考虑乘客出发时刻的城市轨道列车时刻表优化

朱宇婷， 毛保华， 史芮嘉， 戎亚萍， 赵欣苗

（1.北京交通大学 交通运输学院，北京 100044；2.北京交通大学 城市交通复杂系统理论与技术教育部重点实验室，北京 100044）

列车开行方案作为城市轨道（以下简称城轨）交通运营组织工作的重要组成部分，是协调各部门工作、保证客运服务质量和经济效益的前提与基础。因此，如何制定合理的列车开行方案成为广大专家学者的研究重点。

国内外对城轨列车开行方案优化问题展开许多研究。文献［1］建立列车开行方案多目标优化模型，分步确定列车编组长度及各阶段列车开行数量；文献［2］建立基于弹性需求的多目标双层规划模型，对不同时段内的列车开行对数进行优化；文献［3］以列车实载率最大为目标，建立列车日班次运行计划的优化模型；文献［4］以各方式成本和外部成本最小为目标，建立地铁发车间隔的数学优化模型；文献［5］以乘客及运输企业成本最小为目标，以乘客需求、列车追踪间隔和可用车底数为约束，构建城轨交通大小交路模式下的列车开行方案双目标规划模型；文献［6］对城轨列车运行图计算机编制方法进行研究，并给出行车间隔、车底数量、运行周期等重要参数的计算方法。但上述文献多以小时OD客流量或小时断面客流量为输入条件，对客流需求的时变特征考虑不足，从而限制模型的优化效果。

为进一步提高城轨交通服务水平，一些研究将客流需求的时变特性纳入开行方案优化中。文献［7］以详细的客流到达分布为输入条件，以乘客等待时间最小为目标，建立城轨列车开行方案优化模型，以优化始发站列车发车时刻；文献［8］在文献［7］的基础上，增加运输供给水平等约束条件，并给出更为通用的乘客感知等待时间计算方法；文献［9］进一步对模型进行扩展，将其运用到跨站列车开行方案优化上；文献［10］以时变客流需求为输入条件，构建3个城轨列车开行方案优化模型，即不考虑容量约束的非均衡开行方案优化模型、考虑容量约束的非均衡开行方案优化模型以及考虑容量约束的均衡开行方案优化模型，并对3个模型的优化效果进行对比分析；文献［11］在同时考虑列车及站台容量约束的基础上，建立考虑客流时变特性的列车发车时刻优化模型；文献［12］考虑列车运行时间、停站时间等不确定性后，以乘客到达分布规律为输入条件，建立城轨始发站列车发车时刻优化模型。然而，上述文献均假设乘客的到达分布已知且相对稳定，现实中难以成立。文献［13－15］表明，公共交通的开行方案将对乘客的出行选择行为产生一定影响，尤其在高峰时期，受列车容量的限制，为在期望时刻到达目的地，乘客将根据列车开行方案及其他乘客的出行安排调整自身的出发时刻。

本文以上述研究成果为基础，通过引入时空拓展网络，将列车时刻表优化问题转化为弧容量设定问题，在充分考虑乘客出发时刻选择行为的基础上，构建双层优化模型及相关求解算法，从而实现城轨交通时刻表的优化。

1 问题描述及网络结构抽象

1.1 问题描述

某城轨线路共有n个车站，用N表示线路上的车站集合，NTr表示该线路上的换乘车站集合，有NTrN。所有列车由始发站1发车，经由车站2，车站3，…，车站n－1等，最终抵达终点站n。

令（Ts，Te］表示城轨列车运营时段。该时段内有一定数量的列车由始发站发车，且有确定数量的乘客从起点oi（i∈｛1，2，…，n－1｝）出发，前往车站i乘坐城轨列车，并希望在期望时刻到达目标车站j（j∈｛i＋1，i＋2，…，n｝）后前往终点dj。由于城轨线路部分车站为换乘车站，同时服务于一般到达客流和换乘客流，而这两类客流的到达特性存在明显差异，即一般到达客流的到达分布在时间上表现出一定的连续性，而换乘客流则随列车的到达呈现脉冲式的到达规律。为更好地考虑两类客流的出行特性，进一步将乘客起点oi分为两类，即一般出行起点oi，1和换乘出行起点oi，2。显然，当且仅当i∈NTr时，换乘出行起点oi，2才存在客流需求。令O、D 分别表示乘客出行起、终点集合，OUntr表示一般出行起点集合，OTr表示换乘出行起点集合，有oi，1∈OUntrO，oi，2∈OTrO，di∈D。同时，为便于建模，将各OD对间的乘客按目标车站的期望到达时刻进行分组，令g为乘客分组号索引。城轨线路及乘客起讫点示意图，见图1。

