揭示数学本质，发展学生思维能力*——以“导数在研究函数单调性中的应用”教学设计为例

☉江苏省怀仁中学谢建金董荣森

揭示数学本质，发展学生思维能力*
——以“导数在研究函数单调性中的应用”教学设计为例

☉江苏省怀仁中学谢建金董荣森

一、设计理念与意图

本节课以建构主义理论为指导，以新课程理念为依据进行教学设计.在新课导入和学生活动环节中大胆地设计了：由“过山车”视频唤起学生对童年的回忆，画一画（通过操作对已学知识的复习，寓割线逼近切线的方法于其活动之中）、想一想（复习单调性定义和导数定义，为理性分析它们之间的关系做铺垫）、探一探（引导学生探寻导数的符号与函数单调性的关系）.首先要挖掘其知识背景，设置贴近学生实际的情景——在“过山车”时视线的变化，来帮助学生感性认识上升或下降与视线的斜率之间的关系；其次借助超级画板，从几何直观来演示递增与递减时，切线斜率符号变化情况；再结合函数单调性定义和导数定义从理性的角度去探索函数单调性和导数正负的关系.目的是把学习的主动权交给学生，激发学生的学习热情，为学生提供自主、探究、合作交流的机会，真正改变了学生的学习方式.

二、教材与教法分析

导数在高中数学中是一个较新的内容，利用导数可以研究实际生活中的增长率、效率、膨胀率、速度等问题.利用导数来研究函数的单调性是非常具有优越性的，而且也会涉及到最值等问题，具有良好的承上启下的作用.本节的教学内容是导数在研究函数的单调性方面的应用，借助函数图像的直观性探索归纳出函数的单调性与导数正负的关系.教学难点是利用导数在图形中探究函数的单调性，准确判断不同函数的单调区间.

本节课采用启发探究式教学，方法线：“观察体悟—合理猜想—理性分析—一般结论”；过程线：“创设情境、引入新课—主体活动、建构新知—立体互动、解决问题—师生互动、提升能力”；知识线：“单调性、导数定义—导数的正负与单调性的关系—导数在研究函数单调性中应用”，强调数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力，形成良好的思维品质.

三、学法指导

教师是教学的主导，学生是教学的主体.教学矛盾的主要方面是学生的学.学是中心，会学是目的.因此，在教学中要不断指导学生学会学习，学生前面已经学习了函数单调性的基本概念、判断方法，导数的概念以及初等函数的求导公式、导数运算法则为综合应用导数与函数单调性做好充分的准备.但学生学习基础还存在较大的分化，应抓住基本概念，强化基础知识、基本技能、基本方法的训练，循序渐进的提高.因此，在引入和例题的选择上注重梯度、注重类比、注重数学思想，增加学生主动参与的机会，增强学生的参与意识，教给学生获取知识的途径、研究和思考问题的方法，让学生真正成为教学的主体.只有这样，才能让学生“学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”.学生才会逐步感到数学美，体会成功的喜悦，从而提高学生学习数学的兴趣.

四、教学过程设计

（一）创设情境、引入课题

相信大多数同学有过坐“过山车”的经历和体会，媒体播放“过山车”片段.

【画一画】请用割线逼近切线的方法分别画出你坐“过山车”经过A、B位置时视线所在的直线（在A、B点处的切线），领悟在上升和下降过程中视线的变化？（动画演示）

图1

设计意图：通过画一画复习割线逼近切线的方法以及导数的几何意义，联系生活实际（如坐过山车的视线）来加强几何直观，体会在上升和下降过程中，视线所在直线的斜率的变化情况，为揭示导数与函数单调性之间的联系做好铺垫.

（二）主体活动、建构新知

导数作为函数在某一点处的瞬时变化率刻画了函数变化趋势（上升或下降的陡峭程度），而函数的单调性也是对函数变化趋势的一种刻画，那么导数与函数的单调性有什么联系呢？

用超级画板演示曲线上点在运动的过程中，提醒学生注意观察切线斜率符号的变化.

【想一想】函数f（x）在区间（a，b）上是增函数，如何定义的？

对任意x1，x2∈（a，b），当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）；或当x1＞x2时，f（x1）＞f（x2）.

【探一探】导数正负与函数单调性的关系？

由上述定义不难发现x1-x2与f（x1）-f（x2）同号，从而

表明：导数大于0与函数单调递增密切相关.同理，导数小于0与函数单调递减密切相关.

【数学理论】如何用数学语言刻画导数的正负与函数单调性的关系？

图2

【归纳结论1】一般地，对于函数y=f（x），

如果在某区间上f′（x）＞0，那么f（x）为该区间上的增函数；

如果在某区间上f′（x）＜0，那么f（x）为该区间上的减函数；

如果在某区间上恒有f′（x）=0，那么f（x）为常数函数.

设计意图：从函数单调性定义出发，通过一系列的设问，让学生探究单调性定义中和导数之间的相关点，并建立它们之间的联系，重视学生学习过程，加深感性认识.通过画一画、想一想、探一探等，帮助学生确立探究问题、明确探究方向和总结探究步骤，确保探究的有效性，其中借助多媒体辅助教学，增强学生的直观感受和逻辑性.

（三）立体互动、解决问题

例1确定下列函数的单调区间：

（1）f（x）=x2-4x+3；（2）f（x）=2x3-6x2+7.

练习：求下列函数的单调减区间：

（1）f（x）=ex-x；（2）f（x）=xlnx（3）f（x）=sinx，x∈（0，2π）.

