三角函数与平面向量的复习

2016-05-19苗孟义三山高级中学浙江慈溪315300黄国员慈溪市教育局教研室浙江慈溪315300

中学教研(数学) 2016年2期

●苗孟义　(三山高级中学　浙江慈溪　315300)　　●黄国员　(慈溪市教育局教研室　浙江慈溪　315300)

三角函数与平面向量的复习

●苗孟义(三山高级中学浙江慈溪315300)●黄国员(慈溪市教育局教研室浙江慈溪315300)

1　命题分析

回顾近几年浙江省数学高考试题中关于“三角函数与平面向量”的考题，给我们一种“题在书外、根在书中”的感觉(以2015年为例):文、理科第11题，与《数学(必修4)》第147页复习参考题类似;文科第13题呈现熟悉，理科第15题呈现新颖，理科第16题更关注通性通法，考查有价值的常规方法的应用，凸显学生运用数学思想方法，把数学的知识与技能转化为分析问题和解决问题的能力．全卷一般有3～4个三角函数与平面向量的试题，分值占15%～20%．

三角函数主要考查:三角函数名称、角、关系式的变换;三角函数图像与性质，图像的变换，三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等;简单的三角恒等变换，包括两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式等，合理运用三角公式是解决三角函数的图像与性质、三角恒等变换等问题的关键．

解三角形主要考查:内角和定理与正弦(余弦)定理，解三角形的边、角、面积及判断三角形形状等．

平面向量主要考查:平面向量的几何意义、基向量转化、坐标法．

在高考试题中，三角函数试题的考查难度不大，容易得满分;平面向量试题往往短小精悍，内涵丰富，有挑战性．2015年浙江省数学高考理科试题对有关向量问题的考查，悄悄地由平面转向空间，值得关注．

2　典题剖析

3)设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则的取值范围是()

故选A．

因为b2=ac，即，由

评析此题组考查同角三角函数关系、两角和与差的正弦(正切)公式．其解答过程集中体现在运算上，是突出对运算能力考查的一组试题，关键是对公式的选择和运算方向的把握．在选择公式、确定运算路径时，应本着从简的原则，尽量缩短运算路径，简化运算过程，提高运算的准确率，这些都是对运算能力的考查要求．

2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A，ω，φ均为正常数)的最小正周期为π，当时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()

A．f(2)＜f(－2)＜f(0)

B．f(0)＜f(2)＜f(－2)

C．f(－2)＜f(0)＜f(2)

D．f(2)＜f(0)＜f(－2)

3)函数f(x)=cos(ωx+ φ)的部分图像如图1所示，则f(x)的单调递减区间为()

图1

分析1)向右平移φ个单位后，得到

因为|f(x1)－g(x2)|=2，所以当|x1－x2|取最小值时，刚好是取2个函数相邻的最大值与最小值点．令，则

从而

故选A．

3)由五点作图法知

评析三角函数作为重要的基本初等函数，是高考必考的内容之一．对函数图像与性质(如:定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等)的掌握情况可以在三角函数中得到体现．公式运用及其变形能力、运算能力等可以在这些问题中进行考查，在复习时要注意基础知识的理解与落实．

例31)已知平面向量a，b，且|b|=2，b· (2a－b)=0，则|tb+(1－2t)a|(其中t∈R)的最小值为_____.

3)若平面向量a，b，e满足|e|=1，a·e=1， b·e=2，|a－b|=2，则a·b 的最小值为_____.

分析1)方法1由|b|=2，b·(2a－b)=0知a·b=2，从而a在b方向上的投影为不妨设b=(2，0)，a=(1，y)，y任意，因为

图2

3)因为(a+b)·e=3≤|a+b|·|e|，所以

从而

评析平面向量与不等式结合的问题，解题的关键是利用向量知识将问题转化为不等式问题，通过解不等式、数形结合、极化恒等式来求最值或范围．向量与不等式的结合，既考查了学生的创新数学素养，又加强了对“双基”的考查，特别是向量的坐标表示及运算．这种命题形式符合考纲要求，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇处设计试题，对数学基础知识的考查达到必要的深度．