慧眼识“隐”跳出“陷阱”

☉江苏省海门实验学校邱明朗

慧眼识“隐”跳出“陷阱”

☉江苏省海门实验学校邱明朗

在数学命题上，命题人为了考查同学们的理解能力、应变能力、知识迁移能力，经常围绕题设条件设置一些隐的“陷阱”，这些隐含条件往往是学生很难发现的，如果我们不认真思考、斟酌，就会掉入命题人的“陷阱”，这些隐的“陷阱”也就真的“含而不露”了.

本文拟展示若干学生误入“陷阱”的错解，暴露其错解思维过程，剖析其错解原因，给出一些揭示隐含条件，跳出陷阱的方法.

一、透过表象，探究本质

剖析：错解的原因是没有将隐含条件Δ≥0挖掘出来，忽视了a的应用范围.

例1已知α、β是方程x2+4（a+1）x+6a2-38=0的两个实根，求α2+β2的最小值.

对策：夯实基础，培养观察问题、分析问题的能力，能透过表象挖掘出所需的隐含条件，抓住问题的本质.

二、解后反思，防错避漏

例2已知sinθ、sin2x、cosθ成等差数列，sinθ、sinx、cosθ成等比数列，则cos2x的值为（）.

对策：智者千虑，也有一失，因此，思维要全面，解后要反思，如反思条件有无疏漏，一解还是两解等问题，力求解答正确.

三、饮水思源，不忘定义

错解：由条件知，动点M（x，y）到定点P（sinα，cosα）的距离等于动点M到定直线的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以P为焦点、定直线l：xsinα+ycosα-1=0为准线的抛物线.

剖析：错解的原因是没有理解抛物线定义中隐含的已知条件：定点不在定直线上.

正解：因为定点P（sinα，cosα）在定直线l：xsinα+ ycosα-1=0上，所以点M的轨迹是过定点P且垂直于定直线l的一条直线：y-cosα=cotα（x-sinα）.

对策：对概念、公式的理解要深刻，特别是一些限制条件，必须理解到位.

例4已知A（-2，0），B（2，0），在平面上动点C是周长为10的三角形ABC的一个顶点，求点C的轨迹方程.

错解：由已知得|CA|+|CB|+|AB|=10，而|AB|=4，所以|CA|+|CB|=6，所以由椭圆的定义知，点C的轨迹方程是

剖析：错解的原因是没有看到A、B、C三点不共线.

正解：由已知得|CA|+|CB|+|AB|=10，而|AB|=4，所以|CA|+|CB|=6，所以由椭圆的定义知，点C的轨迹方程是B、C三点不共线，故点C的轨迹方程

对策：在求事先不知道类型的曲线方程问题时，许多同学在求出方程后匆匆做答，忽视了求曲线方程的最后一步——检验方程，而这最后一步往往是揭示隐含条件的关键.

四、全盘考虑，完善思维

例5求过定点P（0，1）与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程.

剖析：错解的原因是误认为直线斜率存在且不为0.

1=0.因为直线与抛物线只有一个公共点，所以Δ=4（k-1）2-

当直线斜率为0时，直线x=1也符合题意.

当直线斜率不存在时，直线x=0也符合题意.

对策：要善于归纳总结典型错误.解析几何往往与函数、三角、不等式、向量等知识融合，导致隐含条件增多，或隐含在公式成立的条件之中；或隐含在题目之中；或隐含在解题过程之中.因此，要全面分析题目中的隐含关系，洞察与挖掘题目中的隐含条件，保证解题畅通无阻.

五、熟悉通法，打破局限

剖析：错解的原因是在解题过程中认可了直线l与双曲线有两个交点.

正解：实际上，直线l与双曲线不一定有两个交点，必须验证，由y=2x-1与1联立，消去y得2x2-4x+3= 0，Δ=16-4×2×3=-8＜0，所以直线l与双曲线没有交点，故假设不存在，所以不存在满足题设条件的直线l.

对策：在解题方法或解题过程中，注意隐含其中的“陷阱”，必须挖掘出来，如直线与二次曲线交点个数问题，利用判别式法判断等.

六、挖掘隐含，明确范围

对策：研究函数问题优先考虑定义域，这是不变的规则，通过对题目约束条件的挖掘，摄取所需变量的取值范围.

由于篇幅所限，在此不再赘述，更多还在于同学们自己去探索、归纳，进而提升挖掘隐含条件的能力，快速准确地解题.F