图1 城轨线路及乘客起讫点示意图

1.2 网络结构抽象

乘客的出行过程不仅具有空间属性，还具有时间属性。为更清晰地描述乘客出行过程，对乘客起讫点及车站节点进行时间拓展，构建时空拓展网络，见图2。

定义时空拓展网络G＝（V，E）。V为节点集合，包含出行起点集合i∈N，m∈［1，2］，t∈（Ts，Te］｝、出行终点集合i∈N，t∈（Ts，Te］｝以及虚拟站点集合Te］｝。式中：和分别为t时刻的出行起点oi，m、出行终点di以及城轨交通车站i；E 为弧集合，包含列车运行弧、乘客走行 弧 Ewalk＝∈ O′，it′∈ N′｝∪及乘客等待弧Ewait＝乘客通过弧（i，j）∈E 的费用为ci，j。

基于建立的时空拓展网络，列车时刻表优化问题可等价为运行弧的容量设定问题，即当t时刻有列车自始发站发车时，将所有与该次列车相关的运行弧的容量设为列车容量，反之，设为0。

基本假设为：

假设1 乘客严格按照“先到先服务”的原则排队乘车；

假设2 列车载客能力相同，且运行过程中不允许出现在车人数大于列车最大载客能力的情况，即当在车人数达到列车最大容量时，车站剩余乘客将无法搭乘该次列车，而需排队等待下次列车；

图2 时空拓展网络示意图

根据假设2，同一OD对且具有相同出发时刻的乘客在图2所示的时空拓展网络图中也可能分配到不同 的 出 行 路 径 上 。 令表示在t时刻出发的OD对od 间第g 组乘客的人数；表示t时刻出发的OD对od间第g组乘客的出行路径集合，有k∈

假设3 不考虑乘客走行时间。

2 列车时刻表双层优化模型

城轨运营组织涉及需求明显不同而又相互影响的两类决策者，即供给方（运营决策部门）及需求方（乘客）。运营决策部门需要根据乘客的出行需求制定相应的列车时刻表，最大限度地降低系统总费用；而乘客则根据列车时刻表对出发时刻进行调整，最大限度地降低出行成本。因此，为更加清晰地描述供需双方的相互作用，采用双层优化模型［16］进行建模。

2.1 上层模型

上层模型以供需双方的综合费用最小为优化目标，即追求运营总成本及乘客出行成本之和为最小。

（1）运营成本

与列车时刻表相关的运营成本主要包括车辆使用费和车辆运营费。其中，车辆使用费指车辆使用过程中产生的损耗费、折旧费等；车辆运营费指车辆运营过程中产生的电费、人工费等。运营总成本为［17］

式中：α为车辆单位运营时间使用费，近似等于车辆购置费用与车辆使用时限的比值，元·（车辆·h）－1；β为车辆单位走行公里运营费，近似等于车辆运营过程中产生的电费、人工费等与车辆走行公里的比值，元·（车辆·km）－1；b 为列车编组长度，辆；r1，n为车站1到车站n的列车运行时间；L为城轨线路长度；xt为0－1决策变量，当t时刻有列车从始发站发车时取值为1，否则取0。

一般而言，由于基本运营条件（如线路坡度、曲线半径、站间距等）不同，不同运营线路的车辆使用费用和车辆运营费存在差异。因此，进行具体线路优化时，根据实际情况，调研核定相关参数的取值。

（2）乘客出行成本

乘客出行成本主要包括城轨交通票价、候车时间换算费用、乘车时间换算费用、乘客的早到／晚到惩罚费用以及早出发惩罚费用。

候车时间换算费用指乘客等车过程中感知到的出行费用，在时空拓展网络上表现为乘客经过乘客等待弧产生的费用为

式中：cit，it′为乘客通过乘客等待弧（it，it′）∈Ewait产生的候车时间换算费用，元；η1为乘客的候车时间价值，元／h；（t′－t）为乘客等待弧（it，it′）的弧长。

乘车时间换算费用是指乘客因乘车时间消耗而感知到的出行费用，在时空拓展网络上表现为乘客经过列车运行弧产生的费用。列车实际运行时间是影响乘车时间换算费用最主要的因素，但文献［18］认为，车内拥挤将造成乘客乘车时间的感知偏差，进而影响乘车时间换算费用的感知结果。因此，乘客通过运行弧（it，jt′）∈Erun的费用为

