“一题多解、小题大做”锻炼思维品质

☉江苏省平潮高级中学保正玉

“一题多解、小题大做”锻炼思维品质

☉江苏省平潮高级中学保正玉

“小题大做”，是我们平时在解题训练中要养成的一个习惯.“小题”不仅仅是指填空、选择这类小巧灵活的客观性题型，也指比较容易掌握和解决的题；“大做”则是对这样的“小题”一定要重视，“小题”是学习和掌握基础知识与基本技能的极好载体，通过解剖“小题”，更有利于掌握基础，也是攻克大题目、难题目必不可少的阶梯.本文试图从一题多解和一题多变两个方面“小题大做”，以期对读者有所帮助.

小题：不等式x2+（m-1）x+1≥0对一切x∈（0，2］都成立，则m的取值范围是_________.

本题为含参一元二次不等式在给定区间上恒成立问题.此类问题是不等式的重要题型，也是我们经常会遇到问题，由于其中既含有参数又含有变量，能有效考查同学们分析问题、解决问题的能力.

一题多解，织“法”成网，串“解”成链，“小题”大做，借题发挥，既可以培养我们的发散思维能力，又可以提高我们的创新能力.

一、从集合的角度切入

思路导航1：若不等式f（x，m）＞0的解集为B，对任意x∈A，则不等式f（x，m）＞0⇔A⊆B.

解法1：若判别式Δ=（m-1）2-4≤0，即-1≤m≤3时，不等式x2+（m-1）x+1≥0对一切x∈（0，2］都成立.

若Δ=（m-1）2-4＞0，即m＜-1或m＞3时，不等式x2+（m-使不等式x2+（m-1）x+1≥0对一切x∈（0，2］都成立，只需（0，2］⊆

综上可知，m的取值范围是［-1，+∞）.

解题反思：分判别式Δ≤0和Δ＞0两种情况讨论，不等式ax2+bx+c＞0对任意实数x恒成

二、从方程的思想切入

思路导航2：不等式x2+（m-1）x+1≥0对一切x∈（0，2］都成立⇔方程f（x）=x2+（m-1）x+1=0无实根、两等根、两不等根小于或等于0、两不等根大于或等于2.

解法2：若方程无实根，则判别式小于0，即（m-1）2-4＜0，解得-1＜m＜3.

若方程有两个相等实根，则判别式等于0，即（m-1）2-4=0，解得m=-1或m=3.

若方程有两个不相等实根，且两根大于或等于2，则

综上可知，m的取值范围是［-1，+∞）.

解题反思：充分借助图像，利用二次函数、二次方程和二次不等式三者之间的关系，是求解的关键.

三、从函数的思想切入

思路导航3：运用函数思想将不等式恒成立问题转化为求函数最值，是处理此类问题的重要方法.f（x）=x2+（m-1）x+1，则f（x）≥0对一切x∈（0，2］都成立⇔f（x）在x∈（0，2］上有［f（x）］min≥0.

综上可知，m的取值范围是［-1，+∞）.

解题反思：f（x，m）≥0对x∈A恒成立⇔［f（x，m）］min≥0；f（x，m）≤0对x∈A恒成立⇔［f（x，m）］max≤0.对于较复杂的函数最值问题常可以借助导数法求解.

四、从数形结合的思想切入

思路导航4：如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图像、图形较易画出时，可通过图像、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.f（x，m）＞g（x，m）对x∈A恒成立⇔对x∈A，函数y=f（x，m）的图像恒在函数y=g（x，m）的图像的上方.

解法4：不等式x2+（m-1）x+1≥0对x∈（0，2］恒成立⇔不等式x2+1≥（1-m）x对x∈（0，2］恒成立，在同一坐标系内作出函数f1（x）=x2+1（0＜x≤2）与f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）的图像，则由题意知，函数f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的图像与函数f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）的图像相切或函数f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的图像恒在函数f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）的图像的上方.

当1-m≤0，即m≥1时，函数f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的图像显然恒在函数f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）的图像的上方；

当1-m＞0，即m＜1时，若函数f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的图像与函数f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）的图像相切，则x2+1=（1-m）x，即x2+（m-1）x+1=0的判别式Δ=（m-1）2-4=0，所以m=-1，此时x=1∈（0，2］，所以m=-1时，函数f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的图像与函数f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）的图像相切，易知切点的坐标为（1，2）；若函数f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的图像在函数f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）图像的上方，当且仅当2＞f2（1），即2＞1-m，所以m＞-1，所以-1＜m＜1时，函数f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的图像在函数f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）图像的上方.

综上可知，m的取值范围是［-1，+∞）.

解题反思：数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.利用此方法从几何的角度解不等式恒成立问题，关键是解读不等式所表示的几何意义.

五、从分离参数的思想切入

思路导航5：若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有f（x）＞g（a）恒成立，则g（a）＜f（x）min；若对于x取值范围内的任何一个数，都有f（x）＜g（a）恒成立，则g（a）＞f（x）max.（其中f（x）max和f（x）min分别为f（x）的最大值和最小值.

解法5：不等式x2+（m-1）x+1≥0对一切x∈（0，2］都g（x）在（0，1］上是增函数，在［1，2］上是减函数，

所以［g（x）］max=g（1）=-1，又不等式x2+（m-1）x+1≥0对一切x∈（0，2］都成立⇔m≥［g（x）］max，所以m的取值范围是［-1，+∞）.

解题反思：分离参数法实际就是函数思想的应用，即通过分离得到形如m≤f（x）或m≥f（x）的不等式，从而将不等式恒成立问题通过求函数的最值来解答（变形的目的）.

综上，以上典型例题所给出的解法和分析点评就是处理恒成立问题的“基本方法”.如果在数学学习和解题教学中，引导学生如此展开思考，指导学生如法进行解题实践，那么经过长期训练，就能使学生在潜移默化中养成一种分析思考与归纳总结的习惯.最终，当学生独立面对一类新的恒成立问题的研究对象时，就不会感到无从下手.G