设计意图：这一环节，紧扣课标要求，立足教材但高于教材，优选教材中的例题，精选练习（涉及指数，对数，三角不等式解法）.让学生利用新学习的知识解决实际问题，解题过程中注意过程的完整性，通过学生板演充分暴露学生、易错的典型问题，有针对地强化和巩固，充分发挥学生的主体作用，适时进行归纳总结一般性的结论.

【归纳结论2】运用导数确定函数单调性的一般步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）求导函数f′（x）；

（3）由f′（x）＞0或f′（x）＜0，解得x的范围；

（4）确定函数单调区间.

【思考】试结合f（x）=x3进行思考：如果f（x）在某区间上单调递增，那么在该区间上必有f′（x）＞0吗？（注意：由导数的正负可以判断函数的单调性，但不能将条件与结论对调）

【变式】用导数证明函数f（x）=ex-x在区间（-∞，0）上是减函数.

【练习】证明函数y=-lnx在定义域上是单调减函数.（四）师生互动、提升能力

【追问】我们已经会求函数f（x）=x3-x的单调区间，你能画出它的大致图像吗？

例2已知方程x3-x-m=0有三个不同的实数解，则实数m的取值范围为_______.

【练习】设函数f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图像如图3所示，则y=f（x）的图像最有可能是（）.

图3

设计意图：通过具有开放性问题的设计，可以拓展学生思维，有利于学生对函数单调性与导数关系的更深层次的理解，进一步培养学生作函数图像与使用数形结合思想解决问题的意识.

【课堂小结】1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？

明确了导数的正负号与函数单调增减的联系；利用导数研究函数单调性的一般步骤.

2.你利用导数能解决哪些问题？在解题时应该注意些什么？

利用导数求函数的单调区间和证明函数的单调性.注意原函数定义域限制，与不等式相结合，解不等式时注重对参数的讨论.

3.本节课我们用到了哪些数学思想方法？

本节课用到的数学思想方法：数形结合、分类讨论、转化思想以及分离变量的方法.

设计意图：通过对本节课所学的知识、技能、思想方法的总结，培养学生学习—总结—反思的良好习惯，使学习更上一个台阶.

【课后作业】1.课本P34：习题1.3第1，2，7题.

2.已知函数f（x）=x3-mx2+3x+2在R上是增函数，求实数m的取值范围.

五、教学感悟和对教学设计的思考

导数与单调性的关系影响到后面函数的极值、最值的求法，对学生要强调对后续学习有着重要地位，是基础中的重点.本节课注重例题的逐步深化，对学生的要求逐步提高.应引导学生多分析，让学生养成学习—总结—学习—反思的良好习惯，同时通过自我的评价来获得成功的快乐，提高学生学习的自信心.数学思想方法对解题的指导意义的认识：数形结合、分类讨论、化归与转化思想以及分离变量的方法.注重基础，防止学生两极分化，让学生都有所收获，有所提高.对于数学课堂教学设计，应该以揭示数学本质，发展学生思维能力为宗旨，主要关注以下几个问题：

（一）抓住教与学的核心，调动学生思维参与

数学课堂教学的本质应该是以师生活动为中心，把握数学本质，发展学生的思维能力.数学本质是一个数学哲学问题，学术界对它的理解有不同的视角.我们在课堂教学中强调的数学本质，其内涵一般包括：数学知识的内在联系；数学规律的形成过程；数学思想方法的提炼；数学理性精神（依靠思维能力对感性材料进行一系列的抽象和概括、分析和综合，以形成概念、判断或推理，这种认识为理性认识.重视理性认识活动，以寻找事物的本质、规律及内部联系，这种精神称为理性精神）的体验等方面.数学教与学核心是“活动”，不是一般意义热热闹闹的活动，也不是那种没有目标无序的活动，而是一种内在的数学思维活动，而是在教师的指导下，有明确目标的探究活动.教学过程中教师有意识地通过设置问题引导学生活动，如画一画、想一想、探一探等活动，揭示数学本质，调动学生思维积极参与活动.

图4

（二）瞄准课堂教学目标，发展学生思维品质

教学目标是课堂教学的指明灯，教学目标是否达成是评价一节课成功与失败的重要依据，因此在教学过程中我们要瞄准教学目标.本节课的教学目标就是要探寻函数的单调性与导数正负的关系，要从根本上把握和理解“导数大（小）于零，函数单调递增（减）”的数学本质，发展学生思维品质.

（三）注重应用总结提炼，培养学生思维能力

一节课要通俗易懂，让学生对知识牢固掌握，教学脉络清晰很重要.本节课紧紧围绕课堂教学目标，从“问题驱动、引入课题—主体活动、建构新知—立体互动、解决问题—师生互动、提升能力”等四个方面展开教学.精心设计问题，如例题和练习的设计循序渐进，逐步提高学生的能力，同时注重数学应用和提升.在每一环节中，都引导学生进行归纳总结和提炼，有利于培养学生的抽象、概括等思维能力.

1.［美］G.波利亚，著.怎样解题——数学思维的新方法［M］.涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2007.

2.董荣森.精心设计教学环节细化概念教学过程——以“简单随机抽样”课堂教学设计为例［J］.中学数学（上），2015（2）.

3.董荣森.细化概念教学过程揭示数学本质——以“三角函数的周期性”教学设计为例［J］.中学数学（上），2015（10）.G

江苏省教育科学“十二五”规划2013年度普教重点自筹课题——多元表征在数学问题解决中的应用研究（B-b/ 2013/02/063）.