式中为乘客通过弧（it，jt′）产生的乘车时间换算费用，元；η2为乘客的乘车时间价值，元／h；ri，j为车站i、j（i，j∈N）间的列车运行时间；为运行弧（it，jt′）与t″时刻从始发站发车列车的关系，当该次列车经过弧（it，jt′）时，令，否 则 为 0为 列 车运行弧（it，jt′）的拥挤系数，计算方法为［18］

式中：fit，jt′为弧（it，jt′）上通过的乘客人数，人；S1、S2分别为车辆座位数及额定载客人数，人／辆；γ1、γ2为拥挤费用修正系数。

拥挤为乘客带来的不仅是乘车时间感知的偏差，当拥挤达到一定程度后，乘客将面临因列车满载而滞留等待下一次列车的情况。该过程在抽象网络中可描述为乘客无法通过达到容量上限的列车运行弧，而当面临该问题时，只能通过乘客等待弧转至下1条列车运行弧出行。

早到／晚到惩罚费用指乘客在期望到达时刻以外的时刻到达目的地感知到的惩罚费用［14］，即乘客实际到达时刻距期望到达时刻越远，感知到的惩罚费用越高。因此

式中：pt（o，d，g）为 OD 对od 间第g 组乘客在t时刻到达目的地感知到的早到／晚到惩罚费用，元；η3、η4分别为乘客早到和晚到的单位时间惩罚成本，元／h（g）为OD对od间第g组乘客的期望到达时刻。

早出发惩罚费用指乘客在期望的最晚出发时刻之前出发产生的惩罚费用，即乘客出发时刻越早，感知到的惩罚费用越高，为［14］

式中为OD对od间第g组乘客在t时刻出发的早出发惩罚费用，元；η5为乘客早出发产生的单位时间惩罚成本，元／h（g）为OD 对od间第g组乘客的最晚出发时刻，有（g）＝t＊od（g）－rod。

由于乘客的早到／晚到惩罚费用及早出发惩罚费用分别发生在乘客到达目的地及从起点出发的瞬间，即属于节点费用，为便于计算，将上述两个惩罚费用合并到乘客走行弧费用中，则根据假设3，有OD对oi，mdj间第g组乘客通过走行弧的费用为

式中和分别为乘客通过弧，it′）和（jt，）产生的惩罚费用。

对于非换乘客流而言，任意t时刻出发的OD对od（o∈OUntr）间第g 组乘客的出行总成本C1t（o，d，g）为

式中：πko，d，g，t（）为t时刻出发的OD对od间第g组乘客通过路径k的人数，人；υ为城轨交通票价，元。

对换乘客流，由于只能随列车到达而到达。因此，无法选择换出线路列车到达时刻以外的时刻出行，则任意t时刻出发的OD对od（o∈OTr）间第g组乘客的出行总成本C2t（o，d，g） 有

式中：Ttableo为o（o∈OTr）站乘客换出线路的列车到达时刻集合。

（3）建立上层模型

以运营成本及乘客出行成本之和最小为目标，建立上层优化模型

式中：hmax、hmin分别为列车最大、最小发车间隔；HF为首班车最晚发车时刻；HL为末班车最早发车时刻；θ为车辆最大载客率。式（10）为乘客和运营单位综合费用最小；式（11）、式（12）为发车间隔上下限约束；式（13）、式（14）分别为首、末班车发车时间约束；式（15）为运输供给约束，即各区间运营能力不得小于各区间出行需求；式（16）为0－1整数决策变量的逻辑约束。

2.2 下层模型

下层模型为考虑乘客出发时刻选择的动态配流模型。轨道交通中，乘客总是希望选择出行成本最小的出发时刻出行，然而随着选择某出发时刻的乘客数量增加，乘客滞留等待时间及出行拥挤程度增加，从而导致出行成本上升，进而促使乘客重新选择。因此，与道路交通均衡配流问题类似，城轨交通客流出发时刻选择可以描述为相互反馈的动态平衡过程。根据Wardrop第一原理，平衡状态描述为在所有可供选择的出发时刻中，乘客选择的所有出发时刻的出行费用相等，且不大于未被选择的出发时刻。基于文献［14－15］，建立下层模型目标

式中：Y1为变量yt（o，d，g）（o∈OUntr）组成的向量；Y2为变量yt（o，d，g）（o∈OTr）组成的向量；C1（Y1）和C2（Y2）分别为向量Y1和Y2对应的费用向量；γ为向量Y1和Y2组成的集合，有

