复函数的极点判定问题研究

赵伟舟，景慧丽，张　辉（第二炮兵工程大学　理学院，陕西　西安　710025）



复函数的极点判定问题研究

赵伟舟，景慧丽，张辉
（第二炮兵工程大学理学院，陕西西安710025）

摘要：本文基于复变函数的极点主要讨论了常见判定方法的特点及适用性，并给出了零点和极点的重要结论以及在极点判定中的具体应用.

关键词：复变函数；极点；零点

极点是孤立奇点的重要类型之一，通常不仅要回答是否为极点，还应指出极点的级.在极点判定中是一个首要工具，其优势在于能快速给出是否为极点的说明，无需在以z0为心的环域上将其展开为洛朗级数，但不足之处在于无法给出极点的级的进一步回答，而这又是洛朗级数研究极点的优势所在.实际研究极点时，通常需要根据复函数的具体形式选择不同的讨论方法.本文主要对极点的级的研究方法进行小结，以期为学员提供明晰的解题思路.

1　极点判定的常用方法及适用性分析[1　][2　]

1.1级数法

所谓级数法，是指复函数f(z)借助r＜|z-z0|＜R上的洛朗级数讨论极点的方法.该方法特别适用于f (z)易于展成洛朗级数的情形.尤其是当f(z)由常见初等函数sinz，cosz，ez等复合而成时，研究z0=0作为极点的类型时，借助洛朗展开式是相当方便的.

因此，z=0是2级极点.

1.2表示法

1.3零点法

零点法用于研究极点时，应特别注意极点和零点的讨论对象不同，各自对应的复函数应满足“倒函数”的关系.该方法表明，可以通过研究“倒函数”的零点以获得f(z)的极点，特别适用于f(z)为分式函数的情形.

解考察z2(ez-1)的零点，显然z=0是z2的2级零点，是ez-1的1级零点，从而z=0是z2(ez-1)的 3级零点.根据零点法，z=0是的3级极点.

2　复合函数的零点和极点性质

从上面看出，借助零点判定极点是非常方便的.限于篇幅，这里直接给出判定零点级数的重要结论，较现有文献的结论更全面、实用[3][4]，相应地可获得复合函数极点的相关结论.

结论1设z0分别为f(z)和g(z)的m级零点和n级零点，即f(z)=(z-z0)mφ(z)，g(z)=(z-z0)mψ(z)，其中φ (z)和ψ(z)在z0解析，且φ(z0)≠0，ψ(z0)≠0，则：

①对f(z)±g(z)，

a.当m=n且φ(z0)±ψ(z0)时，z0是f(z)±g(z)的m级零点；

b.当m≠nz0是f(z)±g(z)的min(m,n)级零点.

②对f(z)g(z)，z0是f(z)g(z)的m+n级零点.

④对[f(z)]k，k∈N，z0是[f(z)]k的mk级零点.

结论2设z0分别为f(z)和g(z)的m级极点和n级极点，即，其中φ(z)和ψ(z)在z0解析，且，则：

①对f(z)±g(z)，

a.当m=n且φ(z0)+ψ(z0)≠0时，z0是f(z)±g(z)的m级极点；

b.当m≠n时，z0是f(z)±g(z)的max(m,n)级极点.

②对f(z)g(z)，z0是f(z)g(z)的m+n级极点.

④对[f(z)]k，k∈N，z0是[f(z)]k的mk级极点.

3　结论

复变函数的极点判定，通常具有较多方法例如级数法、表示法和零点法等可供选择，其方法主要依赖于复变函数的具体形式.正确判定极点级数，一方面需要对各种判定方法的特点和适用性有所了解，另一方面需要通过练习根据函数特点，具有针对性地选择合适方法.

参考文献：

〔1〕西安交通大学数学教研室.复变函数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1996.

〔2〕盖云英，包革军.复变函数与积分变换（第二版）[M].北京：科学出版社，2007.

〔3〕李茂才，李汝烯，拓行.浅析以复变函数零点性质确定极点阶数的方法[J].贵州教育学院学报（自然科学版），2009(6):7-8.

〔4〕王文琦.确定复杂复变函数极点阶数的一种方法[J].山西大同大学学报（自然科学版）,2012(2): 3-4.

收稿日期：2015-11-17

中图分类号：O174.5

文献标识码：A

文章编号：1673-260X（2016）04-0003-02