特殊值法，高中数学解题的一剂良方

2016-05-15江苏省梁丰高级中学苗学雷

中学数学杂志 2016年7期

☉江苏省梁丰高级中学苗学雷

特殊值法，高中数学解题的一剂良方

☉江苏省梁丰高级中学苗学雷

特殊值法在数学解题中运用比较广泛，它是一种通过个性分析来解决实际问题的一种思维方式.随着课程改革的深入，老师要想丰富整改自己的数学课堂，就要引用多种手段以更多的方式来美化课堂，升华教育.特殊值法可以帮助学生开拓解题思路，让他们通过特殊点发现平时正常思维所见不到解题途径.这是一种一旦利用上就会将题目变得极为简单的解题思维，能够极大地提高学生的解题速度；特殊值法是解决数学难题的一把利器，老师要在课堂上教导学生如何利用好这把利刃，用利器为解决数学题谋求最大的便捷.笔者具有多年数学教学经验，就如何教导学生利用特殊值法解题具有一定的研究.下面就此谈几点看法，希望对学生和同样工作在教育一线的教师有所帮助.

一、特殊角度，合理变换

特殊值法的应用极为广泛，尤其是涉及某些特定值时，如果学生把握的好，经常会收到意想不到的效果，大大加快解题的速度.在一些角度的证明或者求解的题目中，特殊值法能够使问题变得简单易解.高中数学中与角度相关的题目类型也很多，涉及的数学思想更是数不胜数，所以学生要明确每一种数学思想的使用方式及适用范围.而特殊值法往往是让题目的求解过程变得简易，经常会起到简化过程的作用.在下面这道题的解题中我们就能够领悟到特殊值法的妙用.

点评：从整个解题过程来看，公式变化十分复杂，给不少学生带来麻烦，一不小心跌入“死胡同”，在实际解题中，多数学生难以得出准确的结论；这里不妨考虑特殊值的方法，我们可以设A=B，即三角形为等腰锐角三角形.题中的关系得以简化，计算过程相对简单得多，学生出现错误的几率较小，这就是特殊值法最大的好处，帮助学生减少计算压力，并且准确率极高.其实特殊角度的应用，也离不开角度的变换公式.只有将所求进行合理的变换，才会使问题最简单化.学生解决起来才会无往而不利，获得最有效的解题方法.

二、函数构造，优化解题

构造法是高中数学解题的法宝之一，在各类题型中都可以随机应用，达到化简题目的作用.在高中数学不等式问题中，若能巧妙构造特殊函数，往往能够收到“事半功倍”的效果.

这些特殊函数的构造需要学生自己努力去发现，进而形成新的思想迸发，出现完美的解题套路.

例2若-2≤a≤2时，不等式ax2-2x-a+1＜0恒成立，求x的取值范围.

解析：将ax2-2x-a+1＜0变形为a（x2-1）-2x+1＜0.

当x=-1时，-2（-1）+1=3＞0，原不等式不成立；

当x=1时，-2×1+1=-1＜0，原不等式成立；

当x≠±1时，构造一次函数f（a）=（x2-1）a-2x+1，则

点评：本题解题关键在于根据问题特征构造特定的一次函数，将主元进行有效转化，利用一次函数的性质轻松处理好问题，巧妙地避免了分类讨论的繁杂性，优化了数学解题的过程，有助于学生思维品质的培养；同时也提醒我们数学教师在解题教学中，引导学生灵活运用所学数学知识和数学思想，为自己的解题谋求最大的便捷；当然，特殊函数的构造一定要满足要求，学生切忌不可胡乱编造，那样得出的结论肯定是错误的.

三、特殊检验，巧证命题

特殊值检验法通常被认为是快速解决数学选择题的法宝，其实在一些函数证明题中特殊值检验法也屡见不鲜；在特殊值代入检验中发现解题的突破口，激发学生思维的灵感，获取解题的捷径.

例3已知函数f（x）=-x4+3ax+b且满足函数y=f（x）

点评：本题的题设信息并不太多，若采取正面的直接探究函数的最值问题，难度可想而知，何况函数表达式中含有字母常数（a、b）给直接判断函数最值的处理方式增添不小的障碍；这里可以选择“正难则反”的方式进行处理，借助于特殊值代入进行检验，获得假设与题设信息之间的矛盾，从而得以证明！题中特殊表达f（1）+ f（-1）-2f（0）=-2是解题的关键点和突破口；体现了特殊值法是有效的解题技巧和方法，也是数学知识方法的灵活应用.