其中，qod（g）为OD对od 间第g组乘客包含的总人数。

同时，时间拓展网络中各OD流量、路段流量以及路径流量满足以下约束条件

式中为弧与路径的关联变量，当弧（i，j）在t时刻出发的OD对od间第g组乘客通过的路径k上，则＝1；否则为0。

式（18）决定弧与路径之间的相关关系；式（19）决定t时刻出发的OD对od间第g组乘客的人数，同时决定由换乘出行起点出发的乘客不能选择换出线路列车到达时刻以外的时刻出行；式（20）为容量约束，保证各运行弧的实际客流量不超过最大载客率；式（21）～式（23）为非负约束，保证不同时刻出发的客流量、所有路径流量以及所有弧流量为非负值。

虽然本文建立的轨道交通网络动态配流模型与道路交通网络动态配流模型具有相同的建模思路，但两者在具体配流过程中存在较大差异，主要表现在以下3个方面：

（1）载运工具运动规律不同。道路交通网络中，载运工具（小汽车）主要按照乘客出行意愿活动，其配流过程为将小汽车分配至各网络路段上。轨道交通网络中，载运工具（列车）的运动过程不以乘客的出行意愿为转移，而是完全按照时刻表规律性运动，配流过程为将乘客分配到不同的列车上，也可描述为将乘客分配到不同的列车运行弧上；

（2）配流优先次序不同。道路交通网络中，出行者按照到达时间顺序的先后具有不同的优先权，而轨道交通网络的配流优先权不仅体现在时间层面上，更体现在空间层面上，即上游车站客流相较于下游车站享有更高的优先权；

（3）拥挤产生的延误效果不同。道路交通网络中，拥挤主要引发路段运行时间的延长；而轨道交通网络中，拥挤不影响路段运行时间，而影响乘客感知出行时间及因列车满载产生的乘客滞留等待时间。

基于上述分析，建立客流分配原则：优先分配上游车站客流；相同车站，优先分配早出发客流；当列车运行弧达到容量上限时，该弧段将无法进一步加载客流，车站剩余乘客将通过等待弧分配至下一条列车运行弧。

模型可行解证明及详细配流过程见文献［14－15］。

3 求解算法

城轨列车时刻表优化问题的求解规模极易膨胀，若采用传统的最优化算法，求解结果及收敛速度均难以达到应用需求。遗传算法以生物进化为原型，具有良好的全局搜索能力和可并行性，能够在指定时间范围内寻得最优解。因此，本文采用遗传算法对建立的模型进行求解。

模型求解思路：对上层模型的决策变量进行编码，并作为已知条件输入下层模型，通过MSA算法，计算乘客出发时刻集合，再将该集合作为辅助变量输回上层模型，求得相应的适应度函数值，最终，经过选择、交叉和变异等操作，得到模型最优解。

3.1 MSA算法计算过程

采用MSA算法对下层模型求解，具体步骤：

Step1 令Y［0］＝0，计算C（Y［0］），得到 OD 对od间第g组客流的初始出发时刻t＊［1］，令k＝1，赋值＝qodg（），得到向量Y［1］；

Step2 计算C（Y［k］）。重新选择OD对内各组客流的出发时刻t＊［k］，构造附加向量；

Step3 收敛判断。如果ε，则计算结束；否则，令Y［k＋1］＝k＝k＋1，返回Step2。

3.2 遗传算法关键步骤设计

（1）染色体编码及初始染色体生成

由于模型决策变量xt为0－1变量，因此，直接采用0－1二进制编码方式对染色体进行编码。同时，为简化求解难度，对时间变量t进行离散化处理，即将其转化为（Te－Ts）／δ个离散的时间节点。其中，δ为离散时间间隔。则染色体可表示为（ω1，ω2，…，ωm，…，ω（Te－Ts）／δ）。其中，ωm为第m 个基因的决策结果，即“ωm＝1”表示第Ts＋mδ时刻列车发车，“ωm＝0”表示不发车。

另外，受约束（10）～约束（14）限制，可行解空间相对有限，随机生成的解极易出现发车间隔过小或过大的情况，进而大大降低有效初始种群的获取速度。为防止该现象，提出初始染色体生成方法为

