前n项和Sn．
18．(15分)在如图4所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC=60°，AB=2CB=2．在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC=2EF，EC⊥平面ABCD．
图4
1)求证:BC⊥AF;
2)若直线CE与平面ADF所成角为30°，求CE的长．
19．(15分)已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F(0，1)．
1)求抛物线C的方程;
2)若直线l与抛物线C交于2个不同的点A，B，且弦AB中点M在⊙O:x2+y2=1上，求直线l斜率的取值范围．
20．(15分)设函数f(x)=x|x－a|+b，其中a，b∈R，且a≤1．
2)若函数f(x)在［0，1］上存在零点，求实数b的取值范围．
参考答案
1．B2．A3．D4．D5．A6．B7．C8．C
15．t≤－2或t≥6
17．解1)数列{an}为递增数列，从而an+1－an=2，故an=2n－1．
2)因为数列{an}满足:存在唯一的正整数r= 5，使得ar+1＜ar，且|an+1－an|=2，所以数列{an}必为1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5项为首项为1、公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7、公差为2的等差数列，故
18．1)证明∠ABC=60°，AB=2CB=2，由余弦定理知，故∠ACB=90°，即AC⊥BC．因为EC⊥平面ABCD，所以EC⊥BC．又因为EC∩AC=C，所以BC⊥面ACEF，从而BC⊥AF．
2)解如图5所示，取AC的中点G，过点G作GH⊥AD于H，联结FG，FH．在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC=2EF，从而
图5
即四边形EFGC是一个平行四边形．因为EC⊥平面ABCD，所以
又因为GH⊥AD，所以
从而∠HFG为直线FG与平面ADF所成角，也即直线CE与平面ADF所成角为∠HFG=30°．
19．解1)由已知得抛物线C的方程为x2=4y．
2)设直线l:y=kx+b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
则弦AB中点M(2k，2k2+b)在⊙O:x2+y2=1上，从而
由式(1)和式(2)知
从而k4+4k2－1＜0且1－4k2≥0，
2)函数f(x)在［0，1］上存在零点，即x|xa|=－b在x∈［0，1］上有解．令g(x)=x|x－a|，只需－b∈{y|y=g(x)，x∈［0，1］}即可．
①当a≤0时，g(x)=x(x－a)=x2－ax在［0，1］上单调递增，从而g(x)∈［0，1－a］，即a－1≤b≤0．
②当0＜a≤1时，
分类讨论解得
供稿人:骆永明(浙江省绍兴市稽山中学)