Step1 令θ1＝1，θ2＝（HF－Ts）／δ；

Step2 从第θ1至θ2个基因中随机选择某基因位置a，并将ωa赋值为1，第θ1至a－1个基因赋值为0；

Step3 若a＋hmin／δ＞（Te－Ts）／δ，则结束，否则转Step4；

Step4 令

θ1＝a＋hmin／δ

θ2＝min｛a＋hmax／δ，（Te－Ts）／δ｝转Step2。

（2）适应度函数值确定

构建的模型为最小化优化。因此，在每次迭代运算中，根据式（9）计算得出模型目标值后，需要通过下式进行转化

式中：Evalν为染色体v的适应度；为染色体v的目标值为染色体种群规模。

由式（24）可以发现，模型目标值越小，适应度函数值越大，个体染色体质量越优。

（3）选择操作

采用“轮盘赌”策略从父代染色体种群中选出子染色体。具体步骤为

Step1 令P0＝0，计算每个染色体v的累积选择概率Pv，则

Step2 随机生成实数a∈（0，1］，将其与累积选择概率Pv进行对比，选出第v个染色体（满足Pv－1＜a≤Pv）加入子染色体种群。如此重复，直至选出pop＿size个子染色体。

（4）交叉操作

确定染色体交叉概率pc，从染色体种群中选择2个染色体，随机生成实数a∈（0，1］，若a≤pc，则再随机生成1个整数d∈［1，（Te－Ts）／δ］，将2个染色体的第d至（Te－Ts）／δ个基因进行对位互换，获得2个新的子染色体。

（5）变异操作

确定染色体变异概率pm，选择1个染色体，随机生成实数a∈（0，1］；若a≤pm，则再随机生成1个整数d∈［1，（Te－Ts）／δ］，令ωd＝1－ωd。由于受发车间隔的限制，染色体中值为0的基因个数远多于值为1的基因个数，若完全随机的对变异基因进行选择，则变异基因从0变为1的概率将远大于从1变为0的概率，即变异方向将以增加列车开行对数为主。为均衡变异方向，使得变异过程中，列车开行对数增加和减少的概率一致，提出变异基因的选择方法为随机产生实数a′∈（0，1］，若a′≤0.5，则从值为0的基因中随机选择1个基因；反之，从值为1的基因中随机选择1个基因。

3.3 算法步骤

Step1 初始化。设定种群规模、交叉概率、变异概率、最大进化代数及MSA算法的收敛精度，生成初始种群，置进化代数为0；

Step2 通过MSA算法推算各染色体对应的乘客到达分布，并以此为基础，计算染色体适应度；

Step3 根据染色体适应度及“轮盘赌”原则，以较大概率选出父代中具有高适应度的染色体组成子代染色体种群；

Step4 根据交叉概率及交叉原则，按染色体编号依次选择2个染色体进行结合，以产生具备双亲特性的染色体后代；

Step5 根据变异概率及变异原则，对染色体实施变异，以产生新的染色体；

Step6 终止判断。若达到最大进化代数，计算结束，输出最优解，否则，进化代数加1，转Step2。

4 数值算例

4.1 参数输入

选择案例：线路全长33km，共包含7个车站，列车由始发车站1发车，经由车站2、车站3、…、车站6，最终抵达终点站7，见图3。设定车站4为换乘车站，换乘衔接线路在7：00～20：30间以10min为间隔向车站4运送乘客。线路区间运行时间相同，均为8 min。出行总需求为213 600人次，各OD详细出行需求及期望到达时刻见表1。其中，车站4有50%的出行需求为换乘需求。要求首班车发车时间6：30，末班车发车时间21：00。取b＝6辆，S1＝42人／辆，S2＝245人／辆，α＝1元／（辆·min），β＝30元／（辆·km）［2］。根据文献［19－20］，取η1＝45元／h，η2＝30元／h，η3＝10元／h，η4＝30元／h，η5＝6元／h。全程统一票价为2元。其他参数见表2。

图3 算例线路图

表1 乘客出行需求

表2 算例参数取值

4.2 求解结果

通过Matlab 2010b编程实现模型与算法的求解过程，参数取值：种群规模40、交叉概率0.9、变异概率0.2、最大进化代数70、MSA 算法的收敛精度（ε）0.01。经实验发现，在Intel（R）Celeron（R）CPU G1620＠2.70GHz，RAM 2.00GB的运算环境，优化算法耗时23.4h，能够在43代后开始收敛，收敛过程见图4。

图4 遗传算法收敛过程

图5为优化得到的列车时刻表。该时刻表共计安排138次列车。其中，首班车发车时刻6：30，末班车发车时刻21：00。同时，为展示MSA算法的收敛性，以最优列车时刻表为例，给出算法收敛情况，见图6。

图5 最优列车时刻表

图6 最优列车时刻表下的MSA算法收敛过程

为验证模型的优越性，表3列出不同优化方法得到的最优列车开行列数（F）、企业运营成本（z1）、乘客出行总成本（z2）及系统总成本（ZU＝z1＋z2）。最大断面法对应的最优列车发车时刻表，在满足基本约束（10）～约束（13）的基础上，以“满足小时最大断面客流量”、“列车平均满载率在［80%，90%］区间内”为原则计算得到。单层优化法是指不考虑列车时刻表对乘客出发时刻反馈的优化方法，即假定乘客到达分布已知且稳定，本文以最大断面法算得的时刻表对应的乘客到达分布为输入进行优化。

表3 不同优化方法的结果对比

从表3可以发现，优化后的列车发车时刻表虽然在一定程度上增加运营费用（比最大断面法高出21.1%），但有效降低乘客出行费用（分别比最大断面法和单层优化法得到的乘客出行费用降低7.6%和1.7%）及系统总费用（分别降低3.6%和1.5%）。说明本文提出的优化模型具有一定的优越性。

本文优化模型中，乘客期望到达时刻是影响列车时刻表的重要因素。因此，当其他参数不变的前提下，对表1中以8：00为期望到达时刻的乘客进行重新分组，以观察不同乘客期望到达时刻分组下最优开行方案及相关费用的变化情况。表4和图7给出具体分组情况及与之相对应的最优时刻表。考虑到重新分组后的乘客均分布在6：30～7：30从始发站出发的列车上，而其他期望到达时刻的乘客均分布在7：30之后出发的列车上，即两者之间不存在相互影响。因此，表4和图7仅对6：30～7：30出发的列车进行讨论，z1、z2和ZU也仅针对上述列车进行统计。

对表4和图7进行分析，可以发现：

（1）乘客期望到达时刻对列车时刻表具有显著影响，从图7可以看出，不同情景下的最优列车时刻表呈现出明显的不同，说明精准细致的客流调查是制定优质列车开行方案的基础。

表4 不同期望到达时刻分组及其对应的优化结果

图7 不同情景下的最优时刻表及各次列车的满载率情况

（2）随乘客期望到达时刻离散化程度的提高（即由情景1的1组过渡到情景3的3组），列车超载与低载客现象减少，见图7。情景1中列车满载率大于100%的运行区间数有11个，满载率小于30%的运行区间数有31个；情景2中列车满载率大于100%的运行区间数有6个，满载率小于30%的运行区间数有23个；情景3中列车满载率大于100%的运行区间数有5个，满载率小于30%的运行区间数有21个。

（3）综合费用、乘客出行总费用及运营费用随乘客期望到达时刻离散化程度的提高而下降，见表4。与情景1相比，情景2和情景3的综合费用分别下降7.9%和10.6%，乘客出行总费用分别下降8.1%和11.4%，运营费用均下降7.1%。

5 结论

本文的主要工作及研究结论为：

（1）针对单条城轨线路，通过构建时空拓展网络，将列车开行方案优化问题转化为弧容量设定问题；在充分考虑乘客出发时刻选择行为的基础上，构建城轨列车时刻表双层优化模型。上层以运营单位及乘客综合费用最小为目标，建立列车时刻表优化模型；下层在考虑列车容量强约束的基础上，建立考虑乘客出发时刻选择的均衡配流模型。

（2）根据模型特点设计遗传算法和MSA算法对上、下层模型进行求解，并通过算例验证模型及算法的有效性。结果表明，遗传算法和MSA算法均能快速收敛；且与最大断面法和单层优化法相比，本文模型具有一定的优越性，优化得到的时刻表能够比较有效地降低乘客出行费用、减少系统总费用。相关部门在制定列车时刻表时，可以通过考虑列车时刻表与乘客出行需求之间的相互影响，合理预测不同时刻表下的乘客出发时刻分布规律，进而达到提高服务水平、降低系统总费用的目的。

（3）对乘客期望到达时刻进行灵敏度分析，结果显示，乘客期望到达时刻对列车时刻表具有显著影响，说明精准细致的客流调查是制定优质列车开行方案的基础，相关部门在制定列车时刻表前，宜做好客流调查工作；随乘客期望到达时刻离散化程度的提高，列车超载与低载客现象减少，综合费用、乘客出行总费用及运营费用有所下降，说明在离散化乘客期望到达时刻（如错峰上下班等）的同时，调整列车时刻表，将有助于提高乘客出行效率、降低企业运营成